Новые аналитические решения задач электростатики проводников и их приложения к проблеме зарядовой неустойчивости (848706), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

В противном случае поверхность имеетразрывы.Объем исходной сферической капли V 0  4 3  r03(51)Выведем формулу для объёма фигуры вращения:21r ( )V=  d  sin  d20001r 2 dr  2  d cos  r 3 ( )30Обозначим cos  =1Тогда имеем V  2   r 3 d 3 13 11rОбъем полученного сфероида V  2  r 3 d   2   03 13объем несжимаемой жидкости сохраняется.Отсюдаx2( , k )d  14 3 , так как r031x2(52)( , k ) dV  2 1Из этого уравнения можно найти методом простой итерации зависимость  (k ) в видеряда по переменной k, и подставив эту зависимость в уравнение для формы поверхностиполучить решение уравнения по переменной х в виде разложения в ряд по переменной k.Проделаем этот процесс:126  2 k 2 8  4 k 3 36  6 k 4 144  8 k 5 106  10 k 6  O ( k 7 ) x ( , k ) dV   2  5  7  5 712(53)Преобразуем это уравнение:2 2 6 2 k 2 8 4 k 3 36 6 k 4 144 8 k 5 106 10 k 6  O(k 7 )25757341872 10 5 3  1   4 k 2   6 k 3   8k 4  k  5312 k 65757Следовательно,(54)1341872  (1   4 k 2   6 k 3   8 k 4   10 k 5  53 12 k 6 ) 357571467253 1   4 k 2   6 k 3   8 k 4   10 k 5  12 k 65215213Применим метод простой итерации:Полагаем  0  1Подставим  0 в предыдущую формулу, получим:14672 5 53 61  1  k 2  k 3  k 4 k  k(55)5215213Подставим выражение (55) в формулу для формы поверхности (50) и разложим в ряд попеременной k до шестого порядка:22 1 3 2  39 4  21 k    k х ( , k )  1    3 2 (811  6363  2  19845  4  19845  6 ) k 3 2 2 8402 10 1807  88140  2  413910  4  850500  6  637875  8 4k 420022795  198477  2  1280610  4  3974670  6  6081075  8  3648645  10 5k 33603807298  77374710  2  617715315  4  2593741500  6  6001128000  8  7313874750  10  3656937375  12 6k 441000 ( k ) 7(56)На рисунке 13 построен график зависимости x(v), v  cos  ,  (1,1) при значениипараметра k=0.2 на плоскости.x1.00.80.60.40.2 0.50.5Рисунок 13На рисунках 14а,14б,14в показана форма поверхности каплив трёхмерномпространстве при k  (-0.14;0.28).23νxkРисунок 14аkxνРисунок 14б24kxνРисунок 14вЭнергия поверхностного натяжения капли W S    S .Площадь поверхности сфероидальной капли описывается формулойS  2 0r 2 sin  |  F | ,dF  U r(57)F  r ,  ,    a0 r 2  a2 P2      r 2    r 3  a0 r 2  a2 P2 ( )  0гдеповерхности, U r — орт радиус-вектора, а F U r—уравнениеF — косинус угла между нормалью кповерхности сфероида и радиус-вектором в точке r ,  ,   .Преобразуем формулу для площади поверхности:1 2r 2 Fr F ( ) ( d cos  )  2  dFUFU11rr1S  2   cos Обезразмерим уравнение поверхности.

