Fxyz (864554), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Åñëèλ 6= 0, òî èìååì φ(x) = φ(y) = φ(z), ãäå φ(t) = t − 2λt2 , ãðàôèê φ ïàðàáîëà ñ îñüþ1 1 1 1ñèììåòðèè t ==⇒ x − = y − = z − =⇒ èç êîîðäèíàò x, y, z äâå4λ4λ4λ4λ1ïðèíèìàþò çíà÷åíèå a è îäíà b, ïðè÷åì a + b =. Èùåì a è b.2λ 22/b + b2 =√5b = 2√2a + b2 = 53=⇒ b − 5b + 2 = 0 =⇒=⇒a2 b = 1b= 2−1a = 1/ b√√√(òðåòèéêîðåíüb=−2−1<0).Åñëèb=2,òîa=1/2;åñëèb=2 − 1, òîp√a=2 + 1. Ïàðàìåòðû λ è µ âûðàæàþòñÿ ÷åðåç íèõ òàê:11b2aba+b==⇒ λ =;µ = b − 2λb2 = b −=.2λ2(a + b)a+ba+bÌàòðèöà Ãåññå ôóíêöèè Ëàãðàíæà â òî÷êå (a; a; b) ðàâíà2λ µb µa1 ab2 a2 b−1 ab2 1 a2 b  .H = −  µb 2λ µa  =a+bµa µa 2λa2 b a2 b 1Hàéäåì êàñàòåëüíûé âåêòîð â òî÷êå (a; a; b).2∇u = 2(a; a; b), ∇v = (ab; ab; a ) =⇒ ~τ k ~iab~jab~kba1 = (a2 − b2 )  −1  .0Ïîëó÷àåì ~τ T · H · ~τ =1 ab2 a2 b1−1  2−2< 0 ïðè a > b22 ab1 ab−1  == (1; −1; 0)(1 − ab )> 0 ïðè a < b.a+ba+ba2 b a2 b 10p√p√√2+1;2+1;2 − 1),Îòâåò:òî÷êèóñëîâíîãîìàêñèìóìà(p√p√p√p√√√2 + 1); òî÷êè óñëîâíîãî ìèíèìóìà1;( √2 + 1;√ 2−1; √ 2 + 1),√( 2−1; √ 2 + √(1/ 2; 1/ 2; 2), (1/ 2; 2; 1/ 2), (2; 1/ 2; 1/ 2).3512Èíòåãðàë, çàâèñÿùèé îò ïàðàìåòðàÒåîðåìà 12.1.

Ïóñòü ôóíêöèÿ f (x, y) íåïðåðûâíà íà ìíîæåñòâå D = {(x; y) : a ≤x ≤ b, g(x) ≤ y ≤ h(x)}, ãäå g è h íåïðåðûâíû íà [a; b], h(x) > g(x) íà (a; b). Òîãäàôóíêöèÿh(x)ZF (x) =f (x, y)dyíåïðåðûâíà íà [a; b].g(x)Ïðè äîêàçàòåëüñòâe íàì ïîíàäîáèòñÿ ñëåäóþùåå ñâîéñòâî ôóíêöèé, íåïðåðûâíûõíà êîìïàêòå:Òåîðåìà 12.2. Åñëè ñêàëÿðíàÿ ôóíêöèÿ f íåïðåðûâíà íà êîìïàêòå K ⊂ Rn , òîîíà ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíà íà íåì, ò.å.~ | < δ , òî |f (X) − f (Y )| < ε.∀ε > 0 ∃δ > 0 : åñëè X , Y ∈ K , |XYÄîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ðàâíîìåðíîé íåïðåðûâíîñòè íåò, ò.å.

∃ε > 0 :~ | < δ , íî |f (X) − f (Y )| ≥ ε. Âûáåðåì òàêèå Xk , Yk äëÿ∀δ > 0 ∃X , Y ∈ K : |XYδ = 1/k , k = 1, 2, . . . , è â ñèëó êîìïàêòíîñòè K âûáåðåì èç ïîñëåäîâàòåëüíîñòè{Xk } ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü {Xki }, ñõîäÿùóþñÿ ê íåêîòîðîé òî÷êå Xo ∈ K . Òîãäàïî íåðàâåíñòâó òðåóãîëüíèêà |Xo~Yki | ≤ |Xo~Xki | + 1/ki → 0, çíà÷èò, Yki → Xo ïðèi → ∞.

Îòñþäà ïî íåïðåðûâíîñòè f áóäåò ñëåäîâàòülim f (Xki ) = lim f (Yki ) = f (Xo ) =⇒ lim |f (Xki ) − f (Yki )| = 0,i→∞i→∞i→∞íî ýòî ïðîòèâîðå÷èò ïðåäïîëîæåíèþ |f (Xki ) − f (Yki )| ≥ ε.Äîêàçàòåëüñòâî òåîð. 12.1. Ïóñòü A = inf f , B = sup g (îáà êîíå÷íû). Ôóíêöèÿ f[a;b][a;b]íåïðåðûâíà íà êîìïàêòå D =⇒ îãðàíè÷åíà è ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíà íà íåì. ÏóñòüM = max |f |. Çàäàäèì ε > 0. Òîãäà ∃δ1 > 0:Dpåñëè (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) ∈ D, (x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 < δ1 , òî |f (x1 , y1 ) − f (x2 , y2 )| <ε. Äàëåå, ∃δ2 > 0: åñëè a ≤ x1 , x2 ≤ b, |x1 − x2 | < δ2 , òî |g(x1 ) − g(x2 )| < ε è|h(x1 ) − h(x2 )| < ε.Ïóñòü x, u ∈ [a; b], |u − x| < δ = min{δ1 , δ2 }.

