Новые аналитические решения задач электростатики проводников и их приложения к проблеме зарядовой неустойчивости (848706), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Следовательно, капля будет сохранять тенденцию к уменьшению параметраэллиптичности  .Однако, для определенного диапазона значений параметра Рэлея, приблизительноравном 3.5  T  3.9 не существует монотонной зависимости. Зависимость силы отполярного угла имеет максимум при промежуточном значении угла 0     2 . Характернаязависимость при T  3.7 представлена на Рисунок 9, из которого видно, что максимумзначения плотности силы f для этого значения параметра Рэлея достигается при    6 .Следовательно, в этой области эллипсоида поверхность будет подвержена наибольшемудвижению и будет наиболее неустойчивой.Результатразвития этойнеустойчивости невозможно предсказать в рамкахстатического анализа.

Как уже отмечалось выше, необходимо решать полную системунелинейных уравнений гидродинамики. Но наличие такой начальной тенденции указывает,что это может привести к зарождению дочерней капли тороидальной формы, которая можетвследствие вторичной неустойчивости отделиться от материнской в виде отдельной каплиили распасться на несколько вторичных дочерних капель.

Хотя, конечно, вопрос остаетсяоткрытым, может, в результате этой неустойчивости произойдет только изменение формыповерхности, а отрыва дочерней капли не будет.Результаты данной работы вошли в сборники трудов научных конференций [13],[14].16ГЛАВА 2. МЕТАСТАБИЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ РАВНОВЕСИЯ ЗАРЯЖЕННОЙПРОВОДЯЩЕЙ КАПЛИ2.1 ВведениеСогласноэкспериментальнымданным,капля электропроводнойжидкостивнеэлектропроводной среде в однородном внешнем электростатическом поле E вытягиваетсявдоль E в фигуру, близкую к сфероиду. По мере усиления поля E удлинение каплиувеличивается, при достижении им некоторого критического значения на вершинах каплиформируются заострённые выступы, с вершин которых начинается сброс избыточногозаряда (индуцированного полем E) в виде струек высокодисперсных сильно заряженныхкапелек [15].

Картина развития неустойчивости капли при увеличении её заряда наблюдаласьв экспериментальных исследованиях взаимодействия с электрическими полями самыхразличных физических объектов: мениска проводящей жидкости на торце капилляра, покоторому жидкость подаётся в разрядную систему [16]; мыльных пузырей, помещённых наодну из обкладок плоского конденсатора [17]; капель проводящих жидкостей, свободнопадающих в электростатическом поле между пластинами конденсатора [18]; капельпроводящей жидкости, помещённых на одну из обкладок плоского конденсатора [19];воздушных пузырей в диэлектрической жидкости между обкладками конденсатора [20];капель проводящих жидкостей, взвешенных в диэлектрической жидкости равной плотности:в однородном поле между обкладками плоского конденсатора [21] и неоднородномэлектростатическом поле [22]; капель жидкостей, висящих в невесомости между обкладкамиконденсатора [23]; заряженных капель, взвешенных в потоке воздуха в поле сил тяжести иэлектростатическом поле плоского конденсатора [24]; везикул – микрокапель, покрытыхэластичной оболочкой, в однородном электростатическом поле [25].Исследование неустойчивости заряженной поверхности жидкости представляетзначительный интерес в связи с многочисленными академическими, техническими итехнологическими приложениями данного феномена.

В частности данное явление находитприменение: в распылении жидкого топлива и лакокрасочных материалов, в технологииструйной печати.В реальных земных условиях с неустойчивостью заряженной проводящей капли чащевсего приходится сталкиваться при анализе грозовых явлений, таких, как разряд обычной17молнии, свечение воронок смерчей, импульсное беззвучное свечение верхней кромкигрозовых облаков, известное под названием плоской молнии [26], огней святого Эльма .В конце XIX века с началом исследований электрических разрядов в атмосфере наоснове чисто визуального сходства было принято считать огни святого Эльма (ОСЭ)мощной формой коронного разряда, реализующегося в предгрозовую и грозовую погоду вокрестности высоких заостренных предметов: крестов церквей, корабельных мачт и т.п.Подобные утверждения вошли без какого-либо обоснования в учебники физики иэнциклопедическиесловари.ИтолькоисследованияБ.В.Войцеховского[27],экспериментировавшего с облаками сильно заряженных капель воды и обнаружившего свечение типа ОСЭ на произвольных предметах, вносимых в такое облако, указали нанеточность трактовки и важную роль в возникновении ОСЭ заряженных водяных капель.Свечение типа ОСЭ возникает:1) во время влажных снежных метелей и зимних гроз на произвольных предметах приэмиссиизаснеженнойилипокрытойинеемповерхностьюсильнозаряженныхмикрокристаллов снега (рис.

