Fxyz (864554), страница 4
Текст из файла (страница 4)
. . , xn ) äèôôåðåíöèðóåìà k ðàçâ òî÷êå A, òî ïîëíûì äèôôåðåíöèàëîì k -ãî ïîðÿäêà ôóíêöèè f â òî÷êå Aíàçûâàåòñÿ âûðàæåíèådk f =nXi1 =1...nXik∂kf(A)dxi1 . . . dxik∂x...∂xii1k=1 ýòîé ñóììå nk ñëàãàåìûõ. Îäíàêî, åñëè âñå k -ûå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå íåïðåðûâíû, òî ñðåäè ñëàãàåìûõ áóäóò âñòðå÷àòüñÿ îäèíàêîâûå. Âòîðîé è òðåòèé äèôôåðåíöèàëû áóäóò âûãëÿäåòü òàê:dx1nX∂2f ..
X ∂ 2 f 22d f = (dx1 . . . , dxn ) · Hf · . =dx+2dxi dxji∂x2i∂xi ∂xji=11≤i<j≤ndxnnn XXXX∂3f 3∂3f∂3f2d f=dx+3dxdx+6dxi dxj dxkiij32∂x∂x∂x∂x∂x∂xiijkiji=1i=1 j6=ii<j<k3×àñòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ∂kfk!áóäåò ïîâòîðÿòüñÿðàç.k1kmk 1 ! · . . . · km !∂xi1 . . . ∂ximÏðèìåð 5.2. Íàéäåì 4-é äèôôåðåíöèàë ôóíêöèè f (x, y) = x2 /y :2∂f /∂x = 2x/y∂f /∂y = −x2 /y 22∂ f /∂x = 2/y2∂ f /∂x∂y = −2x/y 2∂ 2 f /∂y 2 = 2x2 /y 3∂ 3 f /∂x3∂ 3 f /∂x2 ∂y∂ 3 f /∂x∂y 2∂ 3 f /∂y 3====0−2/y 24x/y 3−6x2 /y 4Ñ ó÷åòîì ïîâòîðÿåìîñòè ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ïîëó÷àåòñÿd4 f =24 2 2 48x24x2 43dxdy−dxdy+dyy3y4y515∂ 4 f /∂x4∂ f /∂x3 ∂y∂ 4 f /∂x2 ∂y 2∂ 4 f /∂x∂y 3∂ 4 f /∂y 44=====004/y 3−12x/y 424x2 /y 56Ôîðìóëà Òåéëîðà äëÿ ÔÍÏÂñïîìíèì ôîðìóëó Òåéëîðà äëÿ ôóíêöèè ñêàëÿðíîãî ïåðåìåííîãî: Ïóñòü ôóíêöèÿf (x) m + 1 ðàç äèôôåðåíöèðóåìà â Ur (a) ⊂ R. Òîãäà äëÿ ëþáîãî x ∈ Ur (a) âåðíàôîðìóëà Òåéëîðà ñ îñòàòî÷íûì ÷ëåíîì â ôîðìå Ëàãðàíæà:f (x) = f (a) +mXf (k) (a)k!k=1(x − a)k +f (m+1) (ξ)(x − a)m+1 ,(m + 1)!(2)ãäå ξ íåêîòîðàÿ òî÷êà, ëåæàùàÿ ìåæäó a è x.Âûâåäåì ôîðìóëû Òåéëîðà äëÿ ôóíêöèè n ïåðåìåííûõ.Ïóñòü A0 ∈ Ur (A0 ) ⊂ D(f ) ⊂ Rn ; f : D(f ) 7→ R.
Çàôèêñèðóåì òî÷êó A1 ∈ Ur (A0 ) èîáîçíà÷èì ÷åðåç At òàêèå òî÷êè, ÷òî A0~At = t· A0~A1 , 0 ≤ t ≤ 1. Ïóñòü A = (a1 , . . . , an ),A0~A1 = (v1 , . . . , vn ), òîãäà òî÷êà At èìååò êîîðäèíàòû (a1 + tv1 , . . . , an + tvn ).Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ g(t) = f (At ), îïðåäåëåííóþ íà [0; 1]. Åñëè f äèôôåðåíöèðóåìà â Ur (A0 ), òî g äèôôåðåíöèðóåìà, è åå ïðîèçâîäíàÿ ïî òåîðåìå î äèôôåðåíöèðîâàíèè ñëîæíîé ÔÍÏ ðàâíànndg X ∂fdxj (t) X ∂f=(At )=vj(At )dt∂xdt∂xjjj=1j=1Åñëè f äâàæäû äèôôåðåíöèðóåìà â Ur (A0 ), òî dg/dt äèôôåðåíöèðóåìà, è nnnndxi (t) X X∂2fd2 g X ∂ X ∂f=v(A)=(At )vvjti jdt2∂x∂xdt∂x∂xijiji=1j=1i=1 j=1È ò.
