ВКР: Новые аналитические решения задач электростатики проводников и их приложения к проблеме зарядовой неустойчивости

1.1 Введение.

Электростатическая неустойчивость заряженной капли, известная еще в XIX веке, до настоящего времени привлекает внимание исследователей. Основы теории этого явления были разработаны английским ученым Дж. Рэлеем и до настоящего времени уточняются и развиваются [1]. Явлению неустойчивости заряженной поверхности жидкости посвящено большое количество публикаций в связи с многочисленными академическими, техническими и технологическими приложениями, например, обзоры [2-4], в которых проанализировано состояние исследований в различных сферах использования обсуждаемого явления. Электростатическая неустойчивость возникает, если поверхностная плотность кулоновских сил отталкивания электрических зарядов проводящей жидкости превышает давление со стороны поверхностных слоев капли на нижележащие (поверхностное натяжение). Сначала проведём анализ неустойчивости шарообразной заряженной капли несжимаемой проводящей жидкости. Для тел иной формы такой анализ представляет сложную проблему. Если тело заряжено и является проводником, то необходимо сначала решить задачу электростатики на распределение зарядов по его поверхности. В случае проводящей жидкости форма капли может меняться в зависимости от распределения зарядов по ее поверхности, также как и давление сил поверхностного натяжения, поэтому форма капли, распределение зарядов по ее поверхности и величина сил поверхностного натяжения взаимно зависимы. Обычно задачу о зарядовой неустойчивости капли решают методом возмущений, рассматривая равновесную конфигурацию заряженной капли простой формы (как правило, шар). Далее рассматривают малое отклонение шарообразной формы, анализируя развитие этого возмущения. При определенных параметрах среды возможно развитие неустойчивости. Однако такой способ позволяет обнаружить лишь линейную стадию неустойчивости и не дает возможности предсказать приведет ли это к новому равновесному состоянию формы капли или к разрушению капли (рождение дочерних капель). Другой подход к анализу зарядовой неустойчивости основан на анализе свободной энергии заряженной капли в начальном состоянии и в конечном состоянии, обусловленном развитием неустойчивости. Например, для данного заряда шарообразной капли вычисляется суммарная энергия капли в начальном состоянии и в состоянии после распада на дочерние капли. Если энергия системы капель после распада оказалась меньше исходной, то такое состояние является энергетически более выгодным. Однако установление данного факта еще не гарантирует, что капля обязательно перейдет в новое состояние. Для этого необходимо установить, что при переходе в энергетически более выгодное состояние не требуется преодолеть потенциальный барьер, препятствующий распаду заряженной капли или изменению ее формы. Для ответа на этот вопрос в общем случае требуется полное решение нелинейных уравнений гидродинамики заряженной жидкости [5].

1.2 Неустойчивость шарообразной заряженной капли проводящей несжимаемой жидкости.

A. Силовое рассмотрение. Пусть имеется проводящий жидкий шар (капля) радиуса a, заряженный зарядом q (см. Рисунок. 1). Заряд q равномерно распределен по поверхности шара с плотностью . Тогда на единицу поверхностного заряда будет действовать сила кулоновского отталкивания q f равная [6, 7]
и направленная от центра капли. С другой стороны, на поверхностный слой жидкости будет действовать сила поверхностного натяжения поверхностная плотность которой (давление) p направлена к центру капли и, согласно формуле Лапласа для капиллярного давления [8], равна