MA2 (864555), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Ýòî áóäåò òîð ñ äûðîé íóëåâîãî ðàäèóñà. Çàïèøåìóðàâíåíèå êðóãà â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ:x2 +(y −1)2 < 1(ρ cos ϕ)2 + (ρ sin ϕ − 1)2 = ρ2 − 2ρ sin ϕ < 0 ⇐⇒ ρ < 2 sin ϕ.Ïî ôîðìóëå (12) ïîëó÷àåì2πV =3Zβ(2 sin ϕ)3 sin ϕ dϕ =2π3π = 2π 2 .3αÇàäà÷è ïî òåìå ëåêöèè 8Âû÷èñëèòüîáúåìû òåë, èíòåãðèðóÿ ïëîùàäè ãîðèçîíòàëüíûõ ñå÷åíèé:28.1. 00 << yz << 12 −− xz. , 8.2. x2 < y < z < 4.Âû÷èñëèòü îáúåìû òåë, ïîëó÷åííûõ âðàùåíèåì ñëåäóþùèõ ôèãóð:8.3. 0 < y < sin πx2 , 0 < x < 2 âîêðóã îñè Oy.8.4.
0 < y < x√1 − x âoêðóã îñè Ox (ðèñ. À).8.5. x −2 1 < y < 2 − x âoêðóã îñè Ox (ðèñ. Á).8.6. Ñåãìåíò (x − 2)2 + y2 < 2, y > 1 âîêðóã îñè Oy.8.7. ρ < sin 2ϕ (y > 0) âoêðóã îñè Ox.8.8. Êàðäèîèäà ρ < 1 + cos ϕ âoêðóã îñè Ox.ËåêöèÿN o 9.Äëèíû êðèâûõÎïðåäåëåíèå 9.1. Êðèâîé â ïðîñòðàíñòâå R (èëè íà ïëîñêîñòè R ) íàçûâàåòñÿìíîæåñòâî âèäà32(13)` = {P (t) = (x(t); y(t); z(t)) : t ∈ [α; β]},ãäå x(t), y(t), z(t) íåïðåðûâíûå ôóíêöèè íà [α; β].Îïðåäåëåíèå9.2. Êðèâàÿ íàçûâàåòñÿ ãëàäêîé, åñëè ñóùåñòâóþò íåïðåðûâíûåẋ = x0 (t), ẏ = y 0 (t), ż = z 0 (t), íå îáðàùàþùèåñÿ â 0 îäíîâðåìåííî (ïðè t = αèìåþòñÿ â âèäó ïðàâûå ïðîèçâîäíûå, ïðè t = β ëåâûå).Êðèâàÿ íàçûâàåòñÿ êóñî÷íî-ãëàäêîé, åñëè ñóùåñòâóþò òàêèå tj : α = t0 < t1 <.
. . < tN = β , ÷òî ñîñòàâëÿþùèå åå êðèâûå {P (t) : t ∈ [tj−1 ; tj ]} ãëàäêèå.Îïðåäåëåíèå 9.3. Äëèíà êðèâîé L(`) åñòü ñóïðåìóì äëèí âïèñàííûõ â íååëîìàíûõ P0 P1 . . . Pn , Pi = P (ti ), ò. e.(L(`) = supnX)~ Pi | : α = t0 < t1 < . . . < tn = β .|Pi−1k=1Òåîðåìà 9.1. Äëèíà êóñî÷íî-ãëàäêîé êðèâîé (13)L(`) =Zβ pẋ2 + ẏ 2 + ż 2 dt = L.(14)αÄîêàçàòåëüñòâî. Ïîñêîëüêó ïðè ñòûêîâêå êðèâûõ äëèíû ñêëàäûâàþòñÿ, äîñòàòî÷íî äîêàçàòü òåîðåìó äëÿ ãëàäêîé êðèâîé. Ïóñòü ôóíêöèè ẋ, ẏ, ż íåïðåðûâíû íà[α; β]. Òîãäà îíè ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíû, ïîýòîìó ∀ε > 0 ∃δ > 0: åñëè s, t ∈ [α; β],|s − t| 6 δ , òî|ẋ(s) − ẋ(t)| + |ẏ(s) − ẏ(t)| + |ż(s) − ż(t)| < ε.Âîçüìåì ðàçáèåíèå {ti }ni=0 îòðåçêà [α; β] ñ äèàìåòðîì < δ è ïîñòðîèì ëîìàíóþP0 P1 .
