Радиолокационные измерители дальности и скорости by Саблин В. Н. (z-lib.org) (852905), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Обычно в радиолокационных дальномерах используют фильтры второго и третьего порядков, а в следящих измерителях скорости - первого и второго порядков.Другая важная характеристика фильтров, в значительной степени влияющая на показатели следящих измерителей, связана спонятием астатизма следящей системы. Порядок астатизма следящей системы обусловлен эволюцией ошибки слежения, при воздействии на входе системы процесса, описываемого степенным полиномом m-го порядка [50]. Говорят, что следящая система обладает астатизмом s-го порядка, если ошибка слежения равна нулюпри степени входного полинома т < 8, и отлична от нуля при m>s.Порядок астатизма следящей системы определяется структуройпереходной матрицы Ф и, кроме того, не может превышать порядок фильтра п.
Формально порядок астатизма равен числу дискретных интеграторов у фильтра в контуре следящей системы.Для такого фильтра вектор состояния имеет одну компонентух^к), а соответствующая переходная матрица Ф=1, так что (3.6.5)принимает видх1(к) = х1(к - 1) + к01йд(к).Операторный коэффициент передачи фильтра определяется какгде z - символ, указывающий на выполнение операции Z-преобразоваяия.
Для линейной модели дискриминатора (3.6.2) и (3.6.3)матрица наблюдения 1 1 ==1 и следящая система описывается уравнениемxx(k) = x x(k - 1 ) + K0 1 (z (k ) - x x(k - 1 )),(3 .6 .6 )где z(k) = Xj(k) + ^(k).Передаточная функция Kg5i (z) следящей системы от точкиприложения входного воздействия z (к) до точки формированияоценки хх(к), понимаемая в смысле Z-преобразования,К 01(3.6.7)1 + к01Следящая система, с коэффициентом передачи (3.6.7), устойчивапри 0< K oi< 2 .При воздействии на входе следящей системы процесса х(к)изображение выходной оценки Xj(z) определяется выражениемx1(z) = Kzii(z)x1(z),а ошибки слежения -e(z) = x(z) - xx(z) = [l - КЙ1 (z)Jx(z) = —x(z).
(3.6.8)При линейном воздействии со скоростью изменения Vx(k) = х(к -1 ) + THV,имеем(3.6.9)/ 4c(z) =THVz(1 -z)2и ошибка слежения в установившемся режиме равна1 )8|1вуст = s (k) = lim (zZ - 1)e( Zz )=к-> соz->lvz “ >1^(3.6.10)К 01 / АнПри постоянном воздействии х(к)=-Хо, x(z) =4 7 z -1, расчёт поформуле, аналогичной (3.6.10), даёт БуСТв 0. Таким образом, следящая система (3.6.6) имеет астатизм первого порядка.Процесс установления ошибки слежения при воздействиих(к)=Хо описывается соотношениеме(к) = х0(1 - к01)кПри заданном времени установления ty^^k^T ,, переходногопроцесса требуемое значение коэффициента усиления определяется выражениемK01tP = 1 - ( 0 ,5 ) - VI‘ *’ .Здесь под временем установления переходного процесса понимается время, в течении которого начальная ошибка слежения уменьшится в 20 раз.При линейном воздействии (3.6.9) текущая ошибка слеженияописывается соотношениемОпределим понятие эквивалентной шумовой полосы пропускания следящей системы [50], под которой будем понимать величинуAF3, равную полосе пропускания эквивалентной системы, имеющей прямоугольную амплитудно-частотную характеристику, одинаковое значение коэффициента передачи при z = l и одинаковуюдисперсию выходного процесса, при отсутствии входного сигналаи действии на входах этих систем дискретного белого шума.
Можно показать, что эквивалентная шумовая полоса пропускания рассчитывается по формулеAF,=2 "Т„|КК1(* = 1 )| -* « . ( * ) z-(1+lu)(1-Ju)rdu, (3.6.11)1 + iTгде j= V - l .Подставляя (3.6.7) в (3.6.11) и вьгаолнив интегрирование, получимAF.Kqi/T h ^(3.6.12)(k 0i + 2)Дисперсия флуктуационной опшбки слежения, под которойпонимается дисперсия опшбки оценки информационного процесса,обусловленная действием на входе аддитивного дискретного белогошума с дисперсией единичного отсчета DH, определяется выражением:От# пОф = 2D.T.AF. =( К 01+(3.6.18)Формулы (3.6.10), (3.6.13) можно использовать для нахождения оптимального коэффициента усиления системы, минимизирующего средний квадрат опшбки слежения в установившемсярежиме.
