Fxyz (864554), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Íè÷åãî íå óòâåðæäàåòñÿ äîêàçûâàòü íå÷åãî.Ïðèìåð 8.2. Èññëåäóåì íà ýêñòðåìóì ôóíêöèþ f (x, y, z) = (x2 + y 2 − z 2 )ex−2z .∂f= (x2 + 2x + y 2 − z 2 )ex−2z ;∂xÈùåì êðèòè÷åñêèå òî÷êè: 2x = z 2 − x2 − y 2y =0z = z 2 − x2 − y 2∂f= 2yex−2z ;∂y∂f= 2(z 2 − z − x2 − y 2 )ex−2z .∂z 2x = 3x2y =0=⇒z = 2x=⇒O(0; 0; 0) 24; 0;A33Bû÷èñëèì ìàòðèöy Ãåññå:2 + 4x + Q2y −2z − 4x − 2Q,2y2−4yHf (x, y, z) = ex−2z −2z − 4x − 2Q −4y −2 + 8z + 4Qãäå Q = x2 + y 2 − z 2 .  íàéäåííûõ êðèòè÷åñêèõ òî÷êàõ èìååì2 0 010 0 −8−2e 0 6 0 Hf (O) =  0 2 0  ;Hf (A) =30 0 −2−8 0 1022Cîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ Hf (O): λ1,2 = 2, λ3 = −2 =⇒ O ñåäëîâàÿ òî÷êà;êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà ñ ìàòðèöåé Hf (A) ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåíà ïî êðèòåðèþ Ñèëüâåñòðà: 10 0 −8 10 0 0 6 0 > 0,10 > 0, 0 6 > 0, −8 0 10 ñëåäîâàòåëüíî, A òî÷êà ìèíèìóìà.239Äèôôåðåíöèðîâàíèå íåÿâíûõ ÔÍÏÒåîðåìà 9.1.

(îá îáðàòíîé ôóíêöèè) Ïóñòü A ∈ Rn âíóòðåííÿÿ òî÷êàîáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè F , ïðèíèìàþùåé çíà÷åíèÿ â Rn . Ïóñòü F äèôôåðåíöèðóåìà â îêðåñòíîñòè UR (A), è åå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå íåïðåðûâíû â A. Åñëèìàòðèöà ßêîáè â òî÷êå A íåâûðîæäåíà (det JF (A) 6= 0), òî ñóùåñòâóåò íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ Φ, îïðåäåëåííàÿ â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè U òî÷êè B = F (A),òàêàÿ, ÷òî∀Y ∈ U,∀X ∈ Φ(U ) :Φ(Y ) = X ⇐⇒ F (X) = Y,ò.å. ôóíêöèÿ Φ îáðàòíàÿ ê ñóæåíèþ ôóíêöèè F íà îáëàñòü Φ(U ). Êðîìå òîãî,Φ äèôôåðåíöèðóåìà â B , è−1JΦ (B) = JF (A) .Ïðèìåð 9.1. Ïóñòü n = 2; F (x, y) = (x + y; xy).

Ìàòðèöà ßêîáè∂F1 ∂xJF (x, y) =  ∂F2∂x∂F1∂y  = 1 1∂F2 y x∂yíåâûðîæäåíà ïðè y 6= x. ×àñòíûå ïðîèçâîäíûå íåïðåðûâíû âî âñåõ òî÷êàõ, ïîýòîìóòåîðåìà 9.1 ïðèìåíèìà â ëþáîé òî÷êå (x; y), y 6= x. Âîçüìåì òî÷êó A(1; 2). Åå îáðàç òî÷êà B = F (A) = (3; 2).  íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè B îïðåäåëåíà îáðàòíàÿê F ôóíêöèÿ Φ, äëÿ êîòîðîé−11x −1−1 1JΦ (x + y, xy) = JF (x, y)=; JΦ (3, 2) =.2 −1x − y −y 1( äàííîì ïðèìåðå äëÿ Φ óäàåòñÿ íàéòè ÿâíóþ ôîðìóëó:Φ(u, v) =√√11(u − u2 − 4v); (u + u2 − 4v) .22Òàê ÷òî âû÷èñëèòü ìàòðèöó ßêîáè äëÿ Φ ìîæíî è íåïîñðåäñòâåííî. Íî ÿâíî âûðàçèòüîáðàòíóþ ôóíêöèþ óäàåòñÿ äàëåêî íå âñåãäà! Äàæå åñëè óäàåòñÿ, òî åå íåïoñðåäñòâåííîå äèôôåðåíöèðîâàíèå ìîæåò îêàçàòüñÿ áîëåå òðóäîåìêèì, ÷åì íàõîæäåíèå îáðàòíîéìàòðèöû ê JF .)Òåîðåìà 9.2.