. . Pn ñ êîíöàìè â óçëàõ ðàçáèåíèÿ. Îöåíèì åå äëèíó (îáîçíà÷èì xi = x(ti )39è ò.ä.). ÈìååìL = L(P0 P1 . . . Pn ) =nX~ Pi | =|Pi−1i=1=n pX(xi − xi−1 )2 + (yi − yi−1 )2 + (zi − zi−1 )2 .i=1Ïðèìåíèì òåîðåìó Ëàãðàíæà ïî îòäåëüíîñòè ê x(t), y(t) è z(t); çàòåì îöåíèì L,ïðèìåíèâ íåðàâåíñòâîpp a2 + b2 + c2 − p2 + q 2 + r2 6 |a − p| + |b − q| + |c − r|.L=nXp(ti − ti−1 ) (ẋ(ξi ))2 + (ẏ(ηi ))2 + (ż(ζi ))2 >i=1>nX(ti − ti−1 )p(ẋ(ti ))2 + (ẏ(ti ))2 + (ż(ti ))2 − ε =i=1{t }= S{tii} − ε(β − α),ãäå S{t{t }} èíòåãðàëüíàÿ ñóììà äëÿ èíòåãðàëà (14), êîòîðàÿ ñòðåìèòñÿ ê L ïðèδ → 0.
Ñëåäîâàòåëüíî, L(`) > L. Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ, ÷òîL(P0 P1 . . . Pn ) 6 L + ε(15)ïðè äîñòàòî÷íî ìàëîì diam{ti }. Íî åñëè diam{ti } íåäîñòàòî÷íî ìàë, òî â ëîìàíóþìîæíî âïèñàòü ëîìàíóþ èç áîëåå ìåëêèõ îòðåçêîâ, äëèíà êîòîðîé íå ìåíüøåèñõîäíîé. Òàêèì îáðàçîì, îöåíêà (15) âåðíà äëÿ ëþáîé ëîìàíîé è ëþáîãî ε > 0=⇒ L(`) = sup L(P0 P1 . . . Pn ) 6 L.Ñëåäñòâèå 9.1. Åñëè ïëîñêàÿ êðèâàÿ ÿâëÿåòñÿ ãðàôèêîì íåïðåðûâíîé ôóíêöèèy = f (x), a 6 x 6 b, èìåþùåé êóñî÷íî-íåïðåðûâíóþ ïðîèçâîäíóþ, òî îíà êóñî÷íî-ãëàäêàÿ è åå äëèíàiiZb pL{y = f (x), a 6 x 6 b} =1 + (f 0 (x))2 dx.(16)aÄîêàçàòåëüñòâî.
