MA2 (864555), страница 3
Текст из файла (страница 3)
. . , n} ∃j ∈ {0, . . . , m} : ai = bj .Îïðåäåëåíèå 5.3. Ïóñòü {a } ðàçáèåíèå îòðåçêà [a; b], è ïóñòü âûáðàíûòî÷êè x ∈ [a ; a ]. Èíòåãðàëüíîé ñóììîé ôóíêöèè f ïî ðàçáèåíèþ {a } ñni i=0ii−1iiâûáîðîì òî÷åê {xi } íàçûâàåòñÿ ñóììà{x }S{aii} (f ) =nX(ai − ai−1 )f (xi ).i=1Îïðåäåëåíèå 5.4. Ãîâîðÿò, ÷òî ôóíêöèÿ f (x) èíòåãðèðóåìà (ïî Ðèìàíó) íàîòðåçêå [a; b], åñëè ñóùåñòâóåò òàêîå ÷èñëî I ∈ R, ÷òî∀ε > 0 ∃δ > 0 :åñëèdiam{ai } < δ,òî {xi }S{ai } (f ) − I < ε.×èñëî I íàçûâàåòñÿ îïðåäåëåííûì èíòåãðàëîì ôóíêöèè f ïî îòðåçêó [a; b] èîáîçíà÷àåòñÿbZI=f (x) dx.aËåììà 5.1. Åñëè ôóíêöèÿ f (x) èíòåãðèðóåìà íà îòðåçêå [a; b], òî îíà îãðàíè-÷åíà íà íåì.Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïóñòü f èíòåãðèðóåìà. Òîãäà, âçÿâ δ äëÿ ε = 1, ïîëó÷èìåñëè diam{ai } < δ, òî I − 1 < S{a{x }} (f ) < I + 1.(5)Áóäåì ðàññóæäàòü îò ïðîòèâíîãî. Ïóñòü f íå îãðàíè÷åíà íà [a; b]. Âîçüìåì íåêîòîðîå ðàçáèåíèå {ai } ñ äèàìåòðîì < δ. Ôóíêöèÿ f íå îãðàíè÷åíà õîòÿ áû íà îäíîìîòðåçêå ðàçáèåíèÿ, ñêàæåì, íà [ak−1 ; ak ]. Çàôèêñèðóåì òî÷êè xi ∈ [ai−1 ; ai ] äëÿi 6= k , à òî÷êó xk ∈ [ak−1 ; ak ] áóäåì ìåíÿòü. Òîãäà ìû ïîëó÷èì íåîãðàíè÷åííîåìíîæåñòâî çíà÷åíèé èíòåãðàëüíîé ñóììû, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò óñëîâèþ (5).ii19Îïðåäåëåíèå 5.5. Ïóñòü ôóíêöèÿ f îãðàíè÷åíà íà îòðåçêå [a; b], {a } ðàçáèåíèå [a; b]. Âåðõíÿÿ è íèæíÿÿ ñóììû Äàðáó f ïî ðàçáèåíèþ {a }:ni i=0i∗S{a(f ) =i}nX(ai − ai−1 ) sup f (x);[ai−1 ;ai ]i=1∗ S{ai } (f ) =nX(ai − ai−1 )i=1inff (x).[ai−1 ;ai ]Î÷åâèäíî, S{a∗ } (f ) = sup S{a{x }} (f ), ∗ S{a } (f ) = inf S{a{x }} (f ), ãäå ñóïðåìóì è èíôèìóìáåðóòñÿ ïî âñåì íàáîðàì òî÷åê xi ∈ [ai−1 ; ai ].Ëåììà 5.2.
Åñëè ðàçáèåíèå {bj }mj=0 èçìåëü÷åíèå ðàçáèåíèÿ {ai}ni=0, òîiiiiii∗∗S{b(f ) 6 S{a(f ),j}i}∗ S{bj } (f )> ∗ S{ai } (f ).Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ai = bj(i), òîãäà j(0) = 0 < j(1) < < j(2) < . . . < j(n) =m. Ïîëó÷àåì∗S{b(f )j}=mX(bj − bj−1 ) sup f (x) =[bj−1 ;bj ]j=1=nXj(i)X(bj − bj−1 ) sup f (x) 6[bj−1 ;bj ]i=1 j=j(i−1)+16nXj(i)X(bj − bj−1 ) sup f (x) =[ai−1 ;ai ]i=1 j=j(i−1)+1=nX∗(ai − ai−1 ) sup f (x) = S{a(f );i}[ai−1 ;ai ]i=1àíàëîãè÷íî ïîëó÷àåì ∗ S{b } (f ) > ∗ S{a } (f ).Ñëåäñòâèå 5.1.