Параметр a0 имеет размерность B•м,размерность параметра a2 В•м3, F имеет размерность В•м3. Следовательно:  r 3  a0 r 2  a2 P2 (v )F r 3 a0 r 2a 4 04( 3   2  2 2 P2 (v))02qqq  r0r0q r0 q  r0r0 34 0 r0r0ОбозначимF=Fq3r04 0 r025F    x3  x2 a22P ( ) .a 0 r0Перепишем формулу для площади поверхности капли, в которую будут входитьбезразмерные параметры:1 r 2  x 2  F ( )1F ( )r 2  x F ( )0xx d  2  S  2 d  2 r0 2  x 2   d F u xF  u x F  ux1111F ( )x22 .,гдеs=x1S  2 r0  s1 d Fux1121 2 222   3x  2 x   2 k 9 1   xs1  x 2 23x  2 x12,(58)  cos После разложения выражения для s1 в ряд по параметру k, получим:(7 180 2  225 4 ) 2 (137  2457 2  8883 4  7371 6 ) 3k k 20843(13  6210 2  40275 4 85500 6  54000 8 ) 4k 200(59)(7033 169311 2 1603104 4  5778108 6  8700615 8  4465125 10 ) 5k 560(9894539  377376720 2  4837414575 4  25089781500 6  62465610375 8  73198282500 10  31724713125 12 ) 6k 39200(k7 )s1  1 1 3 2  k Подставим выражение (59) в формулу для площади поверхности:4 k 2 104 k 3 1272 k 445288 k 5 115560736 k 62S  2  r0  2 51051751925875875Энергия проводящей капли несферической формы определяется выражением:qW=  S , где2 k 2 4k 3 6k 4 24k 5 53k 6 1  521573 qq4 0 r04 0 r0(60)(61)-потенциал заряженной капли.Следовательно,26 k 2 4k 3 6k 4 24k 5 53k 6 1  5 21573  2 4k 2 104k 3 1272k 4 45288k 5 115560736k 6  2Wq  2  2   r08 0 r051051751925875875 (62)2Введем безразмерный параметр Рэлея T q.

Тогда энергия сфероидальной16  0 r032капли, выраженная через Т и k, имеет вид:2 k 2 52 k 3 636 k 4 22644 k 5 57784868 k 61 251051751925875875k 2 4 k 3 6 k 4 24 k 5 53 k 6W  1521573TНайдём экстремальные точки выражения (63):(63)W 0.k14624532  k  3 k 2  4  k 3  5  k 4  6  k5 5215732252 2636 322644 457784868 5  (2  k  3 k  4k 5k  6k )0T51051751925875875Разделим это уравнение на k; т.к. случай k = 0 нам не подходит:14624532  3 k  4 k 2  5 k3  6 k4 5215732252636 222644 357784868 4  (2   3 k  4k 5k  6k )0T51051751925875875Данное уравнение имеет 4 корня (см.

Приложение).Анализ для случая, в изначальном уравнении (48) перед параметром k стоитзнак «–» даёт выражение для энергии капли, совпадающее с формулой (63) с точностью дознака перед нечётными степенями параметра k:2 k 2 52 k 3 636 k 4 22644 k 5 57784868 k 6 1 251051751925875875k 2 4 k 3 6 k 4 24 k 5 53 k 6W 1521573T (64)Согласно энергетическому подходу, необходимым условием изменения формы каплиот шарообразной к иной является неравенство:Wшар  Wфигуры ,где выражение, стоящее в левой части неравенства, является полной энергией каплишарообразной формыWшар1 1 q2   4 r 2 ,4 0 2 r27а выражение, стоящее в правой части неравенства, является полной энергией капли,изменившей свою форму:Wфигуры 2k 2 52k 3 636k 4 22644k 5 57784868k 6 21 51051751925875875 k 2 4k 3 6k 4 24k 5 53k 6 1 521573TСледует отметить, что при переходе из неустойчивого состояния в устойчивое движениежидкости может носить колебательный характер.

Исследованию таких колебаний(в основном малых линейных колебаний) посвящено много работ (см. например [32]).На рисунке 15 построен график зависимости энергии капли W от параметра k,лежащего в диапазоне k  (-0.14;0.28) при значении параметра Рэлея T= 4.61.438W1.4371.4361.435 0.10.1Рисунок 150.2kМинимум энергии достигается в диапазоне параметра k ≈ (0.1;0.14), что позволяетрассчитывать на стабильность данной формы капли.При данном подходе мы можем говорить,что сферической капле энергетическивыгодно изменить свою форму и перейти в состояние (50).

Данное состояние являетсяметастабильным. При этом неизвестно, является это состояние конечным или черезнекоторое время произойдут дальнейшие изменения формы поверхности. Полный ответ наэтот вопрос можно получить только в результате решения полной нелинейной системыуравнений гидродинамики для жидкой заряженной капли.Результаты данной главы опубликованы в сборниках трудов конференций [34], [35].28ГЛАВА 3. НОВЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЭЛЕКТРОСТАТИКИПРОВОДНИКОВДанная глава посвящена поиску точного аналитического решения, описывающегораспределение зарядов по поверхности сфероида.Общая постановка задачи:  0(65)  const , где  -потенциал на поверхности сфероида.Хорошо известно, что уравнению Лапласа удовлетворяют сферические функции вида:Pn  cos  r n1n 0(66)и любая линейная комбинация этих функций.Полином Лежандра порядка n определяется в общем виде:Pn  cos   n1dncos2   1nn2 n ! d (cos  )(67)В частности, любая линейная комбинация вида:a0P0  cos  P  cos  P  cos P  cos   a1 1 2 a2 2 3 a3 3 4   constrrrr(68)является точным решением электростатической задачи для заряженного тела с формойповерхности, определяемой уравнением r  r  (69)Т.к.

