Новые аналитические решения задач электростатики проводников и их приложения к проблеме зарядовой неустойчивости (848706), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

[11]).Получим1  211   1   13 233 131 2 22 1   2   3  1   1    3     1  2   ,33  1 3 1 21  1        1    3 3 (18)и условие (7) распада шарообразной капли проводящей несжимаемой жидкости на две каплиразных размеров примет вид1 q2 2    4 a 2    1    .4 0 a 3 (19)Подставляя  согласно формуле (12) и записывая условие для параметра Рэлея (5),окончательно получим:7Tc  2  1   b  3 (20)Из неравенства (20) вытекает, что исходной капле энергетически выгодно распастьсяна капли сильно различающихся размеров.

Формально, чем меньше радиус одной из капель,тем энергетически выгоднее это состояние. Крупная дочерняя капля может, в свою очередь,тоже распасться на крупную и мелкую капли, и т.д. Таким образом, в результате каскадараспадов исходная капля может распылиться на мелкие заряженные капельки [10]. Отметим,однако, что при энергетическом подходе мы можем говорить только о энергетическойвыгодности конечного состояния. При этом неизвестно, может ли исходная капля перейти вэто состояние из-за наличия, например, промежуточного потенциального барьера. Полныйответ на этот вопрос можно получить только в результате решения полной нелинейнойсистемы уравнений гидродинамики для жидкой заряженной капли [5].1.3 Электростатическая неустойчивость проводящей заряженной капли поотношению к изменению формы от шарообразной к эллипсоидальной.Рассмотрим вопрос о возможности в результате электростатической неустойчивостиизменения формы заряженной проводящей капли от шарообразной к эллипсоидальной.Реальный процесс развития электростатической неустойчивости определяется уравнениямигидродинамики с учетом действия электростатических сил и может проходить по иномусценарию (см., например, [5,9,10]).

К сожалению,эта сложная задача в общем случае не решена,поэтомуРисунок 2. Эллипсоид вращения.приходитсярассматриватьфизическиразумныхпредположенийконкретныесценарииразвитияисходяизкакие-тонеустойчивостиРэлея. Предлагаемый в этой работе сценарийобладает еще важным преимуществом, что может быть проанализирован аналитически [12].Мы рассмотрим вытянутый эллипсоид вращения с полуосями a  b (см. Рисунок 2).Площадь поверхности эллипсоида вращения определяется формулой (см. [12])S  2a 2  2abarcsin  ,(21)где  1a2b2(22)8Если на эллипсоидальную каплю проводящей жидкости поместить заряд q , топотенциал сфероида будет определяться формулой [6]:14 0q2b a2 lna(23)b  b2  a2Тогда электростатическая энергия эллипсоидальной капли будет равнаaq1 1 q2   ln b24 0 2 b1Wq (24)Для несжимаемой жидкости объем капли не меняется, следовательно, объемпервоначальной шарообразной капли будет равен объему эллипсоидальной капли, то есть4 3 4 r   ba 2 ,33(25)где r — радиус первоначальной шарообразной капли.

Из этой формулы получаем, чтоотношение полуосей эллипсоида равно:a a3b r3(26)Тогда для эксцентриситета эллипса (22) получим  1  2(27)Тогда результирующая энергия эллипсоида, равная сумме электростатическойэнергии и молекулярной энергии поверхностного натяжения [8], будет иметь видW 1 1 q2  lnS ,4 0 2 a1 (28)где S определяется выражением (23).Воспользовавшисьформулой(26),выразимполуосиэллипса черезрадиусr начальной шарообразной каплиa13 r,br2(29)3Подставляя (23) в (24), получим следующее выражение для суммарной энергииэллипсоидальной капли:W 1 1 q2  2/3 r 22/3 2ln2r2 arcsin  12 4 0  3 r 1 (30)Согласно энергетическому подходу, необходимым условием изменения формы каплиот шарообразной к эллипсоидальной является неравенство9W1 1 q2   4 r 2 ,4 0 2 r(31)где выражение, стоящее в правой части неравенства, является полной энергией каплишарообразной формы (см.

пункт 2В).Неравенство (31) несложно преобразовать к следующему виду:T  2 ,(32)где2 21  3 31   arcsin  2(33)231ln1 Таким образом, заряженной капле проводящей жидкости энергетически выгодноперейти к эллипсоидальной форме при значениях параметра Рэлея, превышающих  . НаРисунок 3 представлен график зависимости параметра от отношения полуосейэллипсоида  .0Рисунок 3.

Зависимость параметра  от отношения полуосей эллипсоида β.Видно, что зависимость имеет минимум при   0,3 , следовательно, переход кэллиптической форме возможен при значении параметра Рэлея T  3, 6 .Нормируем полную энергию на поверхностную энергию начальной шарообразнойкаплиWW.  4 r 2(34)10Тогда выражение для нормированной энергии будет иметь вид:2/32/3  T    ln       2/3    arcsin  W2 1  2 Рассмотримповедениеполнойэнергиив(35)зависимостиотпараметраэллипсоидальности  . Графики зависимости нормированной энергии от параметра  придвух значениях параметра Рэлея T  3, 6 и T  3, 7 представлены на Рисунке 4 и Рисунок 5.W 4 r 22.8302.8252.8202.8152.8102.8052.8000.00.20.40.60.81.0Рисунок 4. Зависимость нормированной энергии от параметра  для параметра РэлеяT=3.6W 4 r 22.8552.8502.8450.00.20.40.60.81.0Рисунок 5.

