Новые аналитические решения задач электростатики проводников и их приложения к проблеме зарядовой неустойчивости (848706), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

x ≥0 по определению при    0;   .Проводя аналогичную процедуру вычислений, получим формулу для поверхностнойплотности заряда:264 6 k 2 sin 2 16 3k cos 4 2 .632 (1  1  4k cos  )  (1  1  4k cos  ) (1  1  4k cos  ) Данное распределение заряда по поверхности совпадает с распределением в пунктеа). На рисунках 22 - 23 показаны графики плотности распределения заряда на плоскости и втрехмерном пространстве соответственно.   sin  1.00.5 1.0 0.50.5   cos   0.5 1.0Рисунок 2235Рисунок 23Таким образом, найдена точная формула (79), описывающая распределение заряда поповерхности тела несимметричной формы (73).При этом существует ограничение на параметры  и k : k 14(80)3.2 Расчет поверхностной плотности распределения заряда для фигурысимметричной сфероидной формыРассмотрим теперь фигуру симметричной формы.Запишем потенциал заряженного жёсткого тела:a0 a2 P2 (cos  )   ,r r3(81)1Где P2 (cos  ) -полином Лежандра 2-го порядка P2 (cos  )    3cos 2   12Нормируем наш потенциал на потенциал 0 тела сферической формы радиуса r0 .Уравнение приобретет вид:1 kP2 (cos  ) ,xx3(82)36— нормированный потенциал.q / r0Тогда поверхность тела новой формы запишется в видегде x  r r0 , k   r02 ,   a 2 a0 ,  x 3  x 2  kP 2 (cos  )  0 .(83)а) Рассмотрим случай со знаком “+”:x 3  x 2  kP 2 (cos  )  0 .Данное уравнение имеет три корня, два из которых мнимые:(2  27 2 kP2   4  (2  27 2 kP2 ) 2 )121/ 3x1 13 3(2  27 2 kP   4  (2  27 2 kP ) 2 ) 133 2 3 22131(1i 3)(2272kP2  4(2272kP2 )2 ) 311i 3x2   213 3 2 3 (2272kP  4 (2272kP )2 )136 2 3 221(1i 3)(2272kP2  4 (2272kP2 )2 ) 311i 3x3   213 3 2 3 (2 272kP  4(2 272kP )2 )136 2 3 22Нам подходит действительный корень:( 2  27 2 kP2   4  ( 2  27  2 kP2 ) 2 )121 / 3x13 3 ( 2  27  2 kP   4  ( 2  27  2 kP ) 2 ) 133 2 3 2213(84)При этом существует ограничение на параметры  и k:4  (2  27 2 kP2 ) 2  0(85)На рисунке 24 показана форма поверхности фигуры при критических значенияхпараметров: k=0.25,  =0.76на плоскости.

