MA2 (864555), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Ñëåäîâàòåëüíî, ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ Fx ðàâíàòî÷êó O ñ ñèëîé GmOP~ 3|OP |46(b2Gτ b.+ y 2 )3/2Òàêèì îáðàçîì,ZaFx = Gτ bhdyb dt i=y=btgt;dy==cos2 t(b2 + y 2 )3/2−aarctg(a/b)Zcos t dtGτa2a G τ=2 sin arctg = √.b2bbb b2 + a2= Gτ b− arctg(a/b)2. Ïëîñêàÿ ïëàñòèíà. Åñëè ïëàñòèíà Π èìååò âèä{a 6 x 6 y; f (x) 6 y 6 g(x)},ãäå g(x) > f (x) êóñî÷íî-íåïðåðûâíû, è âåëè÷èíà M èìååò ïîâåðõíîñòíóþ ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ σ(x), òî ïîëíîå çíà÷åíèå M è ñðåäíåå çíà÷åíèå σ âû÷èñëÿþòñÿ òàê:Zb(g(x) − f (x))σ(x)dx;M (Π) =σ=(19)M (Π).S(Π)a3. Òðåõìåðíîå òåëî.
Ïóñòü B êóáèðóåìîå òåëî, ïóñòü a = min x, b =, ñå÷åíèÿ B ïëîñêîñòÿìè, ïàðàëëåëüíûìè Oyz; âåëè÷èíà M èìååòBïðîñòðàíñòâåííóþ ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ γ(x). Òîãäà ïîëíîå çíà÷åíèå M èñðåäíåå çíà÷åíèå γ âû÷èñëÿþòñÿ òàê:Bmax x BxZbM (B) =S(Bx )γ(x)dx;γ=M (B).V (B)(20)aÏðèìåð 11.2.Çà êàêîå âðåìÿ âîäà âûòå÷åò èç êîíè÷åñêîé âîðîíêè âûñîòîé H è ðàäèóñîì, åñëè ñêîðîñòü âûòåêàíèÿ C √z (ì3 /c); z ãëóáèíà, C çàäàííàÿ êîíñòàíòà?Ïðåäñòàâèì âîðîíêó â âèäåRB=px2 + y 2 6Rz; 06z6H .HÂðåìÿ âûòåêàíèÿ âîäû T èìååò ïðîñòðàíñòâåííóþ ïëîòíîñòü γ = (C √z)−1 .
Ïîôîðìóëå (20) ïîëó÷àåìZHT =0S(Bz )√ dz =C zZHπR2 z 2πR2√dz=H 2CH 2C z0√ZH2πR2 H3/2.z dz =5C0Âàæíûå ïðèëîæåíèÿ êðàòíûõ èíòåãðàëîâ âû÷èñëåíèå ìîìåíòîâ è öåíòðîâìàññ. Åñëè äàíà ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ìàññû % (ëèíåéíàÿ, ïîâåðõíîñòíàÿ èëè47îáúåìíàÿ), òî ñòàòè÷åñêèå ìîìåíòû è ìîìåíòû èíåðöèè èìåþò ñîîòâåòñòâóþùèåïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ:Mx ïëîòíîñòü x %;JOx ïëîòíîñòü (y 2 + z 2 )%;My ïëîòíîñòü y %;JOy ïëîòíîñòü (x2 + z 2 )%;Mz ïëîòíîñòü z %;JOz ïëîòíîñòü (x2 + y 2 )%.Åñëè ïîëó÷àåòñÿ ïëîòíîñòü, çàâèñÿùàÿ îò îäíîé êîîðäèíàòû, òî ìîìåíò ìîæíîâû÷èñëèòü ÷åðåç èíòåãðàë.
Öåíòð ìàññ èìååò êîîðäèíàòû xc = MMx , yc = MMy ,Mz.zc =MÏðèìåð 11.3.Íàéòè öåíòð ìàññ ïîëóøàðà ïîñòîÿííîé ïëîòíîñòè. Çàäàäèì ïîëóøàð â âèäå0 6 x 6 R,py2 + z2 6pR2 − x2 .Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ïëîòíîñòü = 1 (ðåçóëüòàò îò íåå íå çàâèñèò). Èç ñèììåòðèèî÷åâèäíî, ÷òî yc = zc = 0. Bû÷èñëèì ìàññó M è ñòàòè÷åñêèé ìîìåíò Mx :M =πZR2x3 R(R2 − x2 )dx = π R2 x − = πR3 ,3 030ZR R2 x2x4 RπR4Mx = π (R2 − x2 )x dx = π−, =24 040îòñþäàÎòâåò:Mx3xc == RM8C(3R/8; 0; 0)Ïðèìåð 11.4...Íàéòè ìîìåíò èíåðöèè êðóãëîé ïëàñòèíû ðàäèóñîì R è ïîñòîÿííîé √ïëîòíîñòè1êã/ì2 îòíîñèòåëüíî eå äèàìåòðà.
