Fxyz (864554), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

. . , xn ) äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êåA, òî ïîëíûì äèôôåðåíöèàëîì ôóíêöèè f â òî÷êå A íàçûâàåòñÿ âûðàæåíèånX∂fdf =(A)dxi .∂xii=19Ïðèìåð 3.2 (ïðîäîëæåíèå).xpd x2 + 2y 2 = px2 + 2y 2xdx + 2ydydy = p.x2 + 2y 2x2 + 2y 2dx + p2yp14 òî÷êå A = (1; 2) ïîëó÷aeì d x2 + 2y 2 = dx + dy ; ïðîèçâîäíàÿ ïî íàïðàâëåíèþ33A 11âåêòîðà ~v = √ðàâíà2 11 4 1 1 ∂ p 252·√x + 2y = ∇f (A) · ~v == √ .∂~v3 32 13 2AÌàêñèìàëüíàÿ ïðîèçâîäíàÿïî íàïðàâëåíèþ ïîëó÷èòñÿ, åñëè âçÿòü w~ ∇f (A), ò.å.11w~ = ∇f (A)/|∇f (A)| = √:17 4 1 4 1 1 √17∂ p 22x + 2y = ∇f (A) · w~=·√=.∂w~3 3317 4A4Äèôôåðåíöèðîâàíèå âåêòîðíûõ ÔÍÏÎïðåäåëåíèå 4.1. Ïóñòü A âíóòðåííÿÿ òî÷êà D(F ) ⊂ Rn ; F : D(F ) 7→ Rk .Ôóíêöèÿ F äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå A, åñëè ñóùåñòâóåò ëèíåéíûé îïåðàòîðDF (A) : Rn 7→ Rk , òàêîé, ÷òî~ + o(|AP~ |) ïðè P → A,F (P ) − F (A) = DF (A) · AP~ | < ε|AP~ | ïðè âñåõ P ∈ Uδ (A).ò.

e. ∀ε > 0 ∃δ > 0 : |F (P ) − F (A) − DF (A) · APÌàòðèöà îïåðàòîðà DF (A) íàçûâàåòñÿ ìàòðèöåé ßêîáè ôóíêöèè F â òî÷êå A èîáîçíà÷àåòñÿ JF (A).Ëåììà 4.1. Âåêòîðíàÿ ôóíêöèÿ F äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå A = (a1 , . . . , an ) ⇐⇒âñå åå êîîðäèíàòíûå ôóíêöèè f1 , . . . , fk äèôôåðåíöèðóåìû â A. Ïðè ýòîì i-ÿ ñòðîêàìàòðèöû JF (A) ðàâíà ∇fi (A).Äîêàçàòåëüñòâî. Îáîçíà÷èì ÷åðåç Ji i-þ ñòðîêó ìàòðèöû JF (A). Òîãäà äèôôåðåíöèðóåìîñòü F â òî÷êå A ñ çàäàííîé ìàòðèöåé ßêîáè ðàâíîñèëüíà ñóùåñòâîâàíèþíóëåâîãî ïðåäåëà âåêòîðíîé ôóíêöèè~J1 · AP1.~..V (P ) =F (P ) − F (A) −  → ~0~ ||AP~Jk · AP10ïðè P → A. Ýòî, â ñâîþ î÷åðåäü, ðàâíîñèëüíî ñòðåìëåíèþ ê 0 êîîðäèíàòíûõ ôóíêöèé~fi (P ) − fi (A) − Ji · AP∀ i = 1, . .

. , k , ÷òî îçíà÷àåò äèôôåðåíöèðóåìîñòü âñåõ fi âòî÷êå A, ïðè÷åì ∇fi (A) = Ji .Ñëåäñòâèå 4.1. Åñëè F äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå A, òî îíà íåïðåðûâíà â A.Ñëåäñòâèå 4.2. Åñëè êîîðäèíàòíûå ôóíêöèè f1 , . . . , fk èìåþò ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûåâ îêðåñòíîñòè òî÷êè A, íåïðåðûâíûå â A,åå ìàòðèöà ßêîáè èìååò âèä∂f1 /∂x1...JF (A) =∂fk /∂x1òî F äèôôåðåíöèðóåìà â A. Ïðè ýòîì.