ä. Åñëè f äèôôåðåíöèðóåìà â Ur (A0 ) k ðàç, òînnXdk g X∂kf=...v...v(At ).ii1kdtk∂xi1 . . . ∂xiki =1i =11kÝòà ôîðìóëà ëåãêî çàïîìèíàåòñÿ: íóæíî â k -ûé äèôôåðåíöèàë dk f (A0 ) ïîäñòàâèòüvi âìåñòî dxi .Òåîðåìà 6.1. Ïóñòü A = (a1 , . . . , an ) âíóòðåííÿÿ òî÷êà D(f ) ⊂ Rn . Åñëè ñêàëÿðíàÿÔÍÏ f m + 1 ðàç äèôôåðåíöèðóåìà â Ur (A) ⊂ D(f ), òî äëÿ ëþáîé òî÷êè X =(x1 , . . . , xn ) ∈ Ur (A) âåðíà ôîðìóëà Òåéëîðà ñ îñòàòî÷íûì ÷ëåíîì â ôîðìåËàãðàíæà:f (X) = f (A) +mnXXi1k=1+nXi1 =1...nX(xi − ai1 ) . .
. (xik − aik )∂kf(A) 1...∂xi1 . . . ∂xikk!=1i =1knXim+1(xi − ai1 ) . . . (xim+1 − aim+1 )∂ m+1 f(Y ) 1,∂xi1 . . . ∂xim+1(m + 1)!=1ãäå Y íåêîòîðàÿ òî÷êà, ëåæàùàÿ íà îòðåçêå, ñîåäèíÿþùåì A è X .16!+Äîêàçàòåëüñòâî. Ïpèìåíèì ôîðìóëó (2) ê ôóíêöèè g(t) = f (Xt ), ãäå Xt = (a1 +t(x1 − a1 ), . . . an + t(xn − an )).Òåîðåìà 6.2. Ïóñòü A = (a1 , . . .
, an ) âíóòðåííÿÿ òî÷êà D(f ) ⊂ Rn . Åñëè ñêàëÿðíàÿÔÍÏ f m ðàç äèôôåðåíöèðóåìà â Ur (A) ⊂ D(f ) è åå m-ûå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûåíåïðåðûâíû â òî÷êå A, òî âåðíà ôîðìóëà Òåéëîðà ñ îñòàòî÷íûì ÷ëåíîì âôîðìå Ïåàíî: f (X) =!mnnXXX∂kf(xi1 − ai1 ) . . . (xik − aik )~ m ).f (A) +...(A)+ o(|AX|∂xi1 .
. . ∂xikk!i =1i =1k=11kÄîêàçàòåëüñòâî. Ïðèìåíèì òåîðåìó 6.1 ê ôóíêöèè f , âçÿâ m − 1 âìåñòî m:!mnnkXXX∂ f(xi − ai1 ) . . . (xik − aik )f (X) = f (A) +...(A) 1+∂xi1 . . . ∂xikk!i =1i =1k=11nXkn X(xi1 − ai1 ) . . . (xim − aim )∂ mf∂ mf+...(Y ) −(A)∂xi1 . . . ∂xim∂x . . . ∂ximm!{z}i1 =1im =1 |{z i1}|→0 ïðè X→A~ m /m!≤|AX|Ïîñëåäíÿÿ ñòðîêà è åñòü îñòàòî÷íûé ÷ëåí â ôîðìå Ïåàíî.Ôîðìóëó Òåéëîðà ëåãêî çàïîìíèòü â òàêîì âèäå:~ = f (A) +f (A + dx)mX1 kd f (A) + îñòàòî÷íûé ÷ëåí,k!k=1ãäå íà ìåñòî dxi íàäî áóäåò ïîäñòàâèòü xi − ai .Ïðèìåð 6.1.