решение этой задачи сводится к полиному 4-го порядка, то зависимость r   можетбыть представлена в аналитическом виде.В данной главе рассмотрим частные случаи симметричной и несимметричной фигур.3.1 Расчет поверхностной плотности распределения заряда для фигурынесимметричной сфероидной формыРассмотрим несимметричное жёсткое проводящее тело.Запишем потенциал тела такой формы1 a 0 a1(  2 P1 ())  4 0 rr(70)Параметр a0 имеет размерность Кл, параметр a1 имеет размерность Кл∙м.Нормируем наш потенциал на потенциал  0 тела сферической формы радиуса r0 .29Введем новые параметры: x  r r0 , k  a1 (a 0 r0 ) ,  q, где 0 q / (4 0 r0 )4 0 r0потенциал тела сферической формы.Умножим (70) на4 0 r. Тогда уравнение в безразмерных параметрах приобретет вид:q1 kP1 () ,xx2(71)Следовательно, поверхность тела несимметричной формы запишется в виде:x 2  x  kP1 ()  0 .а) Рассмотрим случай со знаком “-”: x 2  x  kP1 ()  0 .(72)Это уравнение имеет два корня:x1 1  1  4kP1 ( )1  1  4kP1, x2 22(73)Нам подходит только корень x2 , т.к.

x ≥0 по определению при    0;  При этом существует ограничение на параметры: 1  4kP1 ( )  0На рисунке 16 построенграфик(74)зависимости x( ),  (0,  ) при критическихпараметрах   1 и k  0.25 . Если  или k будут превышать данные значения, то фигурабудет разрывной. Для всех последующих рисунков также примем   1 , k  0.25 .x1.21.11.00.90.80.70.60.51.01.52.02.53.0θРисунок 16На рисунке 17 показана форма поверхности тела на плоскости:30x(θ)sin θ1.00.5 0.50.51.0x(θ)cos θ0.51.0Рисунок 17На рисунке 18 показан вид твёрдого тела в трехмерном изображении:Рисунок 18Напряженность электрического поля описывается формулой:   F E er ,F(75) где  - потенциал тела, er  n - единичный вектор внешней нормали к поверхности,31FF  - уравнение нормали к поверхности,   er - косинус угла между  и r .FFE  ,0(76)где  - плотность распределения зарядов по поверхности,  0 - электрическаяпостоянная.2  01       2 r  r   2(77)Перепишем формулу (78) в безразмерных параметрах:2  02 q    1 1  2 22  4 0 r0   x  x r0 q  4 0 r0 2    2Произведя расчеты, получим:2q1  k sin   1 2k cos   2   2 234 r0  xxx2  x Обозначим через  0  2qповерхностную плотность заряда сферического тела,4 r0 2- безразмерная величина, характеризующая плотность распределения заряда по0поверхности:2 1 2k cos    k sin     2  x3   x3 xПри подстановке x 2(78)1  1  4kP1в формулу (78) получим:264 6 k 2 sin 2 16 3k cos 4 2 (1  1  4k cos  )6  (1  1  4k cos  )3 (1  1  4k cos  ) 2 2(79)На рисунке 19 показана зависимость    ,   0;  321.00.80.60.40.20.51.01.52.02.53.0Рисунок 19На рисунке 20 показано распределение заряда по поверхности тела на плоскости:   sin  1.00.5 0.50.51.0   cos   0.5 1.0Рисунок 2033На рисунке 21а показан вид плотности распределения заряда по фигуре:Рисунок 21аНа рисунке 21б показан вид плотности распределения заряда в разрезе:Рисунок 21б34б) Рассмотрим случай, когда в уравнении (72) перед параметром kстоит знак ”+”: x 2  x  kP1 ( )  0Данное уравнение имеет 2 корня: x1 1  1  4kP1 ( )1  1  4kP1, x2 .22Подходящим является только корень x2 , т.к.

Характеристики

Список файлов ВКР