Если  или k будут превышать данныезначения, то фигура будет разрывной. Для всех последующих рисунков также примем  0.76 , k  0.25 .37x   sin 1.00.5 1.0 0.50.51.0x cos 0.5 1.0Рисунок 24На рисунке 25 показан вид сфероида в трехмерном изображении:Рисунок 2538Плотность распределения заряда по поверхности сфероида описывается формулой21       0    2   r  r   2(86)Перепишем формулу (86) в безразмерных параметрах:2  02 q    1 1  2 22  4 0 r0   x  x r0 q  4 0 r0 2    2Произведя расчеты, получим:2q1  3k cos  sin   1 3kP2 (cos  )  2   2244 r0  xxx3 x Обозначим через  0  q4 r0 22поверхностную плотность заряда сферического тела,- безразмерная величина, характеризующая плотность распределения заряда по0поверхности:21  3k cos  sin   1 3kP2 (cos  )     2   24xx3 x x 2(87)При подстановке(2  27 2kP2  4  (2  272 kP2 )2 )121/3x13 3(2  272 kP  4  (2  27 2kP )2 ) 133 2 3 2213в формулу (87) получим:393k(1  3cos2  )   ((2(13(2 1/323(2 27 227 k (1  3cos2  )  4  (2  2k (1 3cos2  ))2 )1/32227 227 k(1  3cos2  )  4  (2  2k(1  3cos2  ))2 )1/322)4321/3 12727(2  2k(1 3cos2  )  4  (2  2k(1 3cos2  ))2 )1/3121/322( )21/333227 2273(2   k(1 3cos2  )  4  (2  2k(1 3cos2  ))2 )1/322)2 9k2 cos2  sin2 2727(2  2k(1 3cos2  )  4  (2  2k(1  3cos2  ))2 )1/3121/322( )83321/3 27 227 2222 1/33(2   k(1 3cos  )  4  (2   k(1 3cos  )) )22)(88)На рисунке 26 показана зависимость    ,   0;  0.60.50.40.30.51.01.52.02.53.0Рисунок 2640На рисунке 27 показано распределение заряда по поверхности тела на плоскости:   sin 0.60.40.2 0.4 0.20.20.4   cos  0.2 0.4 0.6Рисунок 27На рисунке 28а показан вид плотности распределения заряда по фигуре:Рисунок 28а41На рисунке 28б показан вид плотности распределения заряда в разрезе:Рисунок 28бб) Рассмотрим случай, когда в уравнении (83) перед параметром k стоит знак ”-” :x 3  x 2  kP 2 (cos  )  0Данное уравнение имеет 3 корня, два из которых мнимые.

Действительный корень:(2  27  2 kP2  4  (2  27  2 kP2 ) 2 )121/3x13 3 (2  27  2 kP  4  (2  27 2 kP ) 2 ) 133 2 3 2213(89)На рисунках 29 - 30 показаны графики формы поверхности фигуры на плоскости и втрехмерном пространстве соответственно.42x   sin 1.00.5 1.5 1.0 0.50.51.01.5x   cos  0.5 1.0Рисунок 29Рисунок 30Проводя аналогичную процедуру вычислений (см.пункт а)), получим формулу дляповерхностной плотности заряда:433k(1  3cos2  )   ((2(13(2 21/33(2 27 227 k(1  3cos2  )  4  (2  2k (1  3cos2  ))2 )1/32227 227 k(1  3cos2  )  4  (2  2k (1 3cos2  ))2 )1/322)4321/3 12727(2  2k(1 3cos2  )  4  (2  2k(1 3cos2  ))2 )1/3121/322( )21/333227273(2  2k(1 3cos2  )  4  (2  2k(1 3cos2  ))2 )1/322)2 9k2 cos2  sin2 (13(2 21/327273(2  2k(1 3cos2  )  4  (2  2k(1 3cos2  ))2 )1/32227 227 k(1 3cos2  )  4  (2  2k(1 3cos2  ))2 )1/322)8321/3 )(90)На рисунках 31 - 32 показаныграфики плотности распределения заряда поповерхности сфероида на плоскости и в трехмерном пространстве соответственно.   sin 0.40.20.6 0.40.20.20.40.6   cos  0.2 0.4Рисунок 3144Рисунок 32Таким образом, получены точные формулы (88),(90) для расчёта плотностираспределения заряда по поверхности тела симметричной сфероидной формы (83).45ГЛАВА 4.

НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ДИСКРЕТНЫХ ЗАРЯДОВ НА ОБОЛОЧКЕЖЕСТКОГО ПРОВОДЯЩЕГО ШАРА.Согласно критерию Рэлеяqaмаксимально возможный зарядшарообразной капли проводящей несжимаемой жидкости, при котором невозникает зарядовая неустойчивость, равенРисунок 33q  64 2 0 a 3(91)Распределение заряда по поверхности жидкой капли непрерывное. Реальнозаряженная частица является дискретной, и континуальная модель является приближенной.Если рассмотреть дискретную модель взаимодействия проводящего шара с заряженнымичастицами или ионами, то механизм удержания заряда будет иным, и условие устойчивостизарядов на поверхности жесткого шара будет принципиально отличаться от критерия Рэлея.Окружим проводящий шар радиуса а прочной диэлектрической оболочкой толщинойδ << а.

