MA2 (864555), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Àääèòèâíîñòü è íå÷óâñòâèòåëüíîñòüê òî÷êå ïîçâîëÿò ïåðåéòè ê êóñî÷íî-íåïðåðûâíîé ôóíêöèè.Äèôôåðåíöèðîâàíèå èíòåãðàëàïî âåðõíåìó ïðåäåëóÏîëîæèìRaa;f (x)dx = 0RabRbf (x)dx = − f (x)dxaïðè b > a.Òåîðåìà 6.2. Åñëè ôóíêöèÿ f (x) íåïðåðûâíà íà ïðîìåæóòêå I è çàôèêñèðîâàíàòî÷êà c ∈ I , òî ôóíêöèÿZ xF (x) =f (y)dycÿâëÿåòñÿ ïåðâîîáðàçíîé ôóíêöèè f íà I .Z x+h åñëè x, x + h ∈ I , òîÄîêàçàòåëüñòâî.  ñèëó àääèòèâíîñòè èíòåãðàëà,F (x + h) − F (x) =f (y)dy.x25Ïîêàæåì, ÷òî F 0 (x) = f (x), ïðèìåíèâ òåîðåìó î ñðåäíåì (∃ z ìåæäó x è x + h):F (x + h) − F (x)1=hhZx+hf (y)dy = f (z) −→ f (x),h→0xïîñêîëüêó f íåïðåðûâíà â òî÷êå x.Ñëåäñòâèå 6.1. Ôîðìóëà Íüþòîíà Ëåéáíèöà: åñëè a, b ∈ I è ôóíêöèÿF (x) ïåðâîîáðàçíàÿ íåïðåðûâíîé ôóíêöèè f (x) íà I , òîbZabf (x)dx = F (x) = F (b) − F (a).aÝòà ôîðìóëà ïîçâîëÿåò âû÷èñëÿòü îïðåäåëåííûé èíòåãðàë ÷åðåç íåîïðåäåëåííûé.Ïðèìåð 6.1.Âû÷èñëèòü èíòåãðàë ôóíêöèè f (x) = x3 ïî îòðåçêó [1, 3] è ñðåäíåå çíà÷åíèåf (x) íà ýòîì îòðåçêå.Ïî ôîðìóëå Íüþòîíà ËåéáíèöàZ313x4 34 − 14x dx === 20.4 143Ñðåäíåå çíà÷åíèå µ = 20/(3 − 1) = 10.
Îíî äîñòèãàåòñÿ â òî÷êå x =√3.10Çàäà÷è ïî òåìå ëåêöèè 6Âû÷èñëèòü èíòåãðàëû äàííûõ ôóíêöèé ïî äàííûì îòðåçêàì:Z46.1.2Z5x dx.16.2.Z3|x|dx.6.3.−22xdx.1 + x20Âû÷èñëèòü ñðåäíåå çíà÷åíèå ôóíêöèè íà îòðåçêå:6.4. f (x) = x4 íà [0; 5].6.5. f (x) = sign x íà [−2; 3].6.6. f (x) = sin4 x íà [0; π].6.7. f (x) = max{0; 1 − x2} íà [−2; 2].6.8. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ âñÿêîãî ìíîãî÷ëåíà P (x) ñòåïåíè íå âûøå 3 ñïðàâåäëèâàôîðìóëà Ñèìïñîíà:ZbP (x)dx =ab−aP (a)+4P (c)+P (b) ,6c=Óêàçàíèå: ïðåäñòàâèòü P (x) â âèäå ìíîãî÷ëåíà îò (x − c).a+b.2ËåêöèÿN o 7.Ïëoùaäè ïëocêèx ôèãypÎïðåäåëåíèå 7.1. Ïóñòü Φ ⊂ R ïëîñêàÿ ôèãóðà.
