1626435914-6d29faf22cc9ba3862ba4ac645c31438 (844347), страница 103
Текст из файла (страница 103)
с. 410), даже в весьма сильных внешних электрических полях всего лишь доли см Картина штарковского расщепления спектральной линии определяется величиной расщепления комбинирующих уровней и правилами отбора. Так же, как При достаточно близких уровнях разной четности эти матричные элементы могут не удовлетворять условию, выполняющемуся вля слабого поля, !!г„в! « !Е.
— Ев !. (15.9) При обратном условии (15.!О) 4!г Глава 15. Явление Штарка и в явлении Зеемана, имеют место правила отбора (4.157) для дипольного излучения, гзгп = О, ж1, и при ьзпг = О получаются к-составляющие (иногда называемые р-составляющими), соответствующие дипольному моменту перехода, параллельному полю, а при бгпг = ж! — гг-составляющие (иногда называемые з-составляющими), соответствующие дипольному моменту перехода, перпендикулярному полю. Вследствие того, что уровни расщепляются несимметричным образом (см.
(15.14)), картина штарковского расщепления также получается несимметричной; это характерно для квадратичного явления Штарка. Для я- и гг-составляющих получаются определенные относительные интенсивности, имеющие разную величину для переходов 7 —,7 и 7 — .7 — 1. Эти интенсивности можно найти по применимым и к этому случаю формулам табл.
14.1 (см. с. 375), если учесть совпадение к-составляющих гп — т, -т — — пг и сг-составляющих т+ 1 - т, — т — 1 - — пг и т — 1 - т, — гп + 1 - — т. При квантовомеханическом рассмотрении квадратичное явление Штарка получается во втором приближении теории возмущении. В первом приближении теории возмущений среднее значение энергии возмущения (15.3), т.е. матричный элемент ( Уг'!ггпу г!т, как мы видели, обращается в нуль (см. с. 410) и г5,Е = !г = О, Во втором приближении мы имеем ЬЕ-Е!"""-! г г У Ег — Е г ' (15.15) где матричные элементы энергии возмущения (15.0) равны !ггж,му =Е/ гу,'г е~ з,г) л ег.
(15.1б) г 3~ У», 'Уж ~гбгЕ! « 1 ~Ег — Е,г! Это отношение, согласно (15.15), порядка (15.17) (15.18) Е г — Е сл и при выполнении условия (15.9) будет мало. Наоборот, если имеет место (15.11), рассматриваемое отношение будет порялка 1, а прн условии (15.! 0) — много больше 1. Таким образом, мы получаем обоснование критериев (15.9)-(15.11).
Существенно, что штарковское расщепление в слабых полях, т.е. когла выполняется условие (15.9), пропорционально квадрату напряженности поля. Так как они пропорциональны Р, то дополнительная энергия (15.15) пропорциональна Е'. Матричные элементы (15.16) отличны от нуля только для состояний различной четности и при гзэ = О, ж!. Из общих выражений для матричных элементов составляющей вектора по оси з вытекает (см. (14], с. 70), что квадраты модулей матричных элементов тгг, 'г, !гг, 'гы тггж, 'г-ь пропорциональны гпг, (7 4 1) — шг и,гг — т' соответственно. При подстановке в (15.15) это дает член, зависящий от 3 и для всех подуровней одинаковый, и член, пропорциональный ш', что и приводит к формулам (15.13) и (15.14).
По мере увеличения энергии атома расстояния между уровнями уменьшаются, следовательно, уменьшаются разности Е,„— Е л, а величина расщепления увеличивается. Прн этом нужно учитывать лишь влияние уровней противоположной четности со значениями У = Х, .7 ~ 1. Из выражения (15.!5) получается н критерий, позволяющий определить, является лн поле слабым нли сильным. Поле будет слабым, если )бгЕ! « |Ь',г — Е, г !, т. е. когда отношение 8 15.3.
Явление Штарна для атома водорода 413 ф 15.3. Явление Штарка дла атома водорода Для атома водорода во внешнем электрическом поле д порядка десятков тысяч В/см наблюдается линейное явление Штарка, представляющее аналогию явления Зеемана в сильных полях (рассмотренного в гл.
14, с. 389). Теорию штарковского расщепления уровней энергии и спектральных линий в таких полях можно построить, если пренебречь спин-орбитальным взаимодействием по сравнению с дополнительной энергией атома в электрическом поле, иначе говоря, если не учитывать тонкой структуры уровней энергии с заданным значением и, т.е. считать, что для свободного атома существует вырождение не только по т! и по т„но и по 1. Именно вырождение по 1, вследствие которого совпадают уровни с четными и с нечетными 1, и является причиной линейного явления Штарка.