Òîãäà|F (u) − F (x)| ≤ M · |g(u) − g(x)| + M · |h(u) − h(x)|+min{h(u),h(x)}Z|f (u, y) − f (x, y)|dy < 2M ε + (B − A)ε.+max{g(u),g(x)}Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè u → x èìååì F (u) → F (x).36∂fíåïðåðûâíû íà ìíîæåñòâå D = {(x; y) :∂xa ≤ x ≤ b, g(x) ≤ y ≤ h(x)}, ãäå g è h äèôôåðåíöèðóåìû íà [a; b], h(x) > g(x) íà(a; b). Òîãäà íà [a; b] äèôôåðåíöèðóåìà ôóíêöèÿÒåîðåìà 12.3.

Ïóñòü ôóíêöèè f (x, y) èh(x)ZF (x) =f (x, y)dy;h(x)Z0F (x) =g(x)∂f(x, y)dy + f (x, h(x))h0 (x) − f (x, g(x))g 0 (x).∂xg(x)Íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë, çàâèñÿùèé îò ïàðàìåòðàÄëÿ óäîáñòâà îáîçíà÷åíèé áóäåì ðàññìàòðèâàòü íåñîáñòâåííûå èíòåãðàëû I ðîäàïî ïîëóïðÿìîé [0; +∞).Îïðåäåëåíèå 12.1. ÏóñòüZ ôóíêöèÿ f (x, y) îïðåäåëåíà íà [a; b] × [0; +∞). Íåñîáñò+∞âåííûé èíòåãðàë I ðîäàñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà [a; b], åñëèf (x, y)dy0+∞Z∀ε > 0 ∃M > 0 : ∀N > M ∀x ∈ [a; b]Nf (x, y)dy < ε.Òåîðåìà 12.4. Ïóñòü ôóíêöèÿ f (x, y) íåïðåðûâíà íà ìíîæåñòâå [a; b] × [0; +∞).Òîãäà ôóíêöèÿZ+∞F (x) =f (x, y)dy,x ∈ [a; b](7)0íåïðåðûâíà ïðè óñëîâèè, ÷òî èíòåãðàë (7) ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî.Äîêàçàòåëüñòâî.

Ïóñòü x ∈ [a; b]. Çàäàäèì ε > 0.  ñèëó ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè∃ M > 0: εZ Mf (t, y)dy − F (t)< .(8)∀t ∈ [a; b] 30Äàëåå, ïî òåîðåìå 12.1, ∃ δ > 0:∀u ∈ Uδ (x) ∩ [a; b]ZMZf (u, y)dy −00M εf (x, y)dy < .3(9)Ñëîæèâ (9) ñ îöåíêàìè (8) äëÿ t = x è t = u, ïîëó÷àåì |F (u) − F (x)| < ε.Ñëåäóþùèé ïðèìåð ïîêàçûâàåò íåîáõîäèìîñòü ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè.Z +∞Ïðèìåð 12.1. Ðàññìîòðèì èíòåãðàë F (x) =x2 ye−xy dy, x ∈ [0; 1]. Ïîäèíòåã0ðàëüíàÿ ôóíêöèÿ íåïðåðûâíà è îãðàíè÷åíà íà [0; 1] × [0; +∞), îäíàêî â 0 ôóíêöèÿF ðàçðûâíà: F (0) = 0, F (x) = 1 ïðè x > 0.37Ïðèìåð 12.2.

Ãàììà-ôóíêöèÿ ÝéëåðàZ+∞y x−1 e−y dy,Γ(x) =x > 0.0Èíòåãðàë ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà êàæäîì îòðåçêå x ∈ [a; b] ⊂ (0; +∞). ÏîýòîìóΓ íåïðåðûâíà íà (0; +∞). Èíòåãðèðîâàíèåì ïî ÷àñòÿì ïîëó÷àåòñÿ ðåêóððåíòíîåñîîòíîøåíèå Γ(x + 1) = x · Γ(x). Ïîñêîëüêó Γ(1) = 1, ïîëó÷àåì Γ(n + 1) = n!Òåîðåìà 12.5. Ïóñòü ôóíêöèè f (x, y) è[0; +∞). Òîãäà ôóíêöèÿZF (x) =∂fíåïðåðûâíû íà ìíîæåñòâå [0; 1] ×∂x+∞äèôôåðåíöèðóåìà íà [a; b],f (x, y)dy(10)00Z+∞F (x) =0∂f(x, y)dy,∂x(11)ïðè óñëîâèè, ÷òî îáà èíòåãðàëà (10) è (11) ñõîäÿòñÿ ðàâíîìåðíî.Ïðèìåð 12.2 Z(ïðîäîëæåíèå).

Ãàììà-ôóíêöèÿ äèôôåðåíöèðóåìà, è åå ïðîèçâîäíàÿ+∞ðàâíà Γ0 (x) =ln y · y x−1 e−y dy∀ x > 0.038.

Характеристики

Список файлов лекций