Решение такой оптимизационной задачи приводит к алгебраическому уравнениюК01опт "где у =уУ2Т„(к0 1о п т+ 4К01опт + 4) = 0>(3.6.14)При достаточно малом шаге дискретной обработки2D„(например, при Тн<0,1 мс) приближенное решение уравнения(3.6.14) имеет вид: к01(ШТ « ^4уВ формулах (3.6.10), (3.6.12) фигурирует параметр Ko= k0i /T h,который, как можно показать, является коэффициентом усилениясоответствующей непрерывной следящей системы, т.е. системы,получающейся из (3.6.6) при Тн-й ). При этом формулы (3.6.10),(3.6.12Н3.6.14) переходят в соответствующие формулы для непрерывной следящей системы.При анализе различных фильтров в следящих системах, естественно возникает вопрос об их оптимальности, при слежении заинформационными параметрами, меняющимися различным обра-зом. Для ответа на этот вопрос рассмотрим задачу синтеза оптимальной следящей системы для информационного процесса, описываемого уравнением:х(к) = х(к-1) + £х(к),(3.6.15)где £х(к) - дискретный гауссовский белый шум с дисперсией Dx,при наблюденииz(k) = x(k) + 4H(k);£и(к) - дискретный гауссовский белый шум с дисперсией DH.
Используя общие уравнения оптимальной линейной фильтрации(1.4Л 9Н 1-4.23), запишемxx(k) = хх(к - 1) + к(к)(г(к) - хх(к - 1));(3.6.16)к(к) = D(k)/DH;D(k) = (l - к(к))Б9(к);(3.6.17)D3(k) = D (k -l) + Dx.Из сопоставления (3.6.16) с (3.6.6) видно, что они совпадаютпо структуре. Следовательно следящая система с одним интегратором в контуре слежения может быть оптимальной для фильтрациипроцесса вида (3.6.15). Коэффициент усиления к(к) в оптимальнойсистеме (3.6.16) переменный.
В установившемся режиме оптимальное значение коэффициента усиления равнокуст = 0,5qc(Vl + l/qc - 1),(3.6.18)где qc = D x/D H - параметр, характеризующий отношение сигнал/шум по информационному сообщению.Формула (3.6.18), также как и уравнение (3.6.14), может бытьиспользована для выбора коэффициента усиления следящей системы в установившемся режиме.Для данного фильтра переходная матрица и вектор коэффициентов усиления имеют вид:Ф=Г1 Т„0Kft =1*01К02 Jа уравнения фильтра * i ( k ) = x a i(k ) + к 01й д( к ) ,xx(0) = x10;(3.6.19)x3i(k) = Xi(k - 1) + ТИх2(к -1 );x2(k) = x2(k - 1) + к02ид(к),x2(0)=L20 >где процесс на выходе дискриминатора определяется выражениемu „(k) = z (k ) - x 9i ( k) .Операторный коэффициент передачи такого фильтраz —1) + кмТ.(3.6.20)(« -ifсоответствует фильтру с двумя интеграторами и демпфирующимзвеном, причем постоянная времени демпфирования Тфв к<)1 /ко 2 , акоэффициент усиления фильтра Ко=Ко2/Т н.В фильтре (3.6.19) формируются оценки двух компонент вектора состояния: координаты хх и производной (скорости изменения) координаты х 2.Фильтр (3.6.19) в литературе часто называют а-(3 фильтром.При этом полагают, что a=Koi, P=kq2Th - безразмерные коэффициенты.
Введение безразмерных коэффициентов, возможно и оправдано. Однако название «ос-|3 фильтр» представляется не вполнеудачным, 'гак как теряется такая важная характеристика фильтра, как наличие двух интеграторов, что во многом и определяетсвойства следящей системы с таким фильтром. Поэтому нижефильтр (3.6.19) будем называть дискретным фильтром с двумя интеграторами.Для линейной модели дискриминатора (3.6.3) следящая система описывается уравнениями (3.6.19), в которых следует поло236йд(к ) = z (k ) - х э1 (к );z(k ) = х (к ) + £ (к ).(3.6.21)Операторный коэффициент передачи замкнутой следящей системы (3.6.19), (3.6.21) равенк к ( « ) -------------1 N+ « . л ----------------------------- (3.6.22)(z - 1 ) + (z - 1)(к 01 + к02тн) + к 02ТнИз (3.6.22) следует, что коэффициент усиления разомкнутойследящей системы равен Ко=к02/Т н. Характеристическое уравнение системы получается приравниванием нулю знаменателя коэффициента передачи (3.6.22):(z - 1)2 + (z - 1)(к 01 + К02ТП) + К02ТН = О,илиz 2 + z ( - 2 + к 01 + к 02Тн) + 1 - к 01 = 0 .(3.6.23)Используя алгебраический критерий устойчивости [50], из (3.6.23)получаем, что для обеспечения устойчивости дискретной следящейсистемы необходимо выполнение условийк 01 > 0 ;к о2> 0 ;k 02 T h< 4 - 2 k 0i .(3.6.24)Характеристическое уравнение (3.6.23) можно представить ввидец 2 + 2 ^оэ0ц + (0 о = 0 ,где:Ц = (z - l)/T H;демпфирования;%= (к 01 + к 02Та)/(2 А/,к 02Тв ]со0 = ^к 02/Тн =-коэффициент- собственная частота системы.Вид корней характеристического уравнения (3.6.23) определяет тип переходного процесса в системе: критический, апериодический или колебательный.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