Ïðåäñòàâèì ïëàñòèíó â âèäå {|y| 6 R2 − x2 }è âûáåðåì äèàìåòð, ëåæàùèé íà îñè Oy. Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ JOy ðàâíàx2 + z 2 = x2 . Ïî ôîðìóëå (19)JOyZR p=2 R2 − x2 x2 dx =[ïîäñòàíîâêà x = R sin t]−RZπ/2=−π/2Zπ/2R42R cos t sin t dt =2422−π/2sin2 2t dt =êã · ì2 ).πR4(4Ñëåäóþùèå äâå òåîðåìû Ãóëüäåíà áûâàþò ïîëåçíû ïðè âû÷èñëåíèè îáúåìîâòåë âðàùåíèÿ è ïëîùàäåé ïîâåðõíîñòåé âðàùåíèÿ.Òåîðåìà 11.1. Îáúåì òåëà B, ïîëó÷åííîãî âðàùåíèåì âîêðóã îñè Oy êâàäðèðóåìîé ôèãóðû Φ, ðàñïîëîæåííîé â ïðàâîé ïîëóïëîñêîñòè, ðàâåí V (B) = 2πS(Φ)xc,ãäå C öåíòð ìàññ Φ, åñëè åå ïîâåðõíîñòíàÿ ïëîòíîñòü ≡ 1.48Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ Φ = {a 6 x 6 b; f (x) 6 y 6 g(x)} ïîëó÷èìZbx(g(x) − f (x))dx =S(Φ)xc = Mx (Φ) =aV (B).2πÅñëè Φ ñêëååíà èç íåñêîëüêèõ ôèãóð òàêîãî âèäà, òî è ñòàòè÷åñêèå ìîìåíòû, èîáúåìû ñëîæàòñÿ.Òåîðåìà 11.2.
Ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè Σ, ïîëó÷åííîé âðàùåíèåì âîêðóã îñè Oyêóñî÷íî-ãëàäêîé êðèâîé `, ðàñïîëîæåííîé â ïðàâîé ïîëóïëîñêîñòè, ðàâía S(Σ) =, ãäå C öåíòð ìàññ `, åñëè åå ëèíåéíàÿ ïëîòíîñòü ≡ 1.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ` = {(x(t); y(t)) : α 6 t 6Z ββ}. Ëèíåéíàÿ ïëîòíîñòüp.ðàñïðåäåëåíèÿ Mx ðàâíà x, ïîýòîìó L(`)xc = Mx (`) = x(t) (x0 (t))2 + (y0 (t))2 dt = S(Σ)2π2πL(`)xcαÏðèìåð 11.5.Äàí òîð, ïîëó÷åííûé âðàùåíèåì îêðóæíîñòè ðàäèóñîì r ñ öåíòðîì C(R; 0),, âîêðóã îñè Oy. Öåíòðû ìàññ îêðóæíîñòè è êðóãà ñîâïàäàþò ñ C .Ñëåäîâàòåëüíî, îáúåì è ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè òîðàR > r > 0V = 2π · πr2 · R = 2π 2 Rr2 ;S = 2π · 2πr · R = 4π 2 Rr.Çàäà÷è ïî òåìå ëåêöèè 1111.1.