Åñëè {ai} è {ck } äâà ðàçáèåíèÿ îòðåçêà [a; b] ⊂ D(f ), òîji∗ S{ai } (f )∗6 S{c(f ).k}Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñòðîèì ðàçáèåíèå {bj } = {ai} ∪ {ck }, ò.å. îáúåäèíèì äâàìíîæåñòâà òî÷åê è ïåðåíóìåðóåì òî÷êè â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ. Òîãäà∗ S{ai } (f )∗∗6 ∗ S{bj } (f ) 6 S{b(f ) 6 S{c(f ).j}k}Îïðåäåëåíèå 5.6.
Ïóñòü ôóíêöèÿ f îãðàíè÷åíà íà [a; b]. Âåðõíèì è íèæíèìèíòåãðàëàìè Äàðáó f ïî [a; b] íàçûâàþòñÿ âåëè÷èíûb ∗a I (f )∗= inf S{a(f ),i}ba I∗ (f )= sup ∗ S{ai } (f ),ãäå èíôèìóì è ñóïðåìóì áåðóòñÿ ïî âñåì âîçìîæíûì ðàçáèåíèÿì {ai } îòðåçêà[a; b].20Èç ñëåäñòâèÿ 5.1 ïîëó÷àåì íåðàâåíñòâî ba I ∗ (f ) > ba I∗ (f ).Òåîðåìà 5.1. (Êðèòåðèé Äàðáó).
Ïóñòü ôóíêöèÿ f îãðàíè÷åíà íà îòðåçêå [a; b].Òîãäàf èíòåãðèðóåìà ïî Ðèìàíó íà [a; b] â òîì è òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëèb ∗bI(f)=aa I∗ (f ), è òîãäàbZf (x)dx = ba I ∗ (f ) = ba I∗ (f ).aÄîêàçàòåëüñòâî. [⇒]: Åñëè f èíòåãðèðóåìà, ò.å. ñóùåñòâóåò R f (x)dx = I , òîaäëÿ âñÿêîãî ε > 0 íàéäåòñÿ δ > 0: äëÿ ëþáîãî ðàçáèåíèÿ ñ äèàìåòðîì ìåíüøå δâûïîëíåíî {x }b∀{xi } S{aii} (f ) − I < ε/2.Ïåðåéäÿ ê ñóïðåìóìó è èíôèìóìó ïî âñåì âîçìîæíûì {xi }, ïîëó÷èì S{a∗ } (f ) 6I +ε/2, ∗ S{a } (f ) > I −ε/2, è â ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè ε ïîëó÷èì ba I ∗ (f ) = ba I∗ (f ) = I.[⇐]: Ïóñòü ba I ∗ (f )= ba I∗ (f ) = I . Îáîçíà÷èì M = sup |f (x)|. Ïîñòðîèì òàêîå ðàçáè[a;b]åíèå {ai }ni=0 , ÷òî S{a∗ } (f ) < I + ε/2, ∗ S{a } (f ) > I − ε/2.
