1626435914-6d29faf22cc9ba3862ba4ac645c31438 (844347), страница 114
Текст из файла (страница 114)
2 + !) + ... + (2э + 1) = н ври нечетных э (! + 2) + (3 + 4) + ... + (э + (э + !)! = 2 3 4 7 1- ! ! -~-... -~ (2э 1- !) = (2 ° ! + 1) 4 (2 ° 3+ !) Ч... + (2э Ь !) = э(э + !) 2 В первом случае получаются равноотстоящие уровни, причем самым глубоким является а-уровень, даяее следуют — р-уровень, совпадающие з- и И-уровни, рн 7-уровни и т.д., как указано на рис.16.10,а. Зтот результат вытекает из решения квантовомеханической задачи для трехмерного гармонического осциллятора с потенциаяьной энергией цг) — !»гз — !»(я!+ уз+ 2) 2 2 (16.69) соответствующей квазиупругой силе 7 = -»г. Возможные значения энергии равны сумме энергий трех линейных гармонических осцилляторов, колеблющихся вдоль осей х, у, х: Е= Ли э,+ — +Ли эх+ — +Ли э„+ — =Ли э+— /» где и — классическая частота колебаний, и = — г,! —, э„ею э, — квантовые числа, 2я )г' ш' принимающие целые значения О, 1, 2,..., э = э, + э„+ э, — полное колебательное квантовое число, также принимавшее любые целые значения.
Нулевая энергия, в соответствии с тремя 1 3 степенями свободы, равна 3 — Ли = -Ли. В отличие от одномерного случая, все уровни, 2 2 кроме уровня э = 0 (э, = э„= э, = 0), являются вырохгаенными, в соответствии с числом возможных комбинаций кеайтовых чисел э„э„, э, при заданном э. При э = 1 получаются 3 комбинации 1+0+ 0 = 1, 0+1+0 = 1, 0+ 0+ 1 = 1, при э = 2 — -6 комбинаций: 1+ 1+0 = 2, !+0+1=2,0-1-1+1=2,и2+О+0=2,0+2+0=2,0+0+2=2ит.д.Общеечисло комбинаций, т.е. степень вырождения, равно сумме целых чисел от! до э+ 1 !+2+3+...
+(э+1) = (э + 1)(э + 2) 2 (16.71) что дает при э = О, 1,2, 3,4,5,6 степени вырожвения 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28. Как можно показать, это будут состояния с ! = О, с ! = 1, с ! = 0 и 2, с ! = 1 и 3, с ! = 0,2 и 4 и т.д., т. е. последовательные состояния с четными ! при четном э и с нечетными ! при нечетном э, а согласии с тем, что состояния с четными э и 1 четные, а состояния с нечетнмми э и ! — нечетные (меняют знак при отражении в начале). Полная степень вырождения 2 , '2!+ 1 равна ( 16 71) как при суммировании по четным ! от 0 до э при четном э, так и при суммировании по нечетным ! от 1 ло э при нечетном э, что легко проверить'4).
456 Глава 16. Моменты ядер и их спектроскопическое исследование Во втором случае, т. е. для постоянного потенциала, получаются уровни, расположенные более сложным образом, причем уже нет совпадения уровней с различными значениями 1, как в первом случае. Расположение уровней при постоянном потенциале получается решением соответствующей квантовомеханической задачи, причем анапогичио случаю кулоноаского потенциала (задача об атоме водорода) в силу сферической симметрии переменные разделяются в сферических координатах, и волновые функции ищутся в виде произведения типа (6.40) радиальной функции на угловую функцию. Угловые функции получаются те же, что и лля атома водорода (ср.
замечание иа с. )99), а радиальные функции, так как здесь (7(г) = 0 при г ( 22 и (7(г) = со при г ) 11, имеют уже иной вил (получаются бесселевы функции порядка !+ )/)). Прн нумерации состояний, согласно схеме (!6.68), при помощи целого числа и уровни при заданном п лежат тем глубже, чем больше !.