Åå âíóòðåííÿÿ è âíåøíÿÿ2ïëîùàäè îïðåäåëÿþòñÿ òàê:S∗ (Φ) = sup{S(M ) : M ⊂ Φ}, S ∗ (Φ) = inf{S(M ) : M ⊃ Φ},ãäå M êîíå÷íûå îáúåäèíåíèÿ ìíîãîóãîëüíèêîâ íà ïëîñêîñòè. Åñëè S∗ (Φ) =S ∗ (Φ), òî ãîâîðÿò, ÷òî Φ êâàäðèðóåìà è åå ïëîùàäüS(Φ) = S∗ (Φ) = S ∗ (Φ).Ïëîùàäè â äåêàðòîâûõ êîîðäèíàòàõËåììà 7.1. Åñëè ôèãóðà Φ íà ïëîñêîñòè çàäàíà íåðàâåíñòâàìèg0a 6 x 6 b;0 6 y 6 g(x),ôóíêöèÿ g(x) > 0 íåïðåðûâíà íà [a; b], òî Φg0 êâàäðèðóåìà è åå ïëîùàäü ðàâíàS(Φg0 ) =bZg(x)dx = I.aÄîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü {ai}ni=0 ðàçáèåíèå îòðåçêà [a; b].
Òîãäà ôèãóðà Φg0 ñîäåðæèòñòóïåí÷àòóþ ôèãóðó M1 , à ñàìà ñîäåðæèòñÿ â ñòóïåí÷àòîé ôèãóðå M2 :M1 =n [[ai−1 ; ai ] × [0;i=1M2 =n [g] ;inf[ai−1 ;ai ][ai−1 ; ai ] × [0; sup g] .[ai−1 ;ai ]i=1Ïëîùàäè ýòèõ ìíîãîóãîëüíûõ ôèãóð:∗S(M1 )= ∗ S{a } (g), S(M2 )= S{a} (g),ii27a â ñèëó èíòåãðèðóåìîñòè g è òà è äðóãàÿ ìîãóò áûòü ñêîëü óãîäíî áëèçêè ê I .Òàêèì îáðàçîì,S ∗ (Φg0 ) = S∗ (Φg0 ) = I .Òåîðåìà 7.1. Åñëè ôèãóðà Φgf íà ïëîñêîñòè çàäàíà íåðàâåíñòâàìè a 6 x 6 b;f (x) 6 y 6 g(x), ôóíêöèè f è g íåïðåðûâíû è g(x) > f (x) íà [a; b], òî ïëîùàäügΦfS(Φgf )Zbg(x) − f (x) dx.=aÄîêàçàòåëüñòâî.
Ïóñòü−h = min 0; f (x) : x ∈ [a; b] .Ñäâèíóâ ôèãóðó Φgf íà h ââåðõ, ìû ïîëó÷èì ðàâíóþ åé ôèãóðó Φg+hf +h , êîòîðóþìîæíî ïðåäñòàâèòü (ïðåíåáðåãàÿ ãðàíè÷íûìè òî÷êàìè) â âèäåg+h\Φf0 +h , ïðè÷åì Φg+h⊃ Φ0f +h .Φg+h0f +h = Φ0Òîãäàg+h∗S ∗ (Φg+h) − S∗ (Φf0 +h ),f +h ) 6 S (Φ0g+hS∗ (Φfg+h) − S ∗ (Φf0 +h ),+h ) > S∗ (Φ0ñëåäîâàòåëüíî, Φg+hf +h êâàäðèðóåìà, èg+hS(Φg+h) − S(Φf0 +h ) =f +h ) = S(Φ0ZbZbg + h dx −=aZbg − f dx.f + h dx =aaÏðèìåð 7.1.28Âû÷èñëèì ïëîùàäü ìåæäó ãèïåðáîëîé {xy = 3} è ïðÿìîé {x+y = 4}.