Âîçüìåìiiiion εai − ai−1δ = min;: i = 1, 2, . . . , n .4M n2Ïóñòü {bj }mj=0 íåêîòîðîå ðàçáèåíèå [a; b] ñ äèàìåòðîì ìåíüøå δ. Òî÷êè ai ïðè1 6 i 6 n − 1 ïîïàäóò â ðàçíûe îòðåçêè ðàçáèåíèÿ {bj }: bj(i)−1 < ai 6 bj(i) .Äëÿ óäîáñòâà ïîëîæèì j(0) = 0, j(n) = m + 1. Îñòàëüíûå îòðåçêè ðàñïîëîæàòñÿìåæäó òî÷êàìè ai :ai−1 6 bj(i−1) < bj(i−1)+1 < . . . < bj(i)−1 6 ai .Îöåíèì èíòåãðàëüíóþ ñóììó ïî ðàçáèåíèþ {bj }:{x }∗S{bji} (f ) 6 S{b(f ) =j}n−1X(bj(i) − bj(i)−1 ) sup f (x)+[bj−1 ;bj ]i=1+nXj(i)−1X(bj − bj−1 ) sup f (x) 6[bj−1 ;bj ]i=1 j=j(i−1)+16n−1X(ai − bj(i)−1 )M + (bj(i) − ai )M +i=1+nXj(i)−1X(bj − bj−1 ) sup f (x) 6i=1 j=j(i−1)+1[ai−1 ;ai ](ñîñòàâèì èç êóñî÷êîâ êàæäûé îòðåçîê [ai−1 ; ai ] è ó÷òåì, ÷òî sup f ïî íåìó ìîæåòáûòü ìåíüøå M íå áîëåå, ÷åì íà 2M )6nXi=1(ai − ai−1 ) sup f (x) + 2M[ai−1 ;ai ]n−1Xi=121(bj(i) − bj(i)−1 ) 6∗6 S{a(f ) + 2M (n − 1)δ < I +i}εε ε+ 2M (n − 1)δ < I + + .22 2I −εÀíàëîãè÷íî èíòåãðàëüíàÿ ñóììà îöåíèâàåòñÿ ñíèçó ÷åðåç.Çàäà÷è ïî òåìå ëåêöèè 5Âû÷èñëèòü íèæíþþ è âåðõíþþ ñóììû Äàðáó äëÿ äàííûõ ôóíêöèé è ðàçáèåíèé îòðåçêîâ:5.1.
f (x) = x íà [0; 1], ðàçáèåíèå íà n ðàâíûõ ÷àñòåé.5.2. f (x) = 4x íà [0; 4], ðàçáèåíèå íà 8 ðàâíûõ ÷àñòåé.5.3. Äîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ f (x) =íå èíòåãðèðóåìà ïî Ðèìàíó íà [0; 1].5.4. Äîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ1, x ∈ Q,0, x ∈/ Q, −n 2 , x = (2k + 1)2−n , k ∈ Z, n ∈ N,1,x ∈ Z,f (x) =0x,ïðè äðóãèõèíòåãðèðóåìà ïî Ðèìàíó íà [0; 1].Óêàçàíèå: åñëè ðàçáèòü îòðåçîê íà N ðàâíûõ ÷àñòåé (N íå÷åòíî), òî â âåðõíåéñóììå Äàðáó áóäåò íå áîëåå 2n +1 ñëàãàåìûõ, íå ìåíüøèõ 2−n /n, îòñþäà ïîëó÷èòüâåðõíþþ îöåíêó âåðõíåé ñóììû Äàðáó.5.5. Äîêàçàòü, ÷òî íåñòðîãî âîçðàñòàþùàÿ ôóíêöèÿ íà îòðåçêå [a; b] èíòåãðèðóåìà ïî Ðèìàíó.
Óêàçàíèå: ðàçáèòü îòðåçîê íà n ðàâíûõ ÷àñòåé è îöåíèòü ðàçíîñòüâåðõíåé è íèæíåé ñóìì Äàðáó.ËåêöèÿN o 6.Ñâîéñòâà îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëàÊîíñòàíòà èíòåãðèðóåìà, è R c dx = c(b − a). Ýòî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî âñå èíòåãðàëüíûå ñóììû äëÿ c ðàâíû òîìó æå ÷èñëó.Ëèíåéíîñòü. Åñëè f (x) è g(x) èíòåãðèðóåìû íà îòðåçêå [a; b]; c, k ∈ R, òî cf (x)+bakg(x)èíòåãðèðóåìà, ïðè÷åìZbZcf (x) + kg(x)dx = cbZf (x)dx + kaabg(x)dx.aÄîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ ëþáîãî ðàçáèåíèÿ {ai} è ëþáûõ âûáðàííûõ òî÷åê xi[ai−1 ; ai ] ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå{x }{x }∈{x }S{aii} (cf + kg) = cS{aii} (f ) + kS{aii} (g).Îñòàåòñÿ ïåðåéòè ê ïðåäåëó ïðè diam{ai } → 0.Ñóæåíèå. Åñëè f (x) èíòåãðèðóåìa íà îòðåçêå [a; b], ïðè÷åì a 6 α < β 6 b, òîf (x) èíòåãðèðóåìà íà îòðåçêå [α; β].Äîêàçàòåëüñòâî. ∀ ε > 0 ∃ δ > 0: åñëè diam{ai} < δ, òî S{a∗ }(f )− ∗S{a }(f ) < ε.Âûáåðåì ðàçáèåíèå ñ äèàìåòðîì ìåíüøå δ, òàêîå, ÷òî α = ai , β = ai .