(î íåÿâíî çàäàííîé ñêàëÿðíîé ôóíêöèè). Ïóñòü A ∈ Rn âíóòðåííÿÿ òî÷êà îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ñêàëÿðíîé ôóíêöèè F ; F (A) = 0. Ïóñòü Fäèôôåðåíöèðóåìà â îêðåñòíîñòè UR (A), è åå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå íåïðåðûâíû â A.∂fÅñëè ïðè íåêîòîðîì k ∈ {1, . . . , n}(A) 6= 0, òî ñóùåñòâóåò ε ∈ (0; R] è íåïðå∂xkðûâíàÿ ôóíêöèÿ f , îïðåäåëåííàÿ â íåêîòîðîì îòêðûòîì ìíîæåñòâå U ⊂ Rn−1 ,24ñîäåðæàùåì òî÷êó A0 (ïðîåêöèþ A íà (n − 1)-ìåðíîå ïðîñòðàíñòâî, îðòîãîíàëüíîåk -îé îñè), òàêàÿ, ÷òî{F = 0} ∩ Uε (A) = {xk = f (x1 , . . .

, xk−1 , xk+1 , . . . , xn )}.|{z}∈UÊðîìå òîãî, ôóíêöèÿ f äèôôåðåíöèðóåìà â A0 , è∂f 0∂F/∂xi (A)(A ) = −∂xi∂F/∂xk (A)∀i 6= k.Ïðèìåð 9.2. Äàíî óðàâíåíèåF (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 + x − 2y + 3z − 5 = 0.Ãðàäèåíò F ðàâåí ∇F (x, y, z) = (2x + 1; 2y − 2; 2z + 3).  òî÷êå A(1; 1; 1) èìååì∇F (A) = (3; 0; 5) =⇒ ìû ìîæåì â îêðåñòíîñòè A ïðåäñòàâèòü x = X(y, z) èëè z =Z(x, y). Âûáåðåì âòîðóþ âîçìîæíîñòü. Òîãäà Z(1, 1) = 1; ïî òåîðåìå 9.2 â òî÷êå Aè â òî÷êàõ åå îêðåñòíîñòè, ãäå âûïîëíåíî óñëîâèå ∂F/∂z > 0, ñóùåñòâóþò ÷àñòíûåïðîèçâîäíûå∂Z∂F/∂y2y − 2=−=−.∂y∂F/∂z2z + 3∂Z∂F/∂x2x + 1=−=−;∂x∂F/∂z2z + 3Òåîðåìà 9.3.

(î íåÿâíî çàäàííîé âåêòîðíîé ôóíêöèè). Ïóñòü A ∈ Rn âíóòðåííÿÿ òî÷êà îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ k -ìåðíî-çíà÷íîé ôóíêöèè F = (f1 , . . . , fk ),1 < k < n, ïðè÷åì F (A) = (0, . . . , 0). Ïóñòü F äèôôåðåíöèðóåìà â îêðåñòíîñòèUR (A), è åå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå íåïðåðûâíû â A. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ðàíã ìàòðèöûJF (A) ðàâåí k , ò. e. ∇f1 (A),.

. . ,∇fk (A) ëèíåéíî íåçàâèñèìû. Ïóñòü ñòîëáöû JF (A)ñ íîìåðàìè j1 ,. . . ,jk îáðàçóþò áàçèñíûé ìèíîð; íîìåðà îñòàëüíûõ ñòîëáöîâ îáîçíà÷èì i1 ,. . . ,in−k . Òîãäà ∃ ε ≤ R è íåïðåðûâíàÿ k -ìåðíî-çíà÷íàÿ ôóíêöèÿ G, îïðåäåëåííàÿ â íåêîòîðîì îòêðûòîì ìíîæåñòâå U ⊂ Rn−k , ñîäåðæàùåì òî÷êó A0 (ïðîåêöèþA íà (n − k)-ìåðíîå ïðîñòðàíñòâî, îðòîãîíàëüíîå j1 -îé,. . . ,jk -îé îñÿì), òàêàÿ, ÷òîxj1 ..