Âûïèøåì ôîðìóëó Òåéëîðàp c îñòàòî÷íûì ÷ëåíîì â ôîðìå Ïåàíî ïðèm = 1 è m = 2 äëÿ ôóíêöèè f (x, y) =x2 + y 2 â îêðåñòíîñòè òî÷êè A(3; 4).3xdx + ydy4df = p=⇒ df (A) = dx + dy;55x2 + y 2y 2 dx2 + x2 dy 2 − 2xydxdy16 2924=⇒ d2 f (A) =dx +dy 2 −dxdy.223/2(x + y )125125125p34Äëÿ m = 1 :f (x, y) = 5 + (x − 3) + (y − 4) + o (x − 3)2 + (y − 4)2 ;5534Äëÿ m = 2 :f (x, y) = 5 + (x − 3) + (y − 4)+5516912+(x − 3)2 +(y − 4)2 −(x − 3)(y − 4) + o (x − 3)2 + (y − 4)2250250125ïðè (x; y) → (3; 4).d2 f =177Âîññòàíîâëåíèå ÔÍÏ ïî ãðàäèåíòóÒåîðåìà 7.1.
Ïóñòü Ω ⊂ Rn îòêðûòîå ñâÿçíîå; V~ = (v1 , . . . , vn ) : Ω 7→ Rn âåêòîðíîå ïîëå, äèôôåðåíöèðóåìîå â Ω, ïðè÷åì åãî ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå íåïðåðûâíû.Òîãäà äëÿ òîãî, ÷òîáû V~ áûëî ãðàäèåíòîì íåêîòîðîé ñêàëÿðíîé ôóíêöèè f íà Ω,íåîáõîäèìû ðàâåíñòâà∂vi∂vj=∂xj∂xiíà Ω,1 ≤ i < j ≤ n.(3)(Åñëè n = 2 èëè 3, è Ω íå èìååò ñêâîçíûõ äûð, òî óñëîâèå (3) ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íûì,÷òî áóäåò äîêàçàíî â 3 ñåìåñòðå).∂vi∂2f∂vj∂2f~Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè V = ∇f , òî=,=, è ýòè ÷àñòíûå ïðî∂xj∂xj ∂xi ∂xi∂xi ∂xjèçâîäíûå ïî óñëîâèþ íåïðåðûâíû.
Ñëåäîâàòåëüíî, ïî òåîðåìå 5.1 îíè ðàâíû.Àëãîðèòì âîññòàíîâëåíèÿ ÔÍÏ ïî åå ãðàäèåíòó îáúÿñíèì íà ïðèìåðå.Ïðèìåð 7.1. Ïîñòðîèòü íà îáëàñòè R3 ⊃ Ω = {x > |z|} ôóíêöèþ f (x, y, z), äëÿêîòîðîédf =√(x + y)z 2x2 − z 2 + xy√dx + ( x2 − z 2 + yz 2 )dy + y 2 z − √dz =x2 − z 2x2 − z 2= P dx + Qdy + Rdz . Ñíà÷àëà ïðîâåðèì íåîáõîäèìîå óñëîâèå:∂P∂Qx=√=;22∂y∂xx −z∂Pz(z 2 + xy)∂R= 2=;23/2∂z(x − z )∂x∂R∂Q−z+ 2yz ==√∂y∂zx2 − z 2âûïîëíåíû íà âñåé Ω, è ïîñêîëüêó Ω íå èìååò ñêâîçíûõ äûð, èñêîìàÿ f äîëæíàñóùåñòâîâàòü.∂fÇàôèêñèðóåì y è z è ïðîèíòåãðèðóåì P =ïî x ïðè x > |z|:∂xZ√2x2 − z 2 + xy√f (x, y, z) =dx = (x + y) x2 − z 2 + C1 (y, z).x2 − z 2Ïðîäèôôåðåíöèðîâàâ ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå ïî y è ïî z , ìû ïîëó÷èì, ñîîòâåòñòâåííî,√√∂C1∂fx2 − z 2 +== x2 − z 2 + yz 2 ;∂y∂y(x + y)z∂C1∂f(x + y)z√+ y 2 z.+==√∂z∂zx2 − z 2x2 − z 218Îòñþäà∂C1= yz 2 ;∂y∂C1= y 2 z.∂zÇàôèêñèðîâàâ z , ïðîèíòåãðèðóåì ïî y : C1 (y, z) =Zyz 2 dy =Ïðîäèôôåðåíöèðîâàâ òàêîå âûðàæåíèå ïî z , ïîëó÷àåì∂C1y 2 z + C20 (z) == y 2 z =⇒ C2 (z) = const.∂z√y2z2Îòâåò: f (x, y, z) = (x + y) x2 − z 2 ++ const.2y2z2+ C2 (z).2Òåïåðü ïðèâåäåì ïðèìåð, ïîêàçûâàþùèé, ÷òî íà îáëàñòè ñ äûðîé óñëîâèå (3) íåÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íûì.−yx~Ïðèìåð 7.2.