Ïîäñòàâèì â ôîðìóëó (14) x = t, y = = f (t), z = 0.Ñëåäñòâèå 9.2. Åñëè ïëîñêàÿ êðèâàÿ ` çàäàíà â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ: ρ =R(ϕ), α 6 ϕ 6 β , è ôóíêöèÿ R(ϕ) > 0 èìååò êóñî÷íî-íåïðåðûâíóþ ïðîèçâîäíóþ,òî îíà êóñî÷íî-ãëàäêàÿ è åå äëèíàZβ pL(`) =R2 (ϕ) + (R0 (ϕ))2 dϕ.α40(17)Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîäñòàâèâ â ôîðìóëó (14) ϕ = t, ïîëó÷aeì x = R(t) cos t, ẋ = Ṙ cos t − R sin t,y = R(t) sin t,ẏ = Ṙ sin t + R cos t,z = 0,ż = 0,îòêóäàpẋ2 + ẏ 2 + ż 2 =pR2 + Ṙ2.Ïðèìåð 9.1.Íàéòè äëèíó ó÷àñòêà ãðàôèêà y = ex îò x = 0 äî x = 1. Ïî ôîðìóëå (16)ïîëó÷àåìZ1 pL=1 + e2x dx =x = ln ydx = dy/yZe p1 + y2dy ==y01Ze=11 + y2pdy =y 1 + y2Ze1Zedyp+y 1 + y21y dyp=1 + y2[â ïåðâîì èíòåãðàëå çàìåía t = 1/y, âî âòîðîì z = 1 + y2 ]Z1/e=−1dt√+t2 t−1 1 + t−2= ln(1 +√2) − ln(e−1 +21+eZdz√ =2 z2Z1√√ 1+e2dt+ z 2=t2 + 11/ep1 + e−2 ) +Ïðèìåð 9.2.p√1 + e2 − 2 ≈ 2,003.Íàéòè äëèíó ÷àñòè ãèïåðáîëè÷åñêîé ñïèðàëè {ρ = ϕ−1 }, ëåæàùóþ â êðóãå{ρ 6 1}. Óñëîâèþ ρ 6 1 îòâå÷àåò ϕ èç [1; +∞).41Ðàññìîòðèì ó÷àñòîê c ϕ ∈ [1; T ].
Ïî ôîðìóëå (17)ZT p 2ZT pϕ +1−2−4L=ϕ + ϕ dϕ =dϕ =ϕ211ZT=1dϕp+1 + ϕ2ZT1ϕ2dϕp=1 + ϕ2[âî âòîðîì èíòåãðàëå äåëàåì çàìåíó t = 1/ϕ]= ln(T +pT21/TZ+ 1) −1= ln(T +√tdt=t2 + 1p√T 2 + 1) − T −2 + 1 + 2.pÏðè T → +∞ ýòà äëèíà íåîãðàíè÷åííî ðàñòåò.Oòâåò: äëèíà ñïèðàëè áåñêîíå÷íà.Çàäà÷è ïî òåìå ëåêöèè 9Âû÷èñëèòü äëèíû êðèâûõ:9.1. Äóãà ïàðàáîëû y = (x − 1)(3 − x) > 0.9.2. Âèòîê ëîãàðèôìè÷åñêîé ñïèðàëè ρ = eϕ/4, 0 6 ϕ 6 2π.9.3. Êàðäèîèäà ρ = 1 + cos ϕ.9.4.
Ïðîñòðàíñòâåííàÿ êðèâàÿ y = x , z = 2x3 , 0 6 x 6 2.9.5. Âèòîê âèíòîâîé ëèíèè x = cos t, y = sin t, z = kt, 0 6 t 6 2π.9.6. Äîêàçàòü, ÷òî äëèíà ýëëèïñà ñ ïîëóîñÿìè 1 è √2 ðàâíà äëèíå ñèíóñîèäû32,y = sin x 0 6 x 6 2π.ËåêöèÿN o 10.Ïëîùàäè ïoâåðõíîñòåé âðàùåíèÿÏóñòü ïîâåðõíîñòü Σ ïîëó÷åíà âðàùåíèåì âîêðóã îñè Ox ãëàäêîé íåñàìîïåðåñåêàþùåéñÿêðèâîé` = {x = x(t), y = y(t), α 6 t 6 β},ðàñïîëîæåííîé â ïîëóïëîñêîñòè {(x; y) : y > 0}. Èíòóèòèâíî ïîíÿòíî, ÷òîïëîùàäü Σ ðàâíà ïðåäåëó ïëîùàäåé ïîâåðõíîñòåé Σ{t } , ïîëó÷åííûõ âðàùåíèåìëîìàíûõiP0 P1 . . . Pn ,âîêðóã îñè Ox:Pi = (x(ti ); y(ti )) = (xi ; yi ),ïðè diam{ti } → 0.