~{F = 0} ∩ Uε (A) =  .  = G(xi1 , . . . , xin−k ) .|{z} xjk∈UÊðîìå òîãî, ôóíêöèÿ G = (g1 , . . . , gk ) äèôôåðåíöèðóåìà â A0 , è ee ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå íàõîäÿòñÿ èç ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèékX ∂fm∂fm∂gp 0(A) +(A)(A ) = 0,∂xiq∂x∂xjipqp=1m = 1, . . . , kq = 1, . . . , n − k(âñåãî k(n − k) óðàâíåíèé; èñêîìûõ ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ñòîëüêî æå).25(5)Ïðàâèëî äëÿ çàïîìèíàíèÿ ôîðìóëû (5): ïðîäèôôåðåíöèðóåìdfm =nX∂fmi=1∂xidxi = 0,m = 1, . . . , k,è ðàñïèøåì dxj1 , . . . , dxjk êàê äèôôåðåíöèàëû ôóíêöèé îò îñòàëüíûõ n−k ïåðåìåííûõ.Ïîëó÷èâøèåñÿ äèôôåðåíöèàëû k ñëîæíûõ ôóíêöèé îò n−k ïåðåìåííûõ ïðèðàâíÿåìê 0 ïîêîìïîíåíòíî.Ïðèìåð 9.3.

Äàíà ñèñòåìà óðàâíåíèéf1f2=x2 + y 2 + z 2 − 4x2 − 2x + y 2=00.JF =2x2y 2z2x − 2 2y 0.√ òî÷êå A(1; 1; 2) è â åå îêðåñòíîñòè ïåðâûå 2 ñòîëáöà JF ìîãóò ñëóæèòü åå áàçèñíûììèíîðîì =⇒ x è y ëîêàëüíî âûðàæàþòñÿ ÷åðåç z : x = X(z), y = Y (z). Ðàñïèøåìäèôôåðåíöèàëû F êàê ñëîæíîé ôóíêöèè:dXdYdXdY df1 = 2x+y= −zdz + 2ydz + 2zdz = 0xdzdzdzdz=⇒dYdYdXdX (x − 1) df2 = (2x − 2)+y=0dz + 2ydz=0dzdzdzdzdY(x − 1)zdX= −z ,=â îêðåñòíîñòè òî÷êè A;dzdzy√dX √dY √â ñàìîé òî÷êå A:( 2) = − 2,( 2) = 0.dzdzÎòñþäà2610Ãëàäêèå k -ìåðíûå ïîâåðõíîñòè (ÃkÌÏ)Îïðåäåëåíèå 10.1. Ìíîæåñòâî Σ ⊂ Rn íàçûâàåòñÿ ïðîñòîé ÃkÌÏ, åñëè îíîÿâëÿåòñÿ îáðàçîì Σ = ~r(U ) ñâÿçíîãî îòêðûòîãî ìíîæåñòâà U ⊂ Rk ïîä äåéñòâèåìèíúåêòèâíîãî îòîáðàæåíèÿ ~r : U 7→ Rn , ïðè÷eì ~r èìååò íåïðåðûâíûå ÷àñòíûåïðîèçâîäíûå, è åãî ìàòðèöà ßêîáè èìååò âñþäó ðàíã k (ò.e. ∂~r/∂u1 , .

. ., ∂~r/∂ukëèíåéíî íåçàâèñèìû â êàæäîé òî÷êå (u1 , . . . , uk ) ∈ U ).Ñâÿçíîå ìíîæåñòâî Σ ⊂ Rn íàçûâàåòñÿ ÃkÌÏ, åñëè ∀A ∈ Σ ∃ε > 0 : ìíîæåñòâîΣ ∩ Uε (A) ÿâëÿåòñÿ ïðîñòîé ÃkÌÏ.Ïðèìåð 10.1. (Ã2ÌÏ â R3 ). 1) Ïîëîâèíà êîíóñà x2 +y 2 = z 2 , z > 0 ïðîñòàÿ Ã2ÌÏ,ïîñêîëüêó îíà èìååò âèäx = u, y = v, z =√u2 + v 2 ; (u; v) ∈ U = R2 \{O}.2) Ñôåðà S = {x2 + y 2 + z 2 = 1} íå ÿâëÿåòñÿ ïðîñòîé Ã2ÌÏ. Íî ïîëóñôåðà ïðîñòàÿÃ2ÌÏ: íàïðèìåð,√2222S ∩ {x > 0} = ( 1 − u − v ; u; v) : (u; v) ∈ U = {u + v < 1} .Ëþáàÿ òî÷êà S ëåæèò â íåêîòîðîé ïîëóñôåðå =⇒ ñôåðà Ã2ÌÏ.Âàæíåéøèì ÷àñòíûì ñëó÷àåì ïðîñòîé ÃkÌÏ ÿâëÿåòñÿ ãðàôèê m-ìåðíî-çíà÷íîéôóíêöèè îò k ïåðåìåííûõ, m = n − k , èìåþùåé íåïðåðûâíûå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå,ò.