. . ∂f1 /∂xn........ . . ∂fk /∂xnÏîëíûì äèôôåðåíöèàëîì âåêòîðíîé ôóíêöèè F â òî÷êå Aíàçûâàåòñÿ âûðàæåíèådF (A) = df1 (A) ..=.dfk (A)∂f1(A)dx1 + . . . +∂x1...∂fk(A)dx1 + . . . +∂x1∂f1(A)dxndx1∂xn .  = JF (A) ·  .. ∂fkdxn(A)dxn∂xnÏðèìåð 4.1. Ðàññìîòðèì äâóìåðíîçíà÷íóþ ôóíêöèþ òðåõ ïåðåìåííûõF (x, y, z) =x/yxyz=f1 (x, y, z)f2 (x, y, z).Ïåðâàÿ êîîðäèíàòíàÿ ôóíêöèÿ f1 äèôôåðåíöèðóåìà íà âñåé ñâîåé îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ{y 6= 0}; âòîðàÿ f2 äèôôåðåíöèðóåìà íà âñåì R3 .

Ñëåäîâàòåëüíî, F äèôôåðåíöèðóåìà íà D(F ) = {y 6= 0}. Åå ìàòðèöà ßêîáè ðàâíà∂f1 ∂f1 ∂f1∇f1 (x, y, z)1/y −x/y 2 0 ∂x ∂y ∂z JF (x, y, z) ==  ∂f ∂f ∂f  =;222∇f2 (x, y, z)yzxzxy∂x ∂y ∂zïîëíûé äèôôåðåíöèàë ôóíêöèè F âûãëÿäèò òàê:1xdx − 2 dy.dF (x, y, z) = yyyzdx + xzdy + xydzÒåîðåìà 4.1. (î äèôôåðåíöèðîâàíèè ñëîæíîé ÔÍÏ). Ïóñòü A âíóòðåííÿÿòî÷êà D(F ) ⊂ Rn , F : D(F ) 7→ Rk ; B = F (A) âíóòðåííÿÿ òî÷êà D(G) ⊂ Rk , G :D(G) 7→ Rm . Åñëè F äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå A, G äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå B ,òî ôóíêöèÿ G ◦ F äèôôåðåíöèðóåìà â A, è ïðè ýòîì JG◦F (A) = JG (B) · JF (A).11 ýòîé òåîðåìå ôóíêöèè F è G ìîãóò áûòü êàê âåêòîðíûìè, òàê è ñêàëÿðíûìè(k ≥ 1, m ≥ 1).Äîêàçàòåëüñòâî.

Ñíà÷àëà äîêàæåì, ÷òî A âíóòðåííÿÿ òî÷êà îáëàñòè îïðåäåëåíèÿG◦F . Äåéñòâèòåëüíî, ∃ε > 0: Uε (B) ⊂ D(G). Ïîñêîëüêó F íåïðåðûâíà â A, òî ∃δ > 0:äëÿ âñåõ P ∈ Uδ (A) áóäåò F (P ) ∈ Uε (B) ⊂ D(G), ñëåäîâàòåëüíî, P ∈ D(G ◦ F ).Ïóñòü P ∈ D(G ◦ F ), P → A. Òîãäà ïðèðàùåíèå ôóíêöèè G ◦ F èìååò âèä−→−→G ◦ F (P ) − G ◦ F (A) = G(F (P )) − G(B) = JG (B) · BF (P ) + o(|BF (P )|) =~ + o(|AP~ |)) + o(|AP~ |) = JG (B)JF (A)AP~ + o(|AP~ |).= JG (B)(JF (A)APÑëåäñòâèå 4.3. Èíâàðèàíòíîñòü ïîëíîãî äèôôåðåíöèàëà:d(G ◦ F )(x1 , .

. . , xn ) = dG(y1 , . . . , yk )|yi =fi (x1 ,...,xn )Äîêàçàòåëüñòâî.dx1dx1df1 (X)d(G ◦ F )(X) = JG◦F (X) ·  ...  = JG (Y ) · JF (X) ·  ...  = JG (Y ) ·  . . . dfk (X)dxndxnÏðèìåð 4.2. Ïîëó÷èì ïîëíûé äèôôåðåíöèàë ñêàëÿðíîé ôóíêöèèΦ(x, y) =pxy + ex−2y .Ïðåäñòàâèì åå â âèäå Φ = G ◦ F , ãäåxyF (x, y) =,ex−2yG(u, v) =√u + v.ÒîãäàdΦ(x, y) = dG(u, v) u = xy=du + dv = √2 u + v u = xy=v = ex−2yv = ex−2yydx + xdy + ex−2y dx − 2ex−2y dyd(xy) + dex−2ypp=2 xy + ex−2y2 xy + ex−2yÅñëè òðåáóåòñÿ íàéòè ïîëíûé äèôôåðåíöèàë ñëîæíîé ôóíêöèè, òàêîé ñïîñîááûâàåò óäîáíåå, ÷åì âû÷èñëÿòü ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå ïî îòäåëüíîñòè.125Äèôôåðåíöèðîâàíèå âûñøèõ ïîðÿäêîâÏóñòü D(f ) ⊂ Rn ; ôóíêöèÿ f : D(f ) 7→ Rk . Åñëè ôóíêöèÿ f äèôôåðåíöèðóåìà âêàæäîé òî÷êå îòêðûòîãî ìíîæåñòâà U ⊂ D(f ), òî íà U îïðåäåëåíà ee ïåðâàÿ ïðîèçâîäíàÿ Df äëÿ ñêàëÿðíîé f (k = 1) ýòî ãðàäèåíò ∇f : U 7→ Rk , à äëÿ âåêòîðíîé fýòî ìàòðèöà ßêîáè èç k ñòðîê è n ñòîëáöîâ Jf : U 7→ Rkn .