Представим дискретную заряженную частицу в виде малой крупинки, несущей зарядq. Будем пренебрегать поляризационными зарядами этой оболочки и силами молекулярногопритяжения частицы к данной поверхности. Учет молекулярного притяжения только усилитусловие устойчивости. Каким будет максимальный заряд (максимальное количествозаряженных частиц), который можно удержать на поверхности шара.aδРисунок 34Проведем исследование для случая трех малых частиц, каждая из которых несетположительный заряд q .

Взаимодействие зарядов с индуцированными зарядамиэквивалентно взаимодействию зарядов с их изображениями (Рисунок 35)46Рисунок 35q '' 3q  aa q' (92)q aa Введем(93)следующиеобозначениядлярасстояниймеждузарядамииэлектростатическими изображениями: R' — расстояние между q' и q'', ρ — расстояние междузарядом +q и его изображением -q', ξ — расстояние между +q и изображением другогозаряда -q' .qρq'R'ξq'R'ɑR'q''q'qqРисунок 36Используя метод электростатических изображений получим (a   ) R '  a 2 .47Следовательно,R'a2a (94)  a   R '  a  a22a   2a a (95)Сила взаимодействия q и q''F'qq ''a   23q 2 aa   3Сила взаимодействия между зарядами +q:F 2q2a 3 232Следовательно:q2F3 a   '1F 2 qq '  a    2  2a   22q 2 a  a    2  2a   2По теореме косинусов:2 2  R2   a     2 R  a     cos120 a4a   22 a    a2a    a 3a 4  4a 3  7 a 2 2  6a 3   4a   2Обозначим угол между ξ и расстоянием между q и q'' через α.По теореме косинусов: R22  2   a     2 (a   )  cos 222  a    cos      a    a4a  22 2  a     a22cos  2 a     a22 (a   )482 2  a   2  a2 a 2qqq 2 a 1 2  a     aF2  2 2 cos   q2 223aa a   F23q 2 aa   3 0 F  q 2a2  a     a2 3 a  2q23 a   2q2a  a    2  2a   23q 2 q 2a 2 4 2(96)(97)(98)Критерий устойчивости2 a212(99)Обобщим для случая N частиц :Fq  q2q2N2a2(100)Следовательно, приаN>   2(101)возникает зарядовая неустойчивость, т.е.

заряженные крупинки не смогут удерживаться наповерхности диэлектрической оболочки.Условие устойчивостинапрямую не зависит от заряда. Оценим величинуповерхностного заряда, при которой возникает зарядовая неустойчивость по механизмуРэлея и по механизму, рассмотренному в данной работе. Рассмотрим проводящий шаррадиусом 1 мм, покрытый тонким слоем диэлектрика толщины 10 нм. Согласно критериюРэлея для жидкой проводящей водяной капли, рэлеевская неустойчивость возникает приполном заряде 6,4· 10-10 Кл.

(N=4·109 частиц). Неустойчивость для твердого проводящегошара, покрытого тонким слоем диэлектрика возникает при N=1010 и заряде в 2,5 разабольшем.Мы получили, что для жесткого шара условие зарядовой устойчивости отлично отусловия Рэлея, так как модель Рэлея континуально приближенная, а в дискретном случае мыимеем другой механизм устойчивости зарядов на поверхности твердого шара.49Рассмотрим случай 4 частиц.qαbq'q''q'q'qqb/√3qРисунок 376 a , где a радиус описанной окружности.4b1sin  3 b312cos   1  332qqq  qq q qF  3 2 cos  4 2  2  3 2 cosba4b qa3qaq ; q  aa bq 2  16 2q  3qaq2aq 2a16F 343 2222a    6a3a     a a     46a  0; F 2312q 2q2aa2a  4 2Критерий устойчивости:  2 a212  4Результаты данной главы были опубликованы в сборниках трудов конференций [36], [37].50ЗаключениеОсновные выводы, полученные в работе:1.

Характеристики

Список файлов ВКР