Радиолокационные измерители дальности и скорости by Саблин В. Н. (z-lib.org) (852905), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Критический режим определяется условием равенства единице коэффициента демпфирования £= 1 , или(к01+ к02Тн)2 = 4к02Тн.Апериодический(к01 + к02Тн)ношении.>переходный4к02Тн,(3.6.25)процессимеетместоприа колебательный - при обратном соотПри воздействии на входе следящей системы процесса х(к) сизображением x(z), изображение ошибки слежения определяетсявыражениемKUi(z) - TBKzia(z)]xx(z) =е (z) = x(z) - xx(z) - THx2(z) = [l ( * -l) 2(3.6.26)< z) ,(z - 1)2 + (z - 1)(кох + K02TB) + k 02Th(z - 1 )к 02где(z -1 ) + (z -1 )( k 01Используя+ k 02t h) + к 02Тп(3.6.26), несложно показать., что при постоянном и линейно меняющемся во времени воздействии х(1с) ошибка в установившемсярежиме равна нулю, а при квадратичном воздействии с ускорени^, v aT*z(z + 1)ем «а*, имеющем изображение x(z) = ------ -— г-^, ошибка в уста2 (г - 1 )*новившемся режиме8 уст= s (k) = lim(z - l>(z) = —к -> о оZ “ >1у-К 0 2 /А(3.6.27).нТаким образом, рассматриваемая следящая система имеет астатизм второго порядка.Процессы установления ошибки слежения при различных воздействиях и в различных режимах работы следящей системы описываются формулами, приведенными в табл.
3.6.1 и 3.6.2.Таблица 3.6.1.П остоянное воздействие:Режим/ ч x 0zx (z )= 7 ^ TКритическийM^« М -» .Апериодичес e W - y i _ey i [ri(l + Ti) - 7 a ( l + Tj) ]кийКолебательныйЛинейное воздействие:E(k) = y i_ ‘ J (l+ T i) -(l+ T 2) ]^ [ ( l - a ) ’ +b feЩ^e (k)------ ------ --------an(k<p)Yl = _«oUt|o2^_+ 1 ^ K()i + Kq2Th)2 - 4k02Th;Tz = - ^ - +2K°2Th~ |>/(Koi + K02TH)2 - 4k02T„ ;(3.6.28)p=K oi+^A ;v = | y/( k 0i + K02TH)2 - 4k02Th;Ф= arctg^j^-j; (pj = it - arctg^-j; ф2 = a rctg^^ -j.Используя приведенные соотношения, можно рассчитать требуемые значения параметров фильтра kqi, К02 при заданном значениивремени установленияПри этом сначала определяютпараметр К02» характеризующий собственную частоту системы, апосле этого рассчитывают параметр Kqi, исходя из условия обеспечения требуемого режима переходного процесса.
Так, например,при использовании критического режима и времени установленияtyCT” 0,2 с (Т н= 1 мс, куст=200), требуемые значения коэффициентовусиления равны к<)2=0,014в с*1, K o i = 0 , 0 0 7 6 .Расчет эквивалентной шумовой полосы пропускания по формуле (3.6.11), с учетом (3.6.22), даетAR, =— 2к02Тн+ 2кр! - Зк01к02Тн2когТн4 —2kq^—к02Тн(3.6.29)При Тп-»0 (3.6.29) переходит в известное выражение для непрерывной следящей системы с двумя интеграторами и демпфирующим звеном [50].Дисперсия флуктуационной ошибки Бф оценки информационного процесса, обусловленная воздействием аддитивного дискретного белого шума на входе следящей системы, определяется общим выражением (3.6.13) при подстановке в него AF3, вычисленной в соответствии с (3.6.29).Оптимальные значения параметров сглаживающего фильтра вустановившемся режиме находится в результате решения задачиминимизации дисперсии общей ошибкиD = Оф+ БуСТ= 2DHTHAFa +Гдля чего целесообразно использовать численные методы нахождения экстремума функции по двум переменным.Рассмотрим вопрос о том, для какого информационного процесса фильтр с двумя интеграторами и демпфирующим звеном является оптимальным.