Êàêóþ ðàáîòó íàäî ñîâåðøèòü, ÷òîáû âûêà÷àòü æèäêîñòü ïëîòíîñòüþ % èçðåçåðâóàðà â ôîðìå êîíóñà âåðøèíîé âíèç ñ âûñîòîé H è ðàäèóñîì îñíîâàíèÿR?11.2. Èç êîíè÷åñêîãî ðåçåðâóàðà âåðøèíîé âíèç ÷åðåç îòâåðñòèå â âåðøèíå âîäàâûòåêëà çà T = 1 ÷. ×åðåç êàêîå âðåìÿ ïîñëå íà÷àëà âûòåêàíèÿ óðîâåíü âîäûïîíèçèëñÿ íàïîëîâèíó?11.3. Äâà îäíîèìåííî çàðÿæåííûõ øàðèêà íàõîäèëèñü íà ðàññòîÿíèè 1 ì è îòòàëêèâàëèñüñ ñèëîé 1 Í. Êàêóþ ðàáîòó íàäî ñîâåðøèòü, ÷òîáû ïðèäâèíóòü îäèí øàðèê êäðóãîìó íà ðàññòîÿíèå 0,1 ì ?4911.4. Íàéòè ìîìåíò èíåðöèè ïëàñòèíû â ôîðìå ðàâíîñòîðîííåãî òðåóãîëüíèêàñî ñòîðîíîé a è ìàññîé M îòíîñèòåëüíî åãî ìåäèàíû.Íàéòè öåíòðû ìàññ ñëåäóþùèõ òåë:11.5. Êîíóñ ñ ðàäèóñîì îñíîâàíèÿ R è âûñîòîé H , ïëîòíîñòü ïðîïîðöèîíàëüíà ðàññòîÿíèþ îò îñíîâàíèÿ. Ïîìåñòèòü íà÷àëî êîîðäèíàò â öåíòð îñíîâàíèÿ,âåðøèíà íà îñè Oz.11.6.
Óñå÷åííûé êîíóñ ñ ðàäèóñàìè îñíîâàíèé R > r è âûñîòîé h, ïëîòíîñòüïîñòîÿííà. Ïîìåñòèòü íà÷àëî êîîðäèíàò â öåíòð áîëüøîãî îñíîâàíèÿ, îñü êîíóñàíà îñè Oz.11.7. Ïðîâåðèòü ïî òåîðåìàì Ãóëüäåíà ðåçóëüòàòû çàäà÷ 8.3 è 10.1.ËåêöèÿN o 12.Íåñîáñòâåííûå èíòåãðàëûÎáû÷íûé èíòåãðàë Ðèìàíà ïðèìåíèì òîëüêî äëÿ îãðàíè÷åííûõ ôóíêöèé íà îãðàíè÷åííûõ ïðîìåæóòêàõ. Íåñîáñòâåííûå èíòåãðàëû ïîçâîëÿþò ðàñøèðèòü âîçìîæíîñòèèíòåãðèðîâàíèÿ: 1-ãî ðîäà íà íåîãðàíè÷åííûå ïðîìåæóòêè, 2-ãî ðîäà íàíåîãðàíè÷åííûå ôóíêöèè.Îïðåäåëåíèå 12.1.
Ïóñòü ôóíêöèÿ f (x) èíòåãðèðóåìà íà êàæäîì îòðåçêå[a; β], β > a. Íåñîáñòâåííûì èíòåãðàëîì 1-ãî ðîäà ïî ëó÷ó [a; +∞) íàçûâàåòñÿ ïðåäåë+∞ZZβf (x)dx = limf (x)dx.β→+∞aaZbZbÅñëè ýòîò ïðåäåë ñóùåñòâóåò è êîíå÷åí, òî ãîâîðÿò, ÷òî íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë ñõîäèòñÿ, åñëè áåñêîíå÷åí èëè íå ñóùåñòâóåò, òî ðàñõîäèòñÿ.Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë 1-ãî ðîäà ïî ëó÷ó (−∞; b]:f (x)dx = limf (x)dx.α→−∞−∞αÁóäåì íàçûâàòü îñîáûìè òî÷êàìè òî÷êè ðàçðûâà 2-ãî ðîäà ôóíêöèè f (x).Îïðåäåëåíèå 12.2. Ïóñòü ôóíêöèÿ f (x) èíòåãðèðóåìà íà êàæäîì îòðåçêå[a; β], a < β < b.