Расщепляются все уровни атома водорода, кроме основного уровня 1в Я,~ с и = 1, для которого 1 = О, г г т| = 0 (и который лишь смещается), и в любом электрическом поле, даже неоднородном, сохраняется двукратное вырождение по гп„в соответствии с теоремой Крамерса (см. выше, э !5.1, с. 408). Рассмотрим расщепление уровня энергии атома водорода с заданным значением и > 1 в однородном электрическом поле, считая этот уровень первоначально вырожденным, в отсутствие В =сопя! поля, по 1, т~ и т,. Дополнительная энергия в электрическом поле не будет зависеть от т„ так как такое поле непосредственно не действует на спин электрона и может оказывать влияние на него только через спин-орбитальное взаимодействие; двукратное вырождение по т, будет сохраняться для всех подуровней штарковского расщепления и это расщепление можно рассчитывать, учитывая лишь орбитальное движение электрона.
Квантовое число тп определяющее проекцию орбитального механического момента в однородном электрическом поле (как обладающим аксиаль- Ряе.!5.2. ПаРаболические координаты ной симметрией, ср. с. 407), сохраняет свой смысл. Однако квантовое число 1 теряет свой смысл и можно вообще его не вводить, если решать квантовомеханическую задачу об атоме водорода (без учета спина) не в сферических координатах г, в и у (см. Рис,б.б, с. 175), как обычно, а в так называемых параболических координатах.
сопя! Параболические координаты 4, и, Р (см. Рис. 15.2) являются естественными координатами для решения задач с аксиальной симметрией. Если а качестве выделенной оси взять ось г, то параболические координаты легко связать со сферическими координатами г, О и Р Явление Штарка, получающееся при условии (15.9), представляет аналогию явления Зеемана в слабых полях. Отличие, однако, состоит в том, что явление Штарка в слабых полях квааратичио, тогда как явление Зеемана а слабых полях линейно. Глава 15. Явление Штарка 414 по формулам ( = г(! 4 соз В) = г Ч- х, 0 = г(! — соз В) = г — з, Зг = р.
(! 5.! 9) В результате квантовомеханического решения задачи об одноэлектронном атоме в параболических координатах получается (см., например, [131[, с. 155) обычное дуг выражение для энергии (6.13), Е = — —, где главное квантовое число и выражается г через параболические квантовые числа и~ и иг и магнитное орбитальное квантовое число т! по формуле п = и! + пг+ [тг[+ 1.
(15.20) Квантовое число тг определяет, как обычно, значение проекции орбитального механического момента Мр, — — й(, и принимает значения тг=О,ж!,ж2, .,ж(и — 1), (арб) т.е. [гпг[ = О, 1, 2,...,и — 1, (15. 21) что находится в согласии с тем, что наибольшее возможное значение 1 при заданном п равно п — 1. Квантовые числа и~ и иг являются характерными для решения задачи в параболических координатах и принимают значения: и! =0,1,2,...,и — 1, ( пг = 0,1,2,...,и — 1.
) (15.22) При заданном и получается, как легко проверить, иг состояний, отличающихся значениями тг, и, и пг, а при учете двух возможных при этом значе- ( 1 1~ ний т, т = —, — -) — 2и состояний, в согласии с (6.10), т. е. получается 2' 2) правильная степень вырождения уровня энергии с заданным значением п. Действительно, прн заданном значении [пз,! сумма и,-!и, равна и — [иг,! — 1, т.
е. получается и-[тг! разных состояний (и, = и — [т [-1, иг = 0; и, = и — [тг! — 2, иг — — ! и т д ). При [т|! и' 0 это число нужно еще умножить, учитывая вырождение, на 2. Общее число состояний находим, суммируя по [тг! = О, 1, 2,..., и — 1, что дает и 4 ~~> 2(и — [тг!) = и+ 2и(и — !) — и(и — !) = иг. Следует подчеркнуть, что эти и состояний иные, чем и состояний с заданными значениями и, ! и гио которые мы рассматривали в б 6.3 и которым соответствуют волновые функции (6.40), зависящие от координат г, В и !э. Состояниям с заданными по и, и ! соответствуют функции Ф(4,0, р) = У.,!-,!(ОУ.,!-я(0)ф-,(ю), (!5.23) являющиеся линейными комбинациями функций (6 40), относящихся к тому же значению ть но к разным значениям 1.