Àáñöèññûòî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ: a = 1, b = 3. Âåðõíÿÿ ãðàíèöà y = g(x) = 4 − x, íèæíÿÿãðàíèöà y = = f (x) = 3/x. Òàêèì îáðàçîì, ïëîùàäüZ3S=133x24 − x − dx = 4x −− 3 ln |x| =x21= (7,5 − 3 ln 3) − 3,5 = 4 − ln 27 ≈ 0,704.Îòâåò: S ≈ 0,704.Ïëîùàäè ôèãóð ñ ãðàíèöàìè,çàäàííûìè ïàðàìåòðè÷åñêèÏóñòü ôóíêöèè f (x) è g(x) çàäàíû ïàðàìåòðè÷åñêè: x = x1 (t),y = y1 (t),α 6 t 6 β, x = x2 (t),y = y2 (t),γ 6 t 6 δ,x01 (t), x02 (t), y1 (t), y2 (t),íåïðåðûâíûïðè÷åì x01 (t), x02 (t) ñîõðàíÿþò çíàê. Òîãäà ïðè âû÷èñëåíèè ïëîùàäè Φgf ðàçîáüåìèíòåãðàë íà äâà ñëàãàåìûõ è â îäíîì ñäåëàåì ïîäñòàíîâêó x = x1 (t), à â äðóãîìx = x2 (t):S(Φgf )ZbZbg(x)dx −=af (x)dx =a= signx02Zδy2 (t)dx2 (t) − signγx01Zβy1 (t)dx1 (t)α(ìíîæèòåëü sign x01 ïîÿâèëñÿ èç-çà òîãî, ÷òî ïðè x01 < 0 èìååì x1 (α) = b, x1 (β) = a.Ïîýòîìó ïðåäåëû èíòåãðèðîâàíèÿ α è β ñòîÿò íàîáîðîò).29Ïðèìåð 7.2.Íàéäåì ïëîùàäü ìåæäó àðêîé öèêëîèäûè îñüþ Ox.{x = t − sin t; y = 1 − cos t; 0 6 t 6 2π}Çäåñü íèæíÿÿ ãðàíèöà y = 0, âåðõíÿÿ ãðàíèöà y = g(x) çàäàíà ïàðàìåòðè÷åñêè.Äåëàåì ïîäñòàíîâêó x = x(t):Z2πS=Z2πg(x)dx =0Z2πy(t)dx(t) = (1 − cos t)(1 − cos t)dt =002πZ2π2t + sin 2t 2= 1 − 2 cos t + cos t dt = t − 2 sin t + = 3π.400Èíòåðåñåí ñëó÷àé, êîãäà ãðàíèöà Φ ÿâëÿåòñÿ ïåòëåé ñàìîïåðåñåêàþùåéñÿ êðèâîé.
Ïóñòü íàïðàâëåíèå îáõîäà ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå. Äëÿ ïðîñòîòûïðåäïîëîæèì, ÷òî îáëàñòü âíóòðè ïåòëè âûïóêëà. Òîãäàx0 (t) > 0 ïðè γ < t < δ ;x0 (t) < 0 ïðè α < t < β ;ó÷àñòîê γ < t < δ ëåæèò âûøå ó÷àñòêà α < t < β .Ïðè ýòîì ëèáî τ = β < α = γ < δ = T (âõîä-âûõîä ïåòëè ñïðàâà), ëèáî τ = γ <δ = β < α = T (âõîä-âûõîä ïåòëè ñëåâà).  îáîèõ ñëó÷àÿõ ôîðìóëà ïëîùàäè Φïåðåïèøåòñÿ â âèäå{x = x(t), y = y(t)}ZαZδy(t)dx(t) +S(Φ) =γZTy(t)dx(t) =βy(t)dx(t).(7)τÇàìå÷àíèå 7.1. 1) ôîðìóëà (7) âåðíà äëÿ ëþáîé ãëàäêîé ïåòëè áåç âíóòðåííèõñàìîïåðåñå÷åíèé, îáõîäèìîé ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå.