Полагая, что наблюдения z(k) описываютсявыражением (3.6.21), информационный процесс х(к) зададимуравнениями:z(k) = Hx(k) + ^(k);Н=|1 0|;хх(к) = хх(к -1 ) + Тнх2(к -1 );(3.6.30)х2(к) = х2(к -1 ) + ^ (к ),где £х(к) - дискретный гауссовский белый шум с нулевым математическим ожиданием и дисперсией Dx. Уравнения (3.6.30) описывают процесс, эволюция которого обусловлена ускорением (второйпроизводной процесса) в виде шума £х(к).Используя общие уравнения оптимальной линейной фильтрации (1.4.19Н 1-4.28), запишемxi(k) = хв1(к) +Kx(k )[z (k )- хэ1(к)],х1(0)=х10;хэ1(к) = хх(к - 1) + Тнх2(к -1 );х2(к) = х2(к -1 ) + K2 (k )[z (k ) - x9l(k)], x2(0)=x2o;(3.6.31)К(к) =Ki(k)к2(к)K(k) = D(k)HTD;1;(3.6.32)D(k) = [I - K(k)H]Da(k); D„(k) = Ф1)(к - 1)ФТ+ Dx,где Ф =0 0'1 т„, D,А =0 1 *0 Dx.Уравнения оптимальной фильтрации (3.6.31) по структуресовпадают с (3.6.19).
Таким образом, дискретный фильтр с двумяинтеграторами и демпфирующим звеном оптимален для выделения информационного процесса, описываемого уравнениями(3.6.30).Коэффициенты усиления оптимального фильтра меняются вовремени в соответствии с уравнениями (3.6.32). В установившемсярежиме коэффициенты усиления постоянны и находятся из решения системы уравнений (3.6.32) при к-хх>.3.6.4.Д искретны й ф и л ьтр с трем я и н теграторам иПереходная матрица и вектор коэффициентовфильтра определяются соотношениямиусиления"1 т 0 ‘КоГФ = 0 1 т > Ко = «020 0 1•“•НАнСОо--- >« 1а уравнения фильтра имеют вид:хх(к) = ха1(к) + к01йд(к),хх(0)=хю;xei(k) = *i(k -1 ) + Тнх2(к -1 );х2(к) = хв2(к) + к02йд(к),х2(0)=х2о;хэ2(к) = х2(к -1 ) + Тнх3(к -1 );х3(к) = х3(к -1 ) + к03йд(к),х3(0)=х8о.Операторный коэффициент передачи фильтра(3.6.33)к / -\_ K0i(z - !) + K02TH(z -1 ) + K03TH/ “(/ z - i.\3)(3 .6 .3 4 )и включает три интегратора и демпфирующие звенья, постоянныевремени которых определяются соотношениями: Тф1 =к 02/коз;Тф2 - > 0 1 / К 03 •В фильтре (3.6.83) формируются оценки трех компонент вектора состояния: координаты х г , производной (скорости изменения) координаты х 2 и второй производной (ускорения) координаты х3.Фильтр (3.6.33) в литературе называют а-Р-у фильтром.
Приэтом полагают, что а=Коь р=к 02Тн, у=к08 Тд являются безразмерными коэффициентами. Для линейной модели дискриминатора(3.6.2), следящая система описывается уравнениями (3.6.33), вкоторых йд(к) получают в соответствии с (3.6.3). Операторный коэффициент передачи полученной замкнутой следящей системы равен™ / \_______________(z-l)Kqi+(z-+ « 0 3 * 1 ^ _______________(z - 1)3 + (z - 1 ) 2(kq! + КщТ;) + (z - 4 *02^ +К оз^) + 1^(3 .6 .3 5 )Из (3.5.35) следует, что коэффициент усиления разомкнутой следящей системы равен Ко~Коз/Т^. Приравнивая нулю знаменатель(3 .6 .35 ), получаем характеристическое уравнение системыz8+ z2( - 3 + Koi + КогТ;)+ я(з - 2коХ- Koai; + К оз^)+ Ко2Тн - 1 = О.(3 .6 .3 6 )Условия устойчивости следящей системы получаются из (3.6.36) иимеют видО< ^08^н ^ ^01^02» ^02 ^ ^ОЗ^н/^JKgi ^ ^ОЗ^н/^*(3 .6 .3 7 )Для определения астатизма следящей системы, запишем коэффициент передачи от входа до точки, в которой формируетсясигнал ошибки_________________ м ! ________________ .