Ðàññìîòðèì âåêòîðíîå ïîëå V = 2;íà îáëàñòè Ω =x + y 2 x2 + y 2R2 \{O}. Óñëîâèå (3) âûïîëíåíî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñóùåñòâóåò f : Ω 7→ R, ∇f = V~ .Ïóñòü f (−1, −1) = C . ÒîãäàZ1f (1, 1) = C +−1−(−1)dx +2x + (−1)2Z−1dy +(−1)2 + y 2Z1−1121π πdy = C + + ;2+y22ñ äðóãîé ñòîðîíû,Z1f (1, 1) = C +−1Ïðîòèâîðå÷èå.191−1−1π πdx = C − − .2+122x28Áåçóñëîâíûå ýêñòðåìóìûÁåçóñëîâíûåýêñòðåìóìûÎïðåäåëåíèå 8.1.Ïóñòü A âíóòðåííÿÿ òî÷êà D(f ) ⊂ Rn ; f ñêàëÿðíàÿ. Ãîâîðÿò,÷òî A oòî÷êà ìàêñèìóìà, åñëè ∃ε > 0 : ∀P ∈ U ε (A) f (P ) < f (A);oòî÷êà ìèíèìóìà, åñëè ∃ε > 0 : ∀P ∈ U ε (A) f (P ) > f (A);oòî÷êà íåñòðîãîãî ìàêñèìóìà, åñëè ∃ε > 0 : ∀P ∈ U ε (A) f (P ) ≤ f (A);oòî÷êà íåñòðîãîãî ìèíèìóìà, åñëè ∃ε > 0 : ∀P ∈ U ε (A) f (P ) ≥ f (A). ïåðâûõ äâóõ ñëó÷àÿõ A íàçûâàþò òî÷êîé ýêñòðåìóìà, â ïîñëåäíèõ äâóõ òî÷êîéíåñòðîãîãî ýêñòðåìóìà.Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà îáîáùàåò òåîðåìó Ôåðìà äëÿ ÔÍÏ è äàåòÍåîáõîäèìûå óñëîâèÿ ýêñòðåìóìàÒåîðåìà 8.1.
Ïóñòü A âíóòðåííÿÿ òî÷êà D(f ) ⊂ Rn ; ñêàëÿðíàÿ ôóíêöèÿ fèìååò â òî÷êå A âñå ïåðâûå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå. Åñëè A òî÷êà (íåñòðîãîãî)ýêñòðåìóìà, òî∂f∂f(A) = . . . =(A) = 0.(4)∂x1∂xnÒî÷êè, óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèþ (4), íàçûâàþòñÿ êðèòè÷åñêèìè.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü òî÷êà A = (a1 , . . . , an ) íå êðèòè÷åñêàÿ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî∂f(A) = C > 0. Òîãäà∂x1> f (A) ïðè 0 < t < εf (x1 + t, x2 , . . .
, xn ) = f (A) + Ct + o(t)< f (A) ïðè − ε < t < 0ïðè íåêîòîðîì ε > 0. Òàêèì îáðàçîì, A íå ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé (íåñòðîãîãî) ýêñòðåìóìà.∂f∂fÀíàëîãè÷íî ðàññìàòðèâàþòñÿ ñëó÷àè(A) > 0 è(A) < 0, k = 1, . . . , n.∂xk∂xkHåîáõîäèìîå óñëîâèå ýêñòðåìóìà (4) íå ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íûì, äàæå åñëè ïîòðåáîâàòü äèôôåðåíöèðóåìîñòè f â òî÷êå A (òîãäà ∇f (A) = ~0). Åñëè ∇f (A) = ~0, íîoïðè ýòîì ∀ε > 0 ∃P, Q ∈ U ε (A): f (P ) > f (A) > f (Q), òî A íàçûâàåòñÿ ñåäëîâîéòî÷êîé.Ïðèìåð 8.1.
Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ, îïðåäåëåííóþ íà R2 : f (x, y) = xyey−x .2∂f∂f22= (y − 2x2 y)ey−x ;= (x + xy)ey−x .∂x∂yÏðîâåðÿåì íåîáõîäèìîå óñëîâèå ýêñòðåìóìà:√y(1 − 2x2 ) = 0y=0x = ±1/ 2=⇒èëè.x(1 + y) = 0x=0y = −1Ee ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå:20Íàéäåíû òðè êðèòè÷åñêèå òî÷êè: O(0; 0) ñåäëîâàÿ, ïîñêîëüêóf (O) = 0, â I√è III ÷åòâåðòÿõ f > 0, à âî II è IV ÷åòâåðòÿõ f < 0; A(−1/ 2; −1) ìàêñèìóì,ïîñêîëüêó òîëüêî â íåé ìîæåò äîñòèãàòüñÿ ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå f íà êîìïàêòåK = [−2; 0] × [−4; 0]: íà åãî ïðàâîé è âåðõíåé ãðàíèöàõ f = 0, íà ëåâîé è íèæíåéf ≤ 8e−4 < e−3/2 = f (A), òàê ÷òî max f äîñòèãàåòñÿ âî âíóòðåííåé òî÷êå K , íî âñåK√îñòàëüíûå âíóòðåííèå òî÷êè K , êðîìå A, íå ýêñòðåìóìû. Òî÷êà B(1/ 2; −1) ìèíèìóì (àíàëîãè÷íî òî÷êå A).