Âõîä-âûõîä ìîæåò íàõîäèòüñÿñ ëþáîé ñòîðîíû. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ôèãóðó Φ ïðèäåòñÿ ðàçðåçàòü âåðòèêàëüíûìè ïðÿìûìè íà ÷àñòè âèäà Φgf ;2) åñëè ïåòëþ îáõîäèì ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè, â ôîðìóëå (7) ìåíÿåòñÿ çíàê.Ïðèìåð 7.3.Âû÷èñëèì ïëîùàäü ïåòëè êðèâîé {x = t2 , y = t3 − t}. Çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà täëÿ òî÷êè âõîäà-âûõîäà: τ = −1, T = 1. Ïî ôîðìóëå (7) ïîëó÷àåìZ1±S =Z1y(t)dx(t) =−1−1 51tt3 8(t − t)2tdt = 2−=− .53 −115330Îòâåò: S = 8/15, îáõîä ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè.Ïëîùàäè â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõÂâåäåì íà ïëîñêîñòè ïîëÿðíûå êîîðäèíàòû(ρ, ϕ), ρ > 0, |ϕ| 6 π, ñâÿçàííûå ñcos ϕ,äåêàðòîâûìè êîîðäèíàòàìè ñîîòíîøåíèÿìè xy == ρρ sinϕ.Òåîðåìà 7.2. Åñëè ôèãóðà Φ çàäàíà â ïîëÿðíûõ êoopäèíàòàõ: α 6 ϕ 6 β, ρ 6R(ϕ), ãäå α < β 6 α + 2π è ôóíêöèÿ R(ϕ) > 0 íåïðåðûâíà íà [α; β], òî Φ êâàäðèðóåìà è åå ïëîùàäüβ1S(Φ) =2ZR2 (ϕ)dϕ = J.αÄîêàçàòåëüñòâî. Ñåêòîð êðóãà ðàäèóñîì r ñ óãëîì δ êâàäðèðóåì, åãî ïëîùàäüðàâíà r2 δ/2.
Ïóñòü {ai }ni=0 ðàçáèåíèå îòðåçêà [α; β]. Òîãäà ôèãóðà Φ ñîäåðæèòîáúåäèíåíèå ñåêòîðîâ V1 , à ñàìà ñîäåðæèòñÿ â îáúåäèíåíèè ñåêòîðîâ V2 :V1 =n[i=1(ai−1 6 ϕ 6 aiρ 6 inf R); V2 =[ai−1 ;ai ]n[(ai−1 6 ϕ 6 aiρ 6 sup R).[ai−1 ;ai ]i=1Ïëîùàäè ýòèõ ôèãóð òàêîâû:S(V1 ) =∗ S{ai } (R22),S(V2 ) =∗S{a(R2 )i}2,à â ñèëó èíòåãðèðóåìîñòè R2 è òà è äðóãàÿ ìîãóò áûòü ñêîëü óãîäíî áëèçêè êJ . Òàêèì îáðàçîì, S ∗ (Φ) = S∗ (Φ) = J . Íà ðèñóíêå ôèãóðà Φ îáâåäåíà òîëñòîéëèíèåé, V1 çàêðàøåíà òåìíî-ñåðûì, V2 òåìíî- è ñâåòëî-ñåðûì.31Ïðèìåð 7.4.Âû÷èñëèì ïëîùàäü âíóòðè îäíîãî ëåïåñòêà√ëåìíèñêàòû, çàäàííîé óðàâíåíèåì. Çäåñü α = −π/4, β = π/4, R(ϕ) = cos 2ϕ.
Ïîëó÷àåìρ2 = cos 2ϕ1S=2Zπ/41R (ϕ) dϕ =22−π/4Zπ/4cos 2ϕ dϕ =−π/4=π/4 111sin 2ϕ= 1 − (−1) = .442−π/4Îòâåò: S = 1/2.Çàäà÷è ïî òåìå ëåêöèè 7Âû÷èñëèòü ïëîùàäè ôèãóð, çàäàííûõ â äåêàðòîâûõ êîîðäèíàòàõ:7.1. x2 + y2 < 5, xy > 2, x > 0.7.2. x2 < y < x + 12.7.3. 4 < y < 2 − 6cos x , |x| < π.Âû÷èñëèòü ïëîùàäè ôèãóð, çàäàííûõ â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ:7.4.