Åñëè ôóíêöèÿ Df , â ñâîþî÷åðåäü, äèôôåðåíöèðóåìà â íåêîòîðîé òî÷êå A ∈ U , òî ãîâîðÿò, ÷òî f äâàæäûäèôôåðåíöèðóåìà â A.2Åñëè f ñêàëÿðíàÿ, òî ee âòîðàÿ ïðîèçâîäíàÿ D2 f ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ â Rn : ee∂ ∂f ∂2fêîîðäèíàòíûå ôóíêöèè âòîðûå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå=. Èõ∂xj ∂xi∂xj ∂xióäîáíî çàïèñàòü â âèäå ìàòðèöû Ãåññå n × n:∂2f∂2f... ∂x2∂x1 ∂xn 1..........Hf = 22 ∂ f∂ f ...∂xn ∂x1∂x2nÏðèìåð 5.1. Ôóíêöèÿ f (x, y, z) = xy 2 /z äèôôåðåíöèðóåìà â êàæäîé òî÷êå ñâîåéîáëàñòè îïðåäåëåíèÿ U = R3 \Oxy . Ee ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå ðàâíû∂fy2= ;∂xz∂f2xy=;∂yz∂fxy 2=− 2 .∂zzÊàæäàÿ èç ýòèõ ôóíêöèé äèôôåðåíöèðóåìà íà âñåé U =⇒ âåêòîðíàÿ ôóíêöèÿ ∇fäèôôåðåíöèðóåìà íà U =⇒ f äèôôåðåíöèðóåìà äâàæäû â ëþáîé âíóòðåííåé òî÷êåU , ò.å. â ∀ (x; y; z) ∈ U (U îòêðûòîå).

Åå ìàòðèöà Ãåññå âûãëÿäèò òàê: 2∂ f∂2f∂2f ∂x2 ∂x∂y ∂x∂z   202y/z−y 2 /z 222 ∂ f∂ f∂ f  2y/z2x/z−2xy/z 2  .Hf (x; y; z) =  ∂y∂x ∂y 2 ∂y∂z  = 2−y 2 /z 2 −2xy/z 2 2xy 2 /z 3 ∂ f∂2f∂2f ∂z∂x ∂z∂y ∂z 2Åñëè D2 f òàêæå îïðåäåëåíà íà îòêðûòîì ìíîæåñòâå è äèôôåðåíöèðóåìà â íåêîòîðîé åãî òî÷êå A, òî f òðèæäû äèôôåðåíöèðóåìà â A è îïðåäåëåíû òðåòüè ÷àñòíûåïðîèçâîäíûå 2 ∂3f∂∂ f=∂xk ∂xj ∂xi∂xk ∂xj ∂xiÈ òàê äàëåå. Èç m-êðàòíîé äèôôåðåíöèðóåìîñòè ôóíêöèè ñëåäóåò ñóùåñòâîâàíèåâñåõ m-ûõ ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ, íî îáðàòíîå íåâåðíî (êàê ìû âèäåëè, äàæå ïðèm = 1).13Òåîðåìà 5.1. Ïóñòü D(f ) ⊂ Rn ; f : D(f ) 7→ R.

Ïóñòü A âíóòðåííÿÿ òî÷êàD(f ). Åñëè âñå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå ôóíêöèè f èìåþò ñâîè ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûåâ Ur (A), íåïðåðûâíûå â A, òî f äâàæäû äèôôåðåíöèðóåìà â A, ïðè÷åì∂2f∂2f(A) =(A).∂xi ∂xj∂xj ∂xi(1)Äîêàçàòåëüñòâî. Èç òåîðåìû 3.2 ñëåäóåò, ÷òî êàæäàÿ ÷àñòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèèf äèôôåðåíöèðóåìà â A. Ýòî ïî ëåììå 4.1 ðàâíîñèëüíî äèôôåðåíöèðóåìîñòè âåêòîðíîé ôóíêöèè ∇f , ò. e. äâóêðàòíîé äèôôåðåíöèðóåìîñòè f , â òî÷êå A.Òåïåðü äîêàæåì ðàâåíñòâî (1). Ïóñòü A = (a1 , . . . , an ); âñå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûåf äèôôåðåíöèðóåìû â Ur (A). Ïðè âû÷èñëåíèè âòîðûõ ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ â (1)ìû ôèêñèðóåì âñå êîîðäèíàòû, êðîìå xi è xj , ò. e. ðàññìàòðèâàåì ïëîñêîñòü Π 3 A,ïàðàëëåëüíóþ i-îé è j -îé êîîðäèíàòíûì îñÿì.