10).Рисунок 10 а – фотография диффузного свечения в окрестности таящего снежкапри подаче на него положительного потенциала-10кВ, полученная в темноте свыдержкой 10 с. Характерный радиус кривизны снежка-1 см; б – на фоне диффузногосвечения в правой верхней части фотографии видны траектории движения отдельныхтающих кристаллов снега, светящихся в темноте за счёт коронного разряда в ихокрестности; в – фотография диффузного свечения с тающего ледяного электродахарактерного радиуса кривизны-1 см при подаче на него положительного потенцала-10кВ, полученная в темноте с выдержкой-10 с; г – фотография диффузного свечения стающего ледяного электрода характерного радиуса кривизны-1 см при подаче на негоотрицательного потенцала-10 кВ, полученная в темноте с выдержкой-10 с.182) в грозовую погоду на произвольных предметах при повышенной влажности (когдаповерхность предмета покрыта каплями или пленкой воды), связано с неустойчивостьюповерхности воды в электрическом поле.Рисунок 11 а – фотография диффузного свечения, возникающего в окрестностивершины водяного мениска на торце капилляра с радиусом-1,5 мм, при подаче на негоположительного потенциала-10кВ, полученная в темноте с выдержкой-10 с.; б – нафоне диффузного свечения в верхней части фотографии видны траектории движенияотдельных крупных капель воды, светящихся в темноте за счёт коронного разряда в ихокрестности.В сильном электрическом поле грозовых облаков водяная пленка или капли воды,появляющиеся на различных предметах, могут стать неустойчивыми по отношению киндуцированному заряду и с их поверхности начнется эмиссия высокодисперсных капелек,несущих запредельные в смысле критерия Рэлея заряды.

Напряженность электрическогополя собственного заряда в окрестности эмитированных капелек будет превышатьнеобходимое для зажигания коронного разряда. Коронный разряд во влажной атмосфере вокрестности большого количества мелких капелек, образовавшихся при реализациинеустойчивости заряженной поверхности жидкости, будет восприниматься как появлениеголубого свечения у поверхности покрытого пленкой воды предмета, то есть как ОСЭ.Отдельный интерес представляет расчёт равновесных форм капель в левитаторах(бесконтактныхподвесах)различноготипа:акустического[28],аэродинамического,электромагнитного, электростатического [29] и их всевозможных комбинаций [30].

Широкоеиспользование левитаторов связано с современными технологиями получения высокочистыхвеществ, а также с неоднократными попытками проверки [31] справедливости критерияРэлея устойчивости капли по отношению к собственному заряду. В последние годы этоткритерий неоднократно экспериментально проверялся в различного вида левитаторах.Выяснилось, что в экспериментальных исследованиях по проверке критерия Рэлея,использовавших различные варианты электростатических подвесов, форма капли заметно19отличалась от сферической, что неизбежно должно проявиться в отклонении измеряемыхзначений критических параметров от предсказываемых строгой теорией [32].2.2 Постановка задачиРассмотрим каплю проводящей жидкости сферической формы радиуса r0. Устойчивостькапли зависит от баланса кулоновской силы отталкивания и лапласовского давления,обусловленного поверхностным натяжением.

Соответственно, полная энергия капли равнасумме кулоновской энергии и свободной энергии поверхностного натяжения  q , W    4 r 2 ,W  Wq  WS , W q  0s02где 0  q (4 0 r0 ) -потенциал заряженной капли.(44)Предположим, что капля изменила свою форму.Рисунок 12Исследуем,какменяетсяэнергияаксиально-симметричнойпроводящейкаплинесферической формы в зависимости от заряда, сообщенного капле, и формы капли.2.3 Решение задачиВыберем некоторый конкретный вид проводящей поверхности указанного вида. Т.к.потенциал проводящей поверхности является эквипотенциальной поверхностью, то вкачестве такой поверхности можно выбрать поверхность, потенциал которой равен:a0 a2 P2 ( )   ,r r3где  — потенциал нашей заряженной (капли),(45)P2 cos   — полиномы Лежандра20второго порядка.. — угол между осью z и радиус-вектором. В дальнейшем будемиспользовать обозначение cos    .

Т.к. это выражение представляет собой сумму двухсферических функций, которые тождественно удовлетворяют уравнению Лапласа [33].Нормируем наш потенциал на потенциал 0 исходной сферической капли радиуса r0 .Уравнение приобретет вид:1 kP2 ( ),xx3(46)где x  r r0 , k   r02 ,   a2 a0 ,  — нормированный потенциал.q / (4 0 r0 )Тогда поверхность капли сфероидной формы запишется в виде x 3  x 2  kP 2 ( )  0 .(47)Рассмотрим случай со знаком “+”: x 3  x 2  kP 2 ( )  0 .(48)Данное уравнение имеет три корня, два из которых мнимые:(2  27 2 kP2   4  (2  27 2 kP2 ) 2 )121/ 3x1 13 3 (2  27 2 kP   4  (2  27 2 kP ) 2 ) 133 2 3 22131(1 i 3)(2  272kP2  4  (2  272kP2 )2 ) 311 i 3x2   213 3 2 3 (2  272kP  4  (2  272kP )2 )136 2 3 221(1 i 3)(2  272kP2  4  (2  272kP2)2 ) 311 i 3x3   213 3 2 3 (2  272kP  4  (2  272kP )2 ) 136 2 3 22Нам подходит действительный корень:(2  27 2 kP2   4  (2  27 2 kP2 ) 2 )121 / 3x13 3(2  27 2 kP   4  (2  27 2 kP ) 2 ) 133 2 3 22Разложим это решение в ряд по параметру k до шестого порядка, получим:13(49)131  P 2 k  2   3 P2 2 k 2  7  5 P2 3 k 3  30  7 P2 4 k 4  143 9 P2 5 k 5  728  11 P2 6 k 6   ( k ) 2(50)Данное уравнение (50) описывает форму поверхности капли.xПараметр k лежит в пределах k  (-0.14;0.28).

Характеристики

Список файлов ВКР