ϕ < ρ < ϕ + 2π, 0 < ϕ < 2π (ðèñ. À).7.5. Âíóòðè êàðäèîèäû ρ = 1 + cos ϕ è âíóòðè îêðóæíîñòè ρ = √3 sin ϕ (ðèñ. Á).Âû÷èñëèòü ïëîùàäè ôèãóð, îãðàíè÷åííûõ ïàðàìåòðè÷åñêè çàäàííûìè êðèâûìè:7.6. Öèêëîèäîéx = t − sin ty = 1 − cos tè ïðÿìîé y = 2x(ðèñ.
Â).π327.7. Ìåæäó {x = cosÃ).3t, y = sin3 t}è {x = cos t, y = sin t} â ïåðâîé ÷åòâåðòè (ðèñ.ËåêöèÿN o 8.ÎáúåìûÎïðåäåëåíèå 8.1. Ïóñòü B ⊂ R òåëî. Åãî âíóòðåííèé è âíåøíèé îáúåìû3îïðåäåëÿþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:V∗ (B) = sup{V (M ) : M ⊂ B}; V ∗ (B) = inf{V (M ) : M ⊃ B},ãäå M êîíå÷íûå îáúåäèíåíèÿ ìíîãîãðàííèêîâ. Åñëè V∗ (B) è V ∗ (B) ñîâïàäàþò,òî ãîâîðÿò, ÷òî B êóáèðóåìî è åãî îáúåìV (B) = V∗ (B) = V ∗ (B).Ìåòîä ïëîñêèõ ñëîåâÏóñòü B ⊂ R3 îãðàíè÷åííîå òåëî. Îáîçíà÷èìa = inf{x : ∃(x; y; z) ∈ B},b = sup{x : ∃(x; y; z) ∈ B}.Äëÿ êàæäîãî x ∈ [a; b] îïðåäåëèì ìíîæåñòâîBx = {(y; z) : (x; y; z) ∈ B},ò.å. ñå÷åíèå òåëà B ïëîñêîñòüþ, ïàðàëëåëüíîé Oyz.
Ïîÿñíèì ýòî íà ðèñóíêå:Òåîðåìà 8.1. Ïóñòü B ⊂ R îãðàíè÷åííîå òåëî, äëÿ êîòîðîãî âñå ñå÷åíèÿ B3êâàäðèðóåìû è âûïîëíåíî óñëîâèå: ∀ ε > 0 ∃ ðàçáèåíèå {ai} îòðåçêà [a; b], òàêîå,÷òî [ \∗SB x − S∗Bx < ε.(8)ai−1 6x6aixai−1 6x6aiÒîãäà B êóáèðóåìî è åãî îáúåìZbV (B) =S(Bx )dx.a34(9)Äîêàçàòåëüñòâî.