Легко произвести сопоставление уровней в обоих случаях. При постепенном изменении потенциала от параболической формы к прямоугольной расположение уровней будет меняться, однако будут сохраняться значения 1 и уровни с одинаковыми 1 не должны пересекаться, в соответствии с общим правилом непересечения уровней с одинаковыми сохраняющимися квантовыми числами (см. 8 !4.5, с. 394). Такое сопоставление произведено на рис.! 6.11, причем учтено расщепление уровней гармонического осциллятора с е > 2. Можно ожилать, что лля легких ядер потенциал будет блюке к параболическому потеициапу, а Лля тяжелых ядер — к прямоуюльиому. Это может дать разницу в расположении более высоких уровней.
Для белее глубоких уровней, как показывает рис. !6. ! 1, их порядок при переходе от одного предельного случая к другому сохраняется. Для полной характеристики состояний нуклонов в ядре нужно, наряду с квантовыми числами и и 1, задать, так же как и для электронов в атоме, значения проекций орбитального и спинового моментов количества движения. При заданном 1 гп) — — 1,1 — 1,..., — 1, т.е. принимает 21+! значений. Спин нуклонов 1 = '/2 (спин для протона и для нейтрона одинаков, Тр — — 1„= '/2, см. (6. !)) и птг = '/2, — '/2. Подобно уровням электронов в атоме, для уровней нуклонов в ядре заданным значениям и и 1 соответствует д) = 2(21+ !) состояний с различными пч и тг, и числа д) определяют степени вырождения этих уровней.
Для нуклонов в ядре также имеет место принцип Паули" ): не может быть двух нуклонов с одинаковыми наборами квантовых чисел, т. е. в данном случае с одинаковыми наборами и, 1, пз) и п)г. Соответственно получаются нуклонные оболочки, заполняющиеся 2(21+ 1) нуклонам и каждая. При этом необходимо учесть весьма существенное обстоятельство, что в отличие от электронной оболочки атома, в ядре имеются два сорта частиц — протоны и нейтроны.
Принцип Паули следует применять для каждого сорта нуклонов в отдельности ", т. е. рассматривать независимо последовательное заполнение протонных и нейтронных оболочек. Отметим, что при том же наборе уровней для протонов н нейтронов само расположение уровней может несколько отличаться, так как силы, действующие в ядре на протоны и на нейтроны, не совсем одинаковы"). ) ) Так как спин нухлонов полуцелыя и, следовательно, они описываютея антисиммегричными волновыми функциями (см.
с. 74 и 202). )6) Свойства волновых фуикция ао отношению к перестановкам частиц (из евоясгвв аигисимме)рви волновых функций и вытекает принцип Паули) атнаеягся к одинаковым частицам. Наряду с ядерными силами, которые предполагаются алинаковцми лхн прогонов я нейтронов )7) и играют основную раль, лля протонов, особенно в тяжехцх рядах, необходимо, как известно, учитывать кулоневекие силы очталкиеания.
457 8 16.6. Модели ядра и теории моментов ядер Ь /4н ти 55 4к рм бв Р ! в/г: гг, (138) . -" и/2 "г4-(!26Тгс иг- г ..10!!2)---- --,= — «г-4=-(1!'О) ,' )Р!!«г,— «г — 6 -~( ! 06) г--н . ' -- / ' 7/г 8 /(!00) г-«г- и <82) Ф 6.. Р / / 1 !иь и '(82). --" - — — р-г — -- (70) 5, «)- 4,(68) (7' с. «,-б:(64) ;«г- 8 - (50) У--<' ь. 9/г- го (50) — г — ( Й 4 (38! ,<34) -< 7/2 8 '(28) 56 †((баф 5р-6-(038) 71-26-(!32) 56 !4 ((06) 7(-26-(!32) 50 42-(!)27<4 !я Ъ 45 Зк-2 (92) 66-22 — (90) ЗО-(70)44 (д 44-! 0-(68) 35 59 — ! 8 — (58) 20-(40)-(/ 25 Зр-6-(40) 20 4/-!4-(34) ! 2-(20)-(4 (20) а.
«г 4 (18) $2- 6-~(!4)- . гк — 2 — (20) 15 ЗИ вЂ” !Π— (!8) 10 ! б-(8)-<к (8) Г --~ г/2 г г -3/2 — 4 (6) 2р — б — (8) 0 2 — (2)(* ------5- — - — г/2-2 — ------- — -- !г — 2 — (2) 0 (2) Рие.!6.11. Схема уровней нукпоноа а ядре Согласно принципу Паули для схемы рис. 16.11, числа нуклонов в последовательно заполняющихся оболочках равны 2, 6, 1О, 2, 14, .... Полное число нуклонов данного сорта, указанное на рис. 16.! 1 в скобках и соответствующее заполнению всех глубоких уровней, кончая данным, равно 2, 8, 18, 20, 34, 40, 58, 68, 90, 92, .... Таким образом, можно ожидать особой стабильности ядер с соответствующим числом протонов или нейтронов.
