1626435900-2be340c6a244b99156a9dca9d508df44 (844337), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Энергия каждой из таких волн совпадает с энергией линейного гармонического осциллятора с частотой врв и амплитудой (,рр», Поэтому о полученном выше разложении часто говорят как о разложении на осцилляторы. Согласно (30.26) переменные (;Рр» удовлетворяют уравнениям движения линейного гармонического осциллятора (,Рр»+ ьр»Г,РР» = О. (30.27) 2л 2л 2л и= — п,п= — п,а= — и„, А Р» У Р У (30.28) где п„, и, п, — целые числа. Таким образом, число осцилляторов, для которых компоненты волнового вектора и„, й, а, заключены в интервалах Ьрг„, М , рза„ равно ~Э Лп= удийп удп,= —,,уай„уай Ьй,.
(30.29) Этим же выражением определяется число осцилляторов, для которых абсолютная величина волнового векторз заклрочена в интервале ргп, а направление — в элементе телесного угла 4(0. Эти уравнения играют роль уравнений движения для поля. Предположим для простоты, что объем (У имеет форму куба с ребром 7..
В этом случае компоненты вектора й пробегают дискретный ряд значений 348 взлимодайствиа »том» с электромагнитным полам [гл. пг )Тействительно, г)[г = г(я„г(л р[я, = )г' р[я р[О, поэтому )а )' ррл = —, )г' аРЙ г[О = — р г)м. (2л)* (2л)' (зо.зо) лл Поскольку г[псл (Р, 2 , есть число осцилляторов на единицу объема. Представление поля в виде суперпозиции плоских волн, т. е, разложение поля на осцилляторы, позволяет крайне просто перейти к квантовомеханическому описанию поля.
Зля этого необходимо перейти от классических уравнений движения для переменных поля к квантовомеханическим. Проще всего это сделать, подчинив канонически сопряженные переменные О, Р перестановочным соотно- шениям [Р, а1=РΠ— аР= — й. (зо.зП 8р» = доз» ( пр»+ — '), (зо.з2) где лр» — целые числа, определяющие число квантов в поле излучения, т. е. число фотонов с волновым вектором Й и поляризацией ер». Состояние поля излучения теперь задается перечислением чисел л,» для всех осцилляторов поля. Классическим амплитудам Ор» в квантовой теории будут соответствовать матрицы (Ор»)„л, элементы которых равны ° - ° / Ъ (л+1) Ол, »+р = Юл+и л = )/ 2ы (30.33) О„„ = О, а' + л ~ 1.
Используя (30.33), можно также получить (30.34) м)р (и,'»)„„„1/2 *Д )) ы)р (30. 35) все остальные матричные элементы (а,»)лл и (а'»)лл равны нулю. р» лл' 4. Вероятности радиационных переходов и принцип соответствия для спонтанного излучения. Теперь можно перейти к вычислению вероятностей радиационных переходов. Малость взаимодействия атома с полем излучения позволяет использовать теорию возмущений. В нулевом приближении (без учета взаимодействия) состояние системы атом + поле излучения определяется заданием состояния атома и чисел фотонов пр». Взаимодействие приводит к переходам атома из одного стационарного состояния в другое, Результат такого квантования в применении к гармоническому осциллятору хорошо известен. Собственные значения энергии осциллятора равны 349 8 ЗО) ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН сопровождающимся излучением или поглощением квантов света. Вероятность этих процессов опрелеляется матричными элементами ,И = ~ ф."й„ „ Н'ф, и .„,, Ут.
(зо.зб) Здесь ф„фь — атомные функции. с㠄— функции, описывающие состояние поля, Н' — взаимодействие атома с полем излучения, В атомной спектроскопии можно ограничиться нерелятивистскнм приближением, поэтому е Н' = — — рА, тс Е,.е ~ а„ее'е'+ а,ее Поэтому взаимодействие атомного электрона с электромагнитным полем можно записать в виде Н' = — — !Ееге ( а,„е'"' + а,„е -'"') . е (30.37) Это выражение легко обобщить на случай нескольких электронов, заменив р на ~~рг. Подставляя (30.37) в (30.36) н учитывая (30.35), получаем соответственно для излучения и поглощения фотона е А(ее, ьп+~ = (а'е), + вел <а! Ре' ") Ь> = = — — )г . е, <а ( ре'а' ! Ь>, (30.38) е ° /2пс'(л+!) й тс ыр е тает е„, = — — (а.,е )„, „,еее <Ь) ре'е' ~ а> = тс е ъ l 2лс'лв — — е е <Ь |!Ее!ее ( а> (30.39) ~пс озГ (мы опустили для простоты записи индексы ой у л,е).
Вероятность перехода а Ь, сопровождающегося излучением фотона с волновым вектором в интервале уг, ег-, г!а и поляризацией еее. согласно где !т †импул электрона. Матричные элементы а,е и а'„ отличны от нуля только для таких переходов, при которых квантовые числа л,„ уменьшаются или увеличиваются на единицу. Таким образом, в первом приближении может быть излучен или поглощен только олин фотон. Рассмотрим излучение (или поглощение) атомом фотона с частотой гве, волновым вектором уг и поляризацией еее. В разложении векторного потенциала А по плоским волнам этому фотону соответствует член 360 взлимодействие лтомл с элгктиоилгнитным полем [гл гх общей формуле теории возмущений равна [Л.