(3.6.38)(г - ! ) 3 + (г -1 )2(к01 + К оД ) + (z ~+ “ о Л ) + "о о ^При воздействии на входе следящей системы процесса х(к) с изображением x(z) изображение ошибки слежения определяется выражениемe(z) = КЙ1(z)x(z),(3.6.39)из которого, с учетом (3.6.38), следует, что, при постоянном, линейном и квадратичном воздействиях, ошибка слежения в установившемся режиме равна нулю, а при кубическом воздействии сизображением/ \ uT|z(z + l)(z + 2 )x(z) = ------^ у с т а н о в и в ш а я с я ошибкаравнаеуст = s (k) = lim(z - l)s(z) = — ^— ,к—>ооz_>1(3.6.40)К03/^нгде и - третья производная (скачок) фазовой координаты х(к).Так же, как и в следящей системе второго порядка, в следящей системе третьего порядка возможны три режима установления переходных процессов: критический, апериодический и колебательный.Критический режим определяется условиями равенства корней характеристического уравнения (3.5.36), которые имеют видК01 + К02Тн = 3 л/йозТ?; «огТе += 3 а/козТн • (3.6.41)Корни характеристического уравнения равныz 1 = z 2 = z 3 = 1 + yo;Уо = - л/к0зтн •(3.6.42)Если уравнение (3.6.36) имеет три действительных корня, какминимум два из которых различны, то в системе возможны апериодический или колебательный переходные процессы.
При этом,установление того или иного процесса зависит от выполнения илиневыполнения неравенстваХ= 427£0,(3.6.43)где: ly = к 01 + к 02Тв;г2 = к 02Тв + к 08Тв ;г8 = к 03Тв . Если х^О, тоимеет место апериодический режим, при х> 0 - колебательный.Различаются две разновидности апериодинекого режима: приналичии двух и трёх различных корней характеристическогоуравнения (3.6.36).
Приимеются только два различных корня, определяемые выражениямиz1 = l + y1;z2 = z8 =1 + y2,(3.6.44)гдеTi = -2 У Ф - гх/3;у2 = ^ / 2 -гх/3,(3.6.45)а С= ^ / З )3 - ггг2/3 + г8.При х<0 - все корни характеристического уравнения различны и равныz2 = i + y 4;zi = 1 + y 3;z3= i+ y6,(з.б.4б)гдеу3 = 2 ц - г 1/3 ;Y4 = - Ц + Р > /3 -г1/ 3 ;у 5 = -\i-p ylB -rjB ;(3 .6 .4 7 )Ц+ i р = $J~ С/ 2 + л/х - комплексное число.Когда выполняется условиепереходной процесс имеетколебательный характер.
Корни характеристического уравнения вэтом случае определяются выражениямиZ i = l + Ye ;z2= 1 + y 7;z3= 1 + y 8,(3 .6 .4 8 )в которых следует положитьY6 = В + Г - г 1/ 3 ;В+Г2/Yr = - ^ ^ - - r 1/3 + i ^ ^ V 3 ;. В —Г гтУ8 = ---- -----ri/3 _ 1 —B= f-C/2 + Vx;v8;Г = V-C/2-Vx;(3.6.49)вг = г2/9 -г2/з.Формулы, определяющие переходные процессы фильтра во времени в различных режимах, приведены в табл. 3.6.3 - 3.6.6, где: у0 у8, В и Г - определяются из (3.6.42), (3.6.45), (3.6.47), (3.6.49), аХо, V, а, и - определяют тип входного воздействия - постоянного,линейного, квадратичного и кубичного, соответственно./ \ X0ZПостоянное воздействие.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