Êàê âèäèì, êëàññèôèöèðîâàòü êðèòè÷åñêèå òî÷êè íà(íåñòðîãèå) ìàêñèìóìû/ìèíèìóìû è ñåäëîâûå âåñüìà íåïðîñòî. Íàì íóæíû óäîáíûåÄîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ýêñòðåìóìàÒåîðåìà 8.2. Ïóñòü A âíóòðåííÿÿ òî÷êà D(f ) ⊂ Rn ; ñêàëÿðíàÿ ôóíêöèÿ fäâàæäû äèôôåðåíöèðóåìà â îêðåñòíîñòè òî÷êè A, ∇f (A) = ~0, è âòîðûå ÷àñòíûåïðîèçâîäíûå íåïðåðûâíû â A. Ïóñòü λ1 ,. . .,λn ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèöûH = Hf (A). Òîãäà:1.2.3.4.5.6.Åñëè ∀λi > 0, òî A ìèíèìóì;Åñëè ∀λi < 0, òî A ìàêñèìóì;Åñëè ∀λi ≥ 0, ∃λj > 0, òî A (íåñòðîãèé) ìèíèìóì èëè ñåäëîâàÿ;Åñëè ∀λi ≤ 0, ∃λj < 0, òî A (íåñòðîãèé) ìàêñèìóì èëè ñåäëîâàÿ;Åñëè ∃λi > 0, ∃λj < 0, òî A ñåäëîâàÿ;Åñëè ∀λi = 0, òî âîçìîæíû âñå ñëó÷àè.Äîêàçàòåëüñòâî.  îêðåñòíîñòè òî÷êè A ðàçëîæèì ôóíêöèþ f ïî ôîðìóëå Òåéëîðàäî âòîðîé ñòåïåíè, ó÷èòûâàÿ ∇f (A) = ~0:1 ~ T~ + r(P ),~ |2 ).f (P ) = f (A) + AP· H · APr(P ) = o(|AP2Ïóñòü {~vi }ni=1 îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ Rn èç ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ ìàòðèöû H;nnX1X~H~vi = λi v~i .
Ðàçëîæèì AP =ci v~i , òîãäà f (P ) − f (A) =λi c2i + r(P ).2i=1i=121o1. Ïóñòü 0 < λ1 ≤ . . . ≤ λn . Íàéäåì òàêîå ε > 0, ÷òî ∀P ∈ U ε (A) |r(P )| <oλ1 ~ 2|AP | .4Òîãäà ∀P ∈ U ε (A)f (P ) > f (A) +nnλ1 ~ 2λ1 X 2 λ1 ~ 21Xλi c2i − |AP| ≥ f (A) +c − |AP | > f (A).2 i=142 i=1 i4| {z }~ |2|AP2. Àíàëîãè÷íî.3. Ïóñòü ∀λi ≥ 0; λ1 > 0. Íàäî äîêàçàòü, ÷òî íåâîçìîæåí (íåñòðîãèé) ìàêñèìóì.oÍàéäåì òàêîå ε > 0, ÷òî ∀P ∈ U ε (A) |r(P )| <~ t = tv~1 , 0 < t < ε.
Òîãäà÷òî APλ1 ~ 2|AP | . Ðàññìîòðèì òàêèå òî÷êè Pt ,4λ1 ~ 21f (Pt ) > f (A) + λ1 t2 − |APt | > f (A).24 | {z }t2Íî òî÷êè Pt âñòðå÷àþòñÿ â ëþáîé îêðåñòíîñòè A.4. Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî íåâîçìîæåí (íåñòðîãèé) ìèíèìóì.5. Ïîñêîëüêó ∃λi > 0, íåâîçìîæåí (íåñòðîãèé) ìàêñèìóì. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ∃λj < 0=⇒ íåâîçìîæåí (íåñòðîãèé) ìèíèìóì. Çíà÷èò, òî÷êà A ñåäëîâàÿ.6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