В описанной схеме объяснякпся магические числа 2, 8, 20, соответствующие особенно стабильным ядрам Не (Я = 2, А — Я = 2), Ом(Я = 8, А — Я = 8) и Са'о (Я = 20, А — Я = 20) с заполненными как протонными, так и нейтронными оболочками, однако магические числа 28, 50, 82 и 126 остаются необъясненными. Требуется также дополнить схему, для объяснения наблюдаемых значений спинов ядер, предположениями о сложении орбитальных и спиновых моментов. Характеризуя каждый нуклон орбитальным моментом 1! и спиновым моментом 7!, мы можем 458 Глава 16. Моменты ядер и их спектроскопическое исследование складывать эти моменты в полный момент 1 (см. (16.2) и ср.
(9.2)) в различной последовательности. Конкретизацией модели ядерных оболочек является предположение о сильном спин-орбитальном взаимодействии, которое и привело к успешному объяснению магических чисел и значений спинов ядер, о чем уже упоминалось в начале параграФа (с. 454). Согласно этому предположению, для каждого нуклона его спиновый момент 1! и орбитальный момент 1; складываются в полный момент уд уг =1, +1ь (16.72) и соответственно при каждом значении 1; > 0 получаются два уровня со значения- 1 1 ми 1'; = 1; ~ —.
Только при 1; = 0 у; = 1г = — получается один дважды вырожденный 2 2 уровень. Спин-орбитальное расщепление б~ ьцв~цг уровня нуклона с заданным 1 будет зависеть от 1 и предполагается, что оно возрастает с увеличением 1 и что глубже лежит уровень с Облыжны 7'. Тогда расположение уровней получается таким, как показано в центральной части схемы рис.!6.1!.
В результате оболочки, характеризующиеся значениями п, 1 и 1, заполняются 21+! частицами. Последовательные оболочки будут содержать 2, 4, 2, 6, 4, 2, 8,... нуклонов и их общее число составляет 2, 6, 8, 14, 18, 20, 28, 32, 40, 50, ..., причем в этом ряду будут встречаться и магические числа 28, 50, 82, 126. Именно эти числа будут соответствовать наибольшим расстояниям между уровнями, т.е.
наибольшей устойчивости соответствующих оболочек. Для каждого ядра, состоящего из Я протонов и А — Я нейтронов, легко определить, согласно схеме рис. 16.11, протонную и нейтронную конфигурации. Например, для А1~' (Я = 13, А — Я = 14) мы получим конФигурацию протонов! в~, 2р',, 2р,~ 3д',~ и конфигурацию нейтронов 1в,, 2р",,2р,,3д~„.
Нуклоны с заданными значениями и, 1 и з' обозначены символом и1, а их число указано, как и дхя электронных оболочек, индексом справа сверху. В данном случае последняя нейтронная оболочка заполнена полностью, а в последней протонной оболочке не хватает одного протона. Теперь рассмотрим, на основе представления об ядерных оболочках при сильном спин-орбитальном взаимодействии, интересующий нас вопрос о моментах ядер.
Для заполненных оболочек результирующий механический момент равен нулю и для ядер, у которых заполнены как протонные, так и нейтронные оболочки, 1 = О. Эти ядра содержат четное число протонов и четное число нейтронов, а поэтому являются четно-четными. Для объяснения равенства нулю спина четно-четных ядер с незаполненными оболочками и для нахождения значений спина четно-нечетных, нечетно-четных и нечетно-нечетных ядер делается дополнительное предположение. Оно состоит в том, что при четном числе протонов или нейтронов в незаполненных оболочках их моменты, складываясь, дают 1 = О, и что значения 1 > 0 получаются благодаря сложению моментов нуклонов в оболочках, содержащих нечетное число частиц. Равенство нулю момента при четном числе частиц в оболочке легко понять на основе наглядного представления о том, что происходит попарная компенсация моментов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