Íåñîáñòâåííûì èíòåãðàëîì 2-ãî ðîäà ïî îòðåçêó [a; b] ñîñîáîé òî÷êîé b íàçûâàåòñÿ ïðåäåëZβZbf (x)dx = limf (x)dx.β→b−0aaZZÅñëè ýòîò ïðåäåë ñóùåñòâóåò è êîíå÷åí, òî ãîâîðÿò, ÷òî íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë ñõîäèòñÿ, åñëè áåñêîíå÷åí èëè íå ñóùåñòâóåò, òî ðàñõîäèòñÿ.Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë 2-ãî ðîäà ïî îòðåçêó [a; b]ñ îñîáîé òî÷êîé a:bbf (x)dx.f (x)dx = limα→a+0αaÏðèìåð 12.1.Èíòåãðàë ñòåïåííîé ôóíêöèè ïî [1; +∞):+∞ZZβ−1x dx = limx−1 dx = lim (ln β − ln 1) = +∞;β→+∞1β→+∞151+∞ZZββ p+1 − 1p=x dx = limxp dx = limβ→+∞β→+∞p+111=|p + 1|−1+∞Èíòåãðàë ñõîäèòñÿ ïðè p < −1, ðàñõîäèòñÿ ïðè p > −1.ïðè p < −1ïðè p > −1.Ïðèìåð 12.2.Èññëåäóåì íà ñõîäèìîñòü èíòåãðàë ñòåïåííîé ôóíêöèè ïî îòðåçêó [0; 1].
Ïðèòî÷êà 0 îñîáàÿ.p<0Z1−1xZ1dx = limα→+0α→+0α0Z1x−1 dx = lim (ln 1 − ln α) = +∞;Z1px dx = limα→+01 − αp+1=α→+0p+1xp dx = limα0=(p + 1)−1+∞Èíòåãðàë ñõîäèòñÿ ïðè p > −1, ðàñõîäèòñÿ ïðè p 6 −1.ïðè p > −1ïðè p < −1.Ïðèìåð 12.3.Èíòåãðàë óáûâàþùåé ýêñïîíåíòû ñõîäèòñÿ: ïðè 0 < A < < 1 ïîëó÷èì+∞ZZβAβ − 1−1xA dx = limAx dx = lim=.β→+∞β→+∞ ln Aln A00Íî íå âñåãäà áûâàåò âîçìîæíî ïðîâåðèòü ñõîäèìîñòü èíòåãðàëà íåïîñðåäñòâåííî. Ðàññìîòðèì îñíîâíûå ïðèçíàêè ñõîäèìîñòè.
Äëÿ ïðîñòîòû ôîðìóëèðîâîêîãðàíè÷èìñÿ ñëó÷àåì íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà 1-ãî ðîäà ïî ëó÷ó [a; +∞): ñëó÷àè(−∞; b] è 2-ãî ðîäà àíàëîãè÷íû.Ëåììà 12.1. Êðèòåðèé Êîøè. Íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë ñõîäèòñÿ â òîì èòîëüêî òîì ñëó÷àå, åñëè∀ε > 0 ∃N > a : ∀γ > β > NZγ f (x)dx < ε.(21)βÄîêàçàòåëüñòâî.
Óñëîâèå (21) ðàâíîñèëüíî êðèòåðèþ Êîøè ñóùåñòâîâàíèÿ êîíå÷íîãî ïðåäåëà β→+∞lim F (β) äëÿ ôóíêöèèZβF (β) =f (x)dxa52.Èç êðèòåðèÿ Êîøè âûòåêàåò, ÷òî ñõîäèìîñòü íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà íåçàâèñèò îò ïîâåäåíèÿ f (x) íà íà÷àëüíîì îòðåçêå [a; A], êàêîå áû A > a ìû íèçàôèêñèðîâàëè.Îïðåäåëåíèå 12.3. Íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë îò ôóíêöèè f (x) ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî,åñëè ñõîäèòñÿ òàêîé æå èíòåãðàë îò ôóíêöèè |f (x)|.Ëåììà 12.2. Åñëè íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë îò ôóíêöèè f (x) ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî,òî îí ñõîäèòñÿ.Z +∞Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè èíòåãðàë|f (x)|dx ñõîäèòñÿ, òî ïî êðèòåðèþ Êîøèa∀ε > 0 ∃N > a :γZ∀γ > β > Nε>βZ|f (x)|dx > γβf (x)dx.Òàêèì îáðàçîì, óñëîâèå êðèòåðèÿ Êîøè âûïîëíåíî è äëÿ èíòåãðàëà îò f (x).Îïðåäåëåíèå 12.4. Íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë îò ôóíêöèè f (x) ñõîäèòñÿ óñëîâíî,åñëè îí ñõîäèòñÿ, íî òàêîé æå èíòåãðàë îò ôóíêöèè |f (x)| ðàñõîäèòñÿ.Ëåììà 12.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