e. ìíîæåñòâî âèäàxj1 .. ΓG =  .  = G(xi1 , . . . , xik ) : (xi1 , . . . , xik ) ∈ U .(6) xjmÒåîðåìà 10.1. Åñëè Σ ⊂ Rn ÃkÌÏ, òî ∀A ∈ Σ ∃ε > 0 : ìíîæåñòâî Σ ∩ Uε (A)èìååò âèä (6) ïðè íåêîòîðîì ðàçáèåíèè n ïåðåìåííûõ íà äâà íàáîðà: {xjα }mα=1 èk{xiβ }β=1 .Äðóãîé ñïîñîá çàäàíèÿ ïîâåðõíîñòè íåÿâíûé (÷åðåç óðàâíåíèÿ). Ñëåäóþùàÿòåîðåìà (ñëåäñòâèå òåîðåì 9.2 è 9.3) äàåò äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ òîãî, ÷òîáû ïîâåðõíîñòü ïîëó÷èëàñü ãëàäêîé.Òåîðåìà 10.2. Ïóñòü Ω ⊂ Rn îòêðûòîå ñâÿçíîå ìíîæåñòâî; íà íåì îïðåäåëåíàôóíêöèÿ F : Ω 7→ Rm , 1 ≤ m < n.

Ïóñòü âî âñåõ òî÷êàõ Ω F äèôôåðåíöèðóåìà,åå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå íåïðåðûâíû, è ðàíã JF ðàâåí m. Òîãäà ñâÿçíûå ìíîæåñòâàóðîâíÿ ôóíêöèè F ÿâëÿþòñÿ ÃkÌÏ ïðè k = n − m.Ïðèìåð 10.2. F (x, y, z) = x2 + y 2 − z 2 óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì òåîðåìû íà Ω =R3 \{O}. Ïîëó÷àåòñÿ ñåìåéñòâî Ã2ÌÏ: îäíîïîëîñòíûå ãèïåðáîëîèäû, ïîëîâèíû êîíóñàè ïîëîâèíû äâóïîëîñòíûõ ãèïåðáîëîèäîâ.27x2 + y 2 + z 2Ïðèìåð 10.3. Ïóñòü F (x, y, z) =. Åå ìàòðèöà ßêîáèz2x 2y 2zJF (x, y, z) =0 0 1íåïðåðûâíà è èìååò ðàíã 2 íà Ω = R3 \Oz . Ìíîæåñòâà óðîâíÿ F ãîðèçîíòàëüíûåîêðóæíîñòè â Ω ÿâëÿþòñÿ Ã1ÌÏ.Êàñàòåëüíûå è íîðìàëèÎïðåäåëåíèå 10.2. Ïóñòü Σ ⊂ Rn ÃkÌÏ; A ∈ Σ.Âåêòîð V~ ∈ Rn íàçûâàåòñÿ êàñàòåëüíûì â òî÷êå A, åñëè ∃ ãëàäêàÿ êðèâàÿ ` ⊂ Σ,` 3 A, äëÿ êîòîðîé V~ êàñàòåëüíûé âåêòîð â òî÷êå A.Êàñàòåëüíàÿ ïëîñêîñòü TA â òî÷êå A ïëîñêîñòü, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç A è ñîäåðæàùàÿ âñå êàñàòåëüíûå âåêòîðà.Íîðìàëüíàÿ ïëîñêîñòü NA â òî÷êå A ïëîñêîñòü, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç A è ñîäåðæàùàÿ âñå âåêòîðà, îðòîãîíàëüíûå âñåì êàñàòåëüíûì.Åñëè ïîâåðõíîñòü çàäàíà ÿâíî, äëÿ íåå ëåãêî ñòðîèòñÿ êàñàòåëüíàÿ ïëîñêîñòü:Òåîðåìà 10.3.