Ââåäåì ôóíêöèþ σ(x) = S(Bx). Çàôèêñèðóåì ε > 0. Ïóñòü ðàçáèåíèå [a; b], ñîîòâåòñòâóþùåå ε. Äëÿ êàæäîãî ñëîÿ {ai−1 6 x 6 ai }â ñèëó óñëîâèÿ (8) íàéäóòñÿ òàêèå ìíîãîóãîëüíûå ôèãóðû Mi è M i , ÷òî{ai }ni=0[\Bx ⊂ M i ;ai−1 6x6aiS(M i ) − S(Mi ) < 2ε.B x ⊃ Mi ;ai−1 6x6aiÒîãäà èìååì M∗ ⊂ B ⊂ M , ãäå M ∗ è M∗ ìíîãîãðàííûå òåëà:∗n [M∗ =n [[ai−1 ; ai ] × Mi .[ai−1 ; ai ] × M i , M∗ =i=1i=1Ïîëó÷àåì ñëåäóþùèå öåïî÷êè íåðàâåíñòâ:V (M∗ ) 6∗ S{ai } (σ)6ba I∗ (σ)6b ∗a I (σ)∗6 S{a(σ) 6 V (M ∗ );i}V (M∗ ) 6 V∗ (B) 6 V ∗ (B) 6 V (M ∗ ).Ó÷èòûâàÿ îöåíêóV (M ∗ ) − V (M∗ ) < 2ε(b − a)è ïðîèçâîëüíîñòü âûáîðà ε, ïîëó÷àåìba I∗ (σ)=b ∗a I (σ)= V∗ (B) = V ∗ (B),÷òî ïîëíîñòüþ äîêàçûâàåò (9).Ðàññìîòðèì äâà âàæíûõ ÷àñòíûõ ñëó÷àÿ.Êîíè÷åñêîå òåëî. Ïóñòü U êâàäðèðóåìàÿ ôèãóðà â ïëîñêîñòè {x = H}, òåëî Båñòü îáúåäèíåíèå îòðåçêîâ, ñîåäèíÿþùèõ íà÷àëî êîîðäèíàò ñ òî÷êàìèU .
Óñëîâèåx2(8), î÷åâèäíî, âûïîëíåíî. Ïî ñâîéñòâó ïîäîáíûõ ôèãóð S(Bx ) = H 2 S(U ), 0 6 x 6H . Âû÷èñëÿåì îáúåìZHV (B) =S(U )S(Bx )dx =H20ZHx2 dx =S(U ) H 3H S(U )=.2H330Òåëî âðàùåíèÿ. Ïóñòü f (x) è g(x) íåïðåðûâíûå ôóíêöèè íà [a; b], g(x) > f (x) >0. Áóäåì âðàùàòü ôèãóðóΦgf = {a 6 x 6 b; f (x) 6 y 6 g(x)}âîêðóã îñè Ox. Ïîëó÷èòñÿ òåëîonpB = (x; y; z) : a 6 x 6 b; f (x) 6 y 2 + z 2 6 g(x) .Äëÿ íåãî óñëîâèå (8) âûïîëíåíî; ñå÷åíèå Bx êîëüöî (èëè êðóã ïðè f (x) = 0)ïëîùàäüþ S(Bx ) = π(g2 (x) − f 2 (x)). Ñëåäîâàòåëüíî, îáúåì òåëà âðàùåíèÿZbV (B) = πg 2 (x) − f 2 (x) dx.a35Äàëåå áóäåì èçó÷àòü òîëüêî òåëà âðàùåíèÿ.Ìåòîä öèëèíäðè÷åñêèõ ñëîåâÒåîðåìà 8.2.
Ïóñòü òåëî B ïîëó÷åíî âðàùåíèåì ôèãóðû Φ , ãäå g(x) > 0 íåg0ïðåðûâía íà [a; b], b > a > 0, âîêðóã îñè Oy, ò. e. îíî èìååò âèäB = {(x; y; z) : a 6 ρ 6 b; 0 6 y 6 g(ρ)} ,ρ=px2 + z 2 .Òîãäà B êóáèðóåìî è åãî îáúåìZbV (B) = 2π(10)x g(x) dx.aÄîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü {ai}ni=0 ðàçáèåíèå îòðåçêà [a; b].