Зависимость нормированной энергии от параметра  для параметраРэлея T=3.711Из рисунка 4 видно, что при значении параметра T  3.6 , зависимость полнойэнергии от параметра  имеет два сравнимых по величине минимума, это означает, чтокапля может находится в двух стабильных состояниях практически с одинаковой энергией(шарообразном и эллиптическом), то есть в состояниях с   1 и   0, 3 соответственно.При увеличении значения параметра Рэлея до T  3.7 (Рисунок 5) энергия состояния сэллиптической формой капли становится заметно меньше, чем с шарообразной.

Отметим,что в этом состоянии значении энергии в минимуме будет больше, чем в первом случае.1.4 Устойчивость эллиптической формы заряженной капли проводящейжидкостиВ п. 3 данной статьи мы предполагали, что возможно свободное существование каплиэллиптической формы, считая, что такая форма может быть искусственно создана каким-тообразом. В этом пункте мы исследуем вопрос об устойчивости эллиптической формызаряженной капли.Дляэтоговоспользуемсясиловымподходоманалогичнотому,которыйрассматривался в п. 2А для жидкой заряженной капли, т.е. для каждой точки поверхностиэллипсоида мы рассчитаем баланс силы поверхностного натяжения и кулоновских силотталкивания.Рассмотрим поверхность эллипсоида вращения с полуосями a  b .Рисунок 6.

Эллипсоид вращенияСогласно формуле Лапласа плотность силы поверхностного натяжения в точкеповерхности эллипсоида, определяемой нормалью n , равна 11 p    , R1 R2 (36)где R1 и R2 — радиусы главных кривизн в данной точке поверхности эллипсоида.12Несложно показать, что наибольший радиус кривизны R1 определяется сечениемэллипсоида плоскостью xOy и равен3R1b2sin 2   a 2 cos 2   2(37)abНаименьший радиус кривизны R2 , как следует из рисунка равенR2 1ya   b 2 sin 2   a 2 cos2   2cos  b(38)Распределение плотности заряда по поверхности проводящего эллипсоида вращения(см. [2]) определяется формулойq4 a 2 b122 1 x  x  2 1  2   4 a  b  b (39)12Учитывая, что x  b cos , для поверхностной плотности заряда получим следующуюзависимость от полярного угла q1.214a b  122  2 1  cos   2 cos  ba(40)Принимая во внимание обозначение (26) для отношения полуосей эллипсоида ивыражение для эксцентриситета эллипса, формулу (40) можно записать в видеq4ab11  22cos 12.(41)Поверхностная плотность сил f q , действующая на поверхностный заряд проводящейкапли, определяется хорошо известной формулой (1).

Результирующая плотность fкулоновских электростатических сил и сил поверхностного натяжения будет равна1q21f  fq  p 2222 0 (4 ab) 1   cos   a2 1 222222sin    cos   sin    cos  1(42).Вынесем в формуле (42) выражение  a за скобки. Тогда получимf  11T22a  2 1   cos  sin 2    2 cos 2 2 1 222 sin    cos   ,(43)где T — безразмерный параметр Рэлея (5).Исследуем вопрос об устойчивости эллипсоидальной формы заряженной капли.Очевидно, что эллипсоидальная форма будет устойчива, если в каждой локальной точке13поверхности будет выполняться баланс всех сил. Если же в какой-то точке поверхностибаланс сил нарушается, то под действием этих сил поверхность будет деформироваться, тоесть элемент поверхности жидкости будет перемещаться под действием равнодействующейсилы до тех пор, пока не будет достигнут баланс сил.Следует отметить, что при переходе из неустойчивого состояния в устойчивоедвижение жидкости может носить колебательный характер.

Исследованию таких колебаний(в основном малых линейных колебаний) посвящено много работ (см. например [10]).На Рисунок 7–Рисунок 9 представлена зависимость суммарной поверхностнойплотности сил, нормированной на  a (половинное давление поверхностного слоя капли нанижележащие слои), от полярного угла  при при значении параметра эллиптичности  0.5 для трех характерных значений параметра Рэлея T  3.6 , T  4.5 и T  3.7соответственно.f /a˗ 0.5˗ 0.6˗ 0.7˗ 0.8˗ 0.900.51.01.5Рисунок 7. Зависимость нормированной плотности сил при значении параметра РэлеяT  3.6 .14f /a0.50.40.30.20.1θ0.501.01.50.1Рисунок 8.

Зависимость нормированной плотности сил при значении параметра РэлеяT  4.5f /a˗ 0.26˗ 0.28˗ 0.30˗ 0.32θ00.51.01.5Рисунок 9. Зависимость нормированной плотности сил при значении параметра РэлеяT  3.7При T  3.6 (Рисунок 7) зависимость от полярного угла носит монотонный характерпри этом максимум достигается при  .

Следовательно, эллипсоидальная заряженная2капля не будет находиться в равновесии, а будет проявлять тенденцию к восстановлениюсферической формы.15При T  4.5 (Рисунок 8) зависимость плотности сил от полярного угла будетобратной, т.е. сила будет монотонно убывать и при    2 достигает минимальногозначения.

Характеристики

Список файлов ВКР