Òîãäà∗{ai }ii=i ðàçáèåíèå îòðåçêà [α; β], äëÿ êîòîðîãî S{a} (f )− ∗ S{a } (f ) < ε.  ñèëóïðîèçâîëüíîñòè ε ïî êðèòåðèþ Äàðáó f (x) èíòåãðèðóåìà íà [α; β].Àääèòèâíîñòü. Åñëè f (x) èíòåãðèðóåìa íà îòðåçêàõ [a; b] è [b; c], òî îíà èíòåãðèðóåìà è íà îòðåçêå [a; c], ïðè÷åìii1221icZZf (x)dx =abZf (x)dx +aicf (x)dx.bÄîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü R f (x)dx = I , R f (x)dx = J . Äîêàæåì äëÿ ïðîèçâîëüíîãîabε, ÷òîc ∗cbaIc(f ) < I + J + ε,a I∗ (f )>I +J −ε(òîãäà ïî êðèòåðèþ Äàðáó âñå áóäåò äîêàçàíî). Äëÿ ýòîãî âûáåðåì òàêèå äâàðàçáèåíèÿ: {ai }ni=0 îòðåçêà [a; b] è {bi }mi=0 îòðåçêà [b; c], ÷òîεε∗S{a(f ) < I + , ∗ S{ai } (f ) > I − ,i}22εε∗S{b(f ) < J + , ∗ S{bi } (f ) > J − .i}2223Ïîñòðîèì ðàçáèåíèå {cj }n+mj=0 îòðåçêà [a; c] òî÷êàìè cj = aj ïðè 0 6 j 6 n, cj =bj−n ïðè n 6 j 6 n + m. Òîãäà ïîëó÷èì îöåíêèc ∗a I (f )ca I∗ (f )∗6 S{c(f ) < I + J + ε,j}> ∗ S{cj } (f ) > I + J − ε.Ìîíîòîííîñòü.
Ïóñòü f (x) è g(x) èíòåãðèðóåìû íà îòðåçêå [a; b].Åñëè f (x) 6 g(x) íà [a; b], òîZbZf (x)dx 6ab(6)g(x)dx.aÝòî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî äëÿ ëþáîãî ðàçáèåíèÿ {ai } è ëþáûõ âûáðàííûõ òî÷åêxi ∈ [ai−1 ; ai ] âåðíî íåðàâåíñòâî{x }{x }S{a } (f ) 6 S{a } (g).Îöåíêà ïî ìîäóëþ. Åñëè f (x) èíòåãðèðóåìa íà îòðåçêå [a; b], òî |f (x)| òàêæåèíòåãðèðóåìa, ïðè÷åì Z b Z baiiiif (x)dx 6|f (x)|dx.aÄîêàçàòåëüñòâî. Èíòåãðèðóåìîñòü |f (x)| äîêàçûâàåòñÿ ïî êðèòåðèþ Äàðáó áëàãîäàðÿíåðàâåíñòâó∗∗S{ai } (|f |) − ∗ S{ai } (|f |) 6 S{ai } (f ) − ∗ S{ai } (f ).Ïðèìåíèì ñâîéñòâî (6) ê íåðàâåíñòâàì −|f (x)| 6 f (x) è f (x) 6 |f (x)|.Òåîðåìà î ñðåäíåì.