Íàéäåì ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè ΣAB , ïîëó÷åííîé âðàùåíèåì îòðåçêà AB âîêðóãOx. Îíà ìîæåò èìåòü ðàçíûé âèä:åñëè yA = yB , òî öèëèíäð, S = 2πyA |xA − xB |;åñëè yA > yB , xA = xB , òî êðóã (ïðè yB > 0 ñ êðóãëîé äûðîé), S =22π(yA− yB);åñëè yA > yB , xA 6= xB , òî áîêîâàÿ ïîâåðõíîñòü êîíóñà (ïðè yB > 0 ~ .óñå÷åííîãî), S = π(yA + yB )|AB|S(Σ{ti } ) → S(Σ)Âî âñåõ òðåõ ñëó÷àÿõ âåðíà ôîðìóëàpS(ΣAB ) = π(yA + yB ) (xA − xB )2 + (yA − yB )2 .Ñëåäîâàòåëüíî, ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè Σ{t }inXyi−1 + yi p(xi − xi−1 )2 + (yi − yi−1 )2 =S(Σ{ti } ) = 2π2i=1= 2πnXpy(θi ) (ẋ(ξi ))2 +(ẏ(ηi ))2 (ti − ti−1 ), θi , ξi , ηi ∈ (ti−1 ; ti )i=1ïðè diam{ti } → 0 ñòðåìèòñÿ êZβS(Σ) = 2πpy(t) ẋ2 + ẏ 2 dt.α43(18)Ñëåäñòâèå 10.1.
Åñëè ïëîñêàÿ êðèâàÿ ÿâëÿåòñÿ ãðàôèêîì íåïðåðûâíîé ôóíê-öèè y = f (x) > 0, a 6 x 6 b, èìåþùåé íåïðåðûâíóþ ïðîèçâîäíóþ, òî ïëîùàäüïîâåðõíîñòè, ïîëó÷åííîé âðàùåíèåì åå âîêðóã îñè Ox,py 2 + z 2 = f (x)} = 2πS{a 6 x 6 b;Zbpf (x) 1 + (f 0 (x))2 dx.aÅñëè (ïðè a > 0) âðàùàòü òó æå êðèâóþ âîêðóã îñè Oy, òî ïîëó÷èì ïëîùàäüS{a 6 ρ =px2+z 2 6 b;Zb py = f (ρ)} = 2π x 1 + (f 0 (x))2 dx.aÄîêàçàòåëüñòâî. Ïîäñòàâèì â ôîðìóëó (18) x = t, y = = f (t). Òîëüêî âî âòîðîìñëó÷àå x è y â íåé ïîìåíÿþòñÿ ðîëÿìè.Ñëåäñòâèå 10.2.
Åñëè ïëîñêàÿ êðèâàÿ çàäàíà â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ: ρ =R(ϕ), 0 6 α 6 ϕ 6 β 6 π , è ôóíêöèÿ R(ϕ) > 0 èìååò íåïðåðûâíóþ ïðîèçâîäíóþ,òî ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè Σ, ïîëó÷åííîé âðàùåíèåì åå âîêðóã îñè Ox,ZβS(Σ) = 2πR(ϕ) sin ϕpR2 (ϕ) + (R0 (ϕ))2 dϕ.αÄîêàçàòåëüñòâî. Ïîäñòàâèì â ôîðìóëó (18) ϕR(t) sin t > 0.= t, òîãäà,x = R(t) cos t y =Ïðèìåð 10.1.Äëèíà äóãè ` ãèïåðáîëû y = 1/x, 1 6 x 6 b, âûðàæàåòñÿ íåáåðóùèìñÿ èíòåãZb p1 + x−4 dxðàëîì.1Åñëè æå ìû áóäåì âû÷èñëÿòü ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè Σ, ïîëó÷åííîé âðàùåíèåì `âîêðóã îñè Ox, òî ñìîæåì âûðàçèòü èíòåãðàë àíàëèòè÷åñêè:ZbS(Σ) = 2π1p1 + x−4 dx =x1[u =√;11 + x−4 =⇒ x = (u2 − 1)−1/4 dx = − (u2 − 1)−5/4 udu2√1+bZ −4u2 duπ=u2 − 12= −π√]√2u − 1 =2u + lnu + 1 √1+b−42√√p2−11 + b−4 − 1π √−4− 2 1 + b − ln √.=2 2 + ln √22+11 + b−4 + 144Çàäà÷è ïî òåìå ëåêöèè 10Âû÷èñëèòü ïëîùàäè ïîâåðõíîñòåé, ïîëó÷åííûõ âðàùåíèåì ñëåäóþùèõ êðèâûõ:10.1.