Ïóñòü ÃkÌÏ Σ â îêðåñòíîñòè òî÷êè A èìååò âèä ~r(U ); A = ~r(B).Òîãäà dimTA = k (ñîîòâåòñòâåííî, dimNA = n − k); áàçèñîì TA ÿâëÿåòñÿ íàáîðâåêòîðîâ {∂~r/∂ui }ki=1 .Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ÷åðåç A = ~r(B) ïðîõîäèò ãëàäêàÿ ` = {(x1 (t), . . . , xn (t)) :|t| ≤ 1}; xi (0) = ai . Òîãäà ïðîîáðàç ` â U òîæå ãëàäêàÿ êðèâàÿ â îêðåñòíîñòè B , â÷àñòíîñòè, ñóùåñòâóþò dui /dt(0). Ñëåäîâàòåëüíî, êàñàòåëüíûé âåêòîð ê ` â òî÷êå AkXdui∂~r~èìååò âèä V =(0).dt∂uii=1Åñëè æå ïîâåðõíîñòü çàäàíà íåÿâíî, òî ëåã÷å ïîñòðîèòü ñíà÷àëà íîðìàëüíóþïëîñêîñòü:Òåîðåìà 10.4.

Ïóñòü ÃkÌÏ Σ çàäàíà íåÿâíî: Σ = {P ∈ Ω : F (P ) = ~0}; A ∈ Σ.Òîãäà áàçèñîì NA ÿâëÿåòñÿ {∇F1 (A), . . . , ∇Fm (A)}.28Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ãëàäêàÿ êðèâàÿ ` ⊂ Σ, ` 3 A. Ïóñòü ~τ êàñàòåëüíûé âåêòîð∂Fiê ` â òî÷êå A; |~τ | = 1. Ïîñêîëüêó Fi = const íà Σ, ïîëó÷àåì(A) = 0, ò. e.∂~τ∇Fi (A) ⊥ ~τ . Òàêèì îáðàçîì, ëèíåéíàÿ îáîëî÷êà {∇F1 (A), . . .

, ∇Fm (A)} ëåæèò â NA .Íî dimNA = m =⇒ äðóãèõ âåêòîðîâ òàì íåò.Òåïåðü ïîñìîòðèì, êàê âûãëÿäÿò êàñàòåëüíûå è íîðìàëüíûå ïëîñêîñòè äëÿ ïîâåðõíîñòåé â R3 .Ã2ÌÏ. Êàñàòåëüíûå ïëîñêîñòè äâóìåðíûå, íîðìàëè îäíîìåðíûå.1. Çàäàííàÿ ÿâíî. Σ = {(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) : (u, v) ∈ U }. Òîãäà ∂x/∂v  ∂x/∂uTA = span  ∂y/∂u  ;  ∂y/∂v  ;∂z/∂u∂z/∂v~k~j ~iNA = span ∂x/∂u ∂y/∂u ∂z/∂u .∂x/∂v ∂y/∂v ∂z/∂v 2. Çàäàííàÿ íåÿâíî. Σ = {F (x, y, z) = C}. Âåêòîð ∇F (A) íàïðàâëÿþùèé äëÿïðÿìîé NA è íîðìàëüíûé äëÿ ïëîñêîñòè TA .Ã1ÌÏ.

Êàñàòåëüíûå îäíîìåðíûå, íîðìàëüíûå ïëîñêîñòè äâóìåðíûå.1. Çàäàííàÿÿâíî. ` = {(x(u), y(u), z(u)) : u ∈ U }. Ïóñòü äëÿ òî÷êè A u = a.dx/dudy/du  (a) ÿâëÿåòñÿ íàïðàâëÿþùèì äëÿ ïðÿìîé TA è íîðìàëüíûì äëÿÂåêòîðdz/duïëîñêîñòè NA .F (x, y, z) = C12. Çàäàííàÿ íåÿâíî. ` =.G(x, y, z) = C2~k~i~jÁàçèñ NA : {∇F (A); ∇G(A)}.

Характеристики

Список файлов лекций