Ðàññìîòðèì îáúåäèíåíèÿñîîñíûõ öèëèíäðè÷åñêèõ ñëîåâ:C1 =n[(ai−1 6 ρ 6 ai0 6 y 6 inf g√x2 + z 2, C2 =[ai−1 ;ai ]i=1ãäå ρ =)n[(ai−1 6 ρ 6 ai0 6 y 6 sup g),[ai−1 ;ai ]i=1. Òîãäà C1 ⊂ B ⊂ C2 è ñ ó÷åòîì îöåíêè2ai−1 (ai − ai−1 ) 6 a2i − a2i−1 6 2ai (ai − ai−1 )ìû ïîëó÷èìV ∗ (B) 6 V (C2 ) =nXπ a2i − a2i−1nX∗sup g 6 2πS{a(x g(x));i}[ai−1 ;ai ]i=1V∗ (B) > V (C1 ) =π a2i − a2i−1i=1inf[ai−1 ;ai ]g > 2π ∗ S{ai } (x g(x)).Ïðè diam{ai } → 0 îáå ïðàâûå ÷àñòè ñòðåìÿòñÿ ê (10).36Ïðèìåð 8.1.Âû÷èñëèì îáúåì ñåêòîðà ΩRθ , âûðåçàåìîãî èç øàðà ðàäèóñà R êîíóñîì ñ óãëîìïîëóðàñòâîðà θ 6 π/2 (ðèñ. À). Îí ïîëó÷àåòñÿ âðàùåíèåì êðóãîâîãî ñåêòîðànpρ6R o = 0 6 y 6 R sin θ; y ctg θ 6 x 6 R2 − y 206ϕ6θâîêðóã îñè Ox.
Âû÷èñëèì îáúåì ïî ôîðìóëå (10), ïîìåíÿâ ðîëÿìè êîîðäèíàòû xè y:V (ΩRθ ) = 2πRZsin θypR2 − y 2 − y ctg θ dy =0R sin θ1 2y32 3/2= 2π − (R − y ) −ctg θ =3302π−(R cos θ)3 + R3 − (R sin θ)3 ctg θ ==32πR3=(1 − cos θ).3(11)Ìåòîä êîíè÷åñêèõ ñëîåâÍåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî ôîðìóëà (11) îñòàåòñÿ â ñèëå è äëÿ θ = π/2 (ïîëóøàð),è äëÿ θ > π/2 p(íåâûïóêëûé øàðîâîé ñåêòîð).Ïóñòü r = x2 + y2 + z2 , ψ = arccos(x/r). Êîíè÷åñêèé ñëîé ΩRα;β = {α 6 ψ 6β; r 6 R} ïîëó÷àåòñÿ âðàùåíèåì êðóãîâîãî ñåêòîðà U = {α 6 ϕ 6 β; ρ 6 R}âîêðóã îñè Ox (ðèñ. Á). Eãî îáúåìRRV (ΩRα;β ) = V (Ωβ ) − V (Ωα ) ==2πR32πR3(cos α − cos β) =(β − α) sin θ,3337ãäå θ ∈ (α; β) ñóùåñòâóåò ïî òåîðåìå Ëàãðàíæà.Òåîðåìà 8.3. Ïóñòü R(ψ) íåïðåðûâíàÿ íåîòðèöàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ íà îòðåçêå [α; β] ⊂ [0; π]. Òîãäà òåëî B , çàäàííîå óñëîâèÿìè α 6 ψ 6 β , r 6 R(ψ),êóáèðóåìî, åãî îáúåì2πV (B) =3Zβ(12)R3 (ψ) sin ψ dψ.αÄîêàçàòåëüñòâî àíàëîãè÷íî äîêàçàòåëüñòâó ëåììû 8.2: ïî ðàçáèåíèþ {ai }ni=0îòðåçêà [α; β] ñòðîÿòñÿ îáúåäèíåíèÿ êîíè÷åñêèõ ñëîåâ K1 è K2 , òàêèå, ÷òî K1 ⊂B ⊂ K2 :n[K1 =ai−1 6ψ6ai }Ωinf{R(ψ):;ai−1 ;aii=1K2 =n[Ωsup{R(ψ):ai−1 ;aiai−1 6ψ6ai };i=1èõ îáúåìû îöåíèì ñóììàìè Äàðáó ôóíêöèè 2π3 R3 (ψ) sin ψ.Ïðèìåð 8.2.Íàéäåì îáúåì òåëà, ïîëó÷åííîãî âðàùåíèåì êðóãàâîêðóã îñè Ox.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