Äóãà ïàðàáîëû èç çàäà÷è 9.1 âîêðóã îñè Oy.10.2. Êàðäèîèäà èç çàäà÷è 9.3 âîêðóã îñè Ox.10.3. y = tg x, 0 6 x 6 π/3, âîêðóã îñè Ox.10.4. Äóãà öèêëîèäû x = t − sin t, y = 1 − cos t, 0 6 t 6 π2 , âîêðóã îñè Oy.10.5. Ñôåðó ðàäèóñîì R ïåðåñåêàþò äâå ïàðàëëåëüíûå ïëîñêîñòè, ðàññòîÿíèåìåæäó êîòîðûìè D. Íàéòè ïëîùàäü ÷àñòè ñôåðû, ëåæàùåé ìåæäó ïëîñêîñòÿìè.ËåêöèÿN o 11.Ôèçè÷åñêèå ïðèëîæåíèÿîïðåäåëåííûõ èíòåãðàëîâÏðè ïîìîùè îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà âû÷èñëÿþò ïîëíîå çíà÷åíèå àääèòèâíîéñêàëÿðíîé ôèçè÷åñêîé âåëè÷èíû, åñëè èçâåñòíà ïëîòíîñòü åå ðàñïðåäåëåíèÿ (ëèíåéíàÿ,ïîâåðõíîñòíàÿ èëè îáúåìíàÿ) è ýòà ïëîòíîñòü çàâèñèò ëèøü îò îäíîé êîîðäèíàòû.Ïðèìåðû ñêàëÿðíûõ ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí: ìàññà, çàðÿä, ýíåðãèÿ (ïîòåíöèàëüíàÿ,êèíåòè÷åñêàÿ, òåïëîâàÿ), ñòàòè÷åñêèé ìîìåíò, ìîìåíò èíåðöèè, âðåìÿ äâèæåíèÿ,îäíà èç êîìïîíåíò ñèëû, äåéñòâóþùåé íà òåëî (äàâëåíèå, ïðèòÿæåíèå) èëè âûçûâàåìîé ýòèì òåëîì, ìîìåíò òàêîé ñèëû.1.
Ãëàäêàÿ êðèâàÿ. Ïóñòü êðèâàÿ çàäàíà â âèäå` = {(x(t); y(t); z(t)) : t ∈ [α; β]},è íà íåé àääèòèâíàÿ âåëè÷èíà M èìååò ëèíåéíóþ ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ τ (t).Ïîëíîå çíà÷åíèå M è ñðåäíåå çíà÷åíèå τ (ñðåäíÿÿ ëèíåéíàÿ ïëîòíîñòü) âû÷èñëÿþòñÿ òàê:βZM (`) =pτ (t) (x0 (t))2 + (y 0 (t))2 + (z 0 (t))2 dt;ατ=M (`).L(`)Ïðèìåð 11.1.Ñ êàêîé ñèëîé F~ ìàññà 1 êã â òî÷êå O(0; 0; 0) ïðèòÿãèâàåòñÿ ñòåðæíåì {x =ñ ïîñòîÿííîé ëèíåéíîé ïëîòíîñòüþ τ (êã/ì)?b; z = 0; |y| 6 a}Èç ñèììåòðèè ñëåäóåò Fy = Fz = 0. Ìàññà m â òî÷êå P (x; y; z) ïðèòÿãèâàåò~ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