Ïóñòü Py,z ∈ Π ∩ Ur (A) òàêàÿ òî÷êà,~ y,z = y~ei + z~ej . Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ äâóõ ïåðåìåííûõ÷òî APQ(y, z) =f (Py,z ) − f (Py,0 ) − f (P0,z ) + f (A),yzîïðåäåëåííóþ íà ìíîæåñòâå {(y; z) : y 2 + z 2 < r2 , yz 6= 0}. Ïðèìåíèì òåîðåìóËàãðàíæà ê ôóíêöèè Φ(y) = f (Py,z ) − f (Py,0 ):Φ(y) − Φ(0)Φ0 (η)1 ∂f∂f∂2fQ(y, z) ===(Pη,z ) −(Pη,0 ) =(Pη,θ )yzzz ∂xi∂xi∂xj ∂xi∂2f âíîâü ïî òåîðåìå Ëàãðàíæà.

Ïîñêîëüêóíåïðåðûâíà â òî÷êå A è ïîñêîëüêó∂xj ∂xi∂2f%(A, Pη,θ ) < %(A, Py,z ), ìû ïîëó÷àåì Q(y, z) →(A) ïðè (y; z) → (0; 0).∂xj ∂xiÒåïåðü ïðèìåíèì òåîðåìó Ëàãðàíæà ê ôóíêöèè Ψ(z) = f (Py,z ) − f (P0,z ):Ψ(z) − Ψ(0)Ψ0 (ξ)1 ∂f∂f∂2fQ(y, z) ===(Py,ξ ) −(P0,ξ ) =(Pζ,ξ )yzyy ∂xj∂xj∂xi ∂xj∂2fòàêæå íåïðåðûâíà â òî÷êå A è∂xi ∂xj∂2f%(A, Pζ,ξ ) < %(A, Py,z ), ìû ïîëó÷àåì Q(y, z) →(A) ïðè (y; z) → (0; 0). Íî∂xi ∂xjôóíêöèÿ ìîæåò èìåòü â òî÷êå òîëüêî îäèí ïðåäåë =⇒ âåðíî ðàâåíñòâî (1). âíîâü ïî òåîðåìå Ëàãðàíæà. ÏîñêîëüêóÑëåäñòâèå 5.1.

 óñëîâèÿõ òåîðåìû 5.1 ìàòðèöà Ãåññå â òî÷êå A ñèììåòðè÷íà:HTf (A) = Hf (A).14Ñëåäñòâèå 5.2. Åñëè ôóíêöèÿ f äèôôåðåíöèðóåìà k − 1 ðàç â îòêðûòîì ìíîæå-ñòâå U , è åñëè âñå åå (k − 1)-ûå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå èìåþò ñâîè ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå, íåïðåðûâíûå â U , òî f äèôôåðåíöèðóåìà k ðàç â êàæäîé òî÷êå U , èçíà÷åíèÿ ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ íå ìåíÿþòñÿ ïðè ïåðåñòàíîâêå ïîñëåäîâàòåëü-íîñòè äèôôåðåíöèðîâàíèé.Äîêàçàòåëüñòâî.

Ïðèìåíÿÿ òåîðåìó 5.1 ê ñàìîé ôóíêöèè f è åå ÷àñòíûì ïðîèçâîäíûì îò ïåðâîãî äî (k − 2)-ãî ïîðÿäêà, ìû äîêàæåì èíâàðèàíòíîñòü ÷àñòíîé ïðîèçâîäíîé ïðè ïåðåñòàíîâêå äâóõ ñîñåäíèõ äèôôåðåíöèðîâàíèé. Ëþáóþ ïåðåñòàíîâêóìîæíî ïîëó÷èòü êîíå÷íîé öåïî÷êîé òàêèõ ýëåìåíòàðíûõ ïåðåñòàíîâîê. Íàïðèìåð:∂4f∂4f∂4f∂4f===∂x∂y∂z∂x∂x∂z∂y∂x∂z∂x∂y∂x∂z∂ 2 x∂yÎïðåäåëåíèå 5.1. Åñëè ñêàëÿðíàÿ ôóíêöèÿ f (x1 , .

Характеристики

Список файлов лекций