Åñëè f (x) èíòåãðèðóåìa íà îòðåçêå [a; b], òî ñóùåñòâóåò÷èñëî µ ∈ [[a;b]inf f ; sup f ], íàçûâàåìîå ñðåäíèì çíà÷åíèåì f íà îòðåçêå [a; b], òà[a;b]êîå, ÷òîZ bf (x)dx = µ(b − a).aÅñëè ïðè ýòîì f (x) íåïðåðûâíà íà [a; b], òî ∃ x ∈ [a; b], òàêîé, ÷òî µ = f (x).Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðèìåíèì ñâîéñòâî (6) ê íåðàâåíñòâàì [a;b]inf f 6 f (x), f (x) 6sup f . Ðåçóëüòàò ðàçäåëèì íà äëèíó îòðåçêà (b − a).[a;b]Íå÷óâñòâèòåëüíîñòü ê òî÷êå. Åñëè f (x) èíòåãðèðóåìa íà îòðåçêå [a; b], f (x) =oâî âñåõ òî÷êàõ x ∈ [a; b], êðîìå êîíå÷íîãî ìíîæåñòâà {x1 , . .
. xN }, òî fo òàêæåèíòåãðèðóåìa íà [a; b], è èíòåãðàëû f è fo ñîâïàäyò. Äåéñòâèòåëüíî,f (x)ZbZb {xi } {xi }S{ai } (fo ) − f (x)dx 6 S{ai } (f ) − f (x)dx+aa+ N max |fo (x) − f (x)| diam{ai }→0[a;b]24ïðèdiam{ai } → 0.Îäíàêî äëÿ íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé òàêàÿ ñèòóàöèÿ íåâîçìîæíà: çíà÷åíèå ôóíêöèè â îòäåëüíîé òî÷êå íåëüçÿ ïðîèçâîëüíî èçìåíèòü. Áîëåå òîãî, âåðíà ñëåäóþùàÿëåììà.Ëåììà 6.1. Ïóñòü f (x) èíòåãðèðóåìa íà îòðåçêå [a; b] è íåïðåðûâíà â òî÷êåRbxo ∈ [a; b].
Åñëè f (x) > 0 íà [a; b] è f (xo ) > 0, òî f (x)dx > 0.aÄîêàçàòåëüñòâî. Håñòðîãîå íåðàâåíñòâî âåðíî ïî ñâîéñòâó (6), ïðèìåíåííîìó êíåðàâåíñòâó f (x) > 0. Åñëè æå f íåïðåðûâíà â òî÷êå xo è f (xo ) = h > 0, òî ∃δ > 0: f (x) > h/2 ïðè x ∈ [α; β]= [xo − δ; xo + δ] ∩ [a; b]. Åñëè âçÿòü ðàçáèåíèå {ai }ñ òî÷êàìè ak = α, ak+1 = β , òîba I∗ (f )> ∗ S{ai } (f ) > (β − α)hhδ>> 0.22Îïðåäåëåíèå 6.1. Ôóíêöèÿ íàçûâàåòñÿ êóñî÷íî-íåïðåðûâíîé íà ïðîìåæóòêå,åñëè îíà èìååò íà íåì ëèøü êîíå÷íîå ìíîæåñòâî ðàçðûâîâ, ïðè÷åì òîëüêî óñòðàíèìûõè ïåðâîãî ðîäà.Òåîðåìà 6.1.
Åñëè ôóíêöèÿ f (x) îãðàíè÷åíà è êóñî÷íî-íåïðåðûâíà íà îòðåçêå[a; b], òî îíà èíòåãðèðóåìà íà íåì.Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè ôóíêöèÿ f (x) íåïðåðûâíà íà îòðåçêå [a; b], òî îíà ðàâíîìåðíîíåïðåðûâíà íà íåì, ò. e.∀ε > 0∃δ > 0 : åñëè a 6 x, y 6 b, |x − y| < δ, òî |f (x) − f (y)| < ε.Âçÿâ ðàçáèåíèå {ai } ñ äèàìåòðîì < δ, ïîëó÷èì∗S{a(f ) − ∗ S{ai } (f ) < ε(b − a).i}Ïî êðèòåðèþ Äàðáó f èíòåãðèðóåìà íà [a; b].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