Л.] ~)[Уела= у! УИ.„. ьс +1 ! 6[Еь — Е +йоьь) —. (2л)' Наличие 6-функции в этом выражении обеспечивает сохранение энергии. Для того чтобы получить полную вероятность [в единицу времени) радиационного перехода а Ь, надо просуммировать эт„ выражение по о = 1, 2 и проинтегрировать по Нг 2л 'г'ЕЬ [ггаь = ~~~ ' ] ! Л(сь ьс .ь1 ! 6 [Еь — Еа + йгеь) 2 а ' (30.40) ь=ь ь 1 Обозначая — [Е,— Е,) через го и учитывая, что Ь(г[геь — Ьго) 1 й = — 6(го — го), получаем 2л Е ьь~ьйоь Р ~'.,ь= ~м — ~! Л4!'6(ьт,— ьь) г)0.
ь=ь ь Б (2лс)' 3 Интегрирование по сйоь из-за наличия в подынтегральном выражении 6-функции сводится к замене гоь на гя. Поэтому окончательно )' и,ь ь=ь ь где г)%'., — есть вероятность излучения фотона, поляризованного по еь„, в элемент телесного угла с)0: ))(", = „,, ! Е„<а ! Ре'"" ! Ь> ]*(и„+1) (О. (30А1) Здесь п,ь — среднее число световых квантов данной поляризации на осциллятор с волновым вектором л в интервале л, л + с(л.
Аналогично для вероятности поглощения получаем И"ь, = ~я~', ~ ЙФ',: г=ь ь с)(ь' =- ]е,ь<Ь]ре 'ье !а>!ьп ьаО 2лгьсьгль Умножив (30,4! ) на энергию кванта Ьго, получим интенсивность излучения в элементе телесного угла г)0 е'ыь Но —— .,—,, ! еьь <а ! ре™ ! Ь> !' (пьь -)-1) НО. Эта интенсивность согласно формуле [30.43) состоит из двух частей. Первая не зависит от ингенсявности радиации, имевшейся до излучения, и связана с так называемым спонтанным излучением атома. 351 и 30) излучение электгомхгнитных Вотн формула для интенсивности спонтанного излучения с точностью до замены е')вгя <а(оег"'(йу(' 1 )е ~/у;, 4 (30.
44) совпадает с классической формулой (30.8). Это является частным ,случаем общей связи между квантовомеханическими н классическими величинами, следующей нз принципа соответствия. В частном случае периодического движения с частотой га, который мы рассматриваем, этот принцип может быть сформулирован следующим образом: квадрат модуля матричного элемента )У,ь!' некоторой физической величины т = ! 7' ( соз 031 = — (Ра' с 1 И«е-ын) 1 2 (30. 45) 1-., 1 в классическом пределе переходит в †/' = — ~7')', где черта озна- 2 4 чает усреднение по времени '). Таким образом, принцип соответствия позволяет получить формулу для интенсивности спонтанного излучения непосредственным обобщением классической формулы.
Например, из формулы (30.11) для днпольного излучения следует 7= — ) <а(Р) г)>(', )Р'= (<а) Р) й))*. (30.46) Эти формулы легко получить также в дипольном приближении непосредственно из (30.41), просуммировав это выражение по 0 = 1, 2 и выполняя интегрирование по углзм аналогично тому, как это было сделано при выводе (30.12].
5. Вынужденное излучение и поглощение. Коэффициенты Эйнштейна. Если п,а+О, то к интенсивности спонтанного излучения добавляется член, пропорциональный ани Это дополнительное излучение носит название вынужденного или индуцированного. Существование индуцированного излучения было постулировано Эйнштейном еще до создания квантовой теории на основании термодинамических соображений (эти соображения станут понятными из дальнейшего).
Введем понятие спектральной интенсивности lая падаюцгего излучения с поляризацией еаю определив эту величину таким образом, чтобы (30.47) уж Ф<п 00 ') В общем случае'согласно принципу соответствия матричные элементы уеь а классическом пределе переходят э фурье-компоненты 7~ классической Еа Еь функции 7 (г), причем и = 852 взаимодействие лтомл с электгоилгнитным полем [гл.
гх давало энергию, падающую из телесного угла пи на 1 см' в 1 сек Эта величина связана со спектральной плотностью излучения соотношением 1 П и = — ~7, 2о. г с (зо 48) Определим также спектральную интенсивность 7» и спектральн~ю плотность и излучения безотносительно к его поляризации ктк суммы 7»= ~ 7„=7„+7„, и.= ч,, и,„=и,.+и,, (30.48) Сравнивая (30.48) и (30.50), получаем — зпас» и»= — I». Р (ЗО. 51) Согласно (30.51) вероятности поглощения х(%',"'"~ и индуцированного излучения ЫЖ'."" следующим образом связаны с вероятностью спонтанного излучения И87р" и спектральной интенсивностью падающего излучения ур». Н)г'.,""" (Ьа)=НГ~" (а, Ь) =ИК" (а, 5) — 'и У». (30.52) йо Из (30.4!), (30.52) следует важная особенность индуцированного излучения. Это излучение имеет ту же частоту, то же направление и ту же поляризацию, что и падающая радиация.
Если падающее излучение изотропно 7,»=/,„и — ~у,ю= — 7 =и, ! Г 4п сз»» с (ЗО. оЗ) то интегрирование (30.52) по всем углам дает Ф'г ' (Ьп) = %',""(а, Ь) = Если, кроме того, палающее излучение естественно поляризовано 1 1 7,„=7„= — у„и,.= и,.= —, и, 2 ' 2 (30.55) Из (30 47), (30.48) следует, что и, есть энергия в единице объема, или плотность энергии, приходящаяся на частотный интервал сна, Эту величину можно найти, умножив число осцилляторов поля на среднее число квантов, на осциллятор лр» и на энергию кванта лы йыа л~ г (2пс)',~ 353 6 30) излтчяниа электромагнитных волн то 4л все %',"'"'(Ь, а)= %'„"п(а, Ь)= Ф".,"(а, Ь) — 7 = С„в (30.56) )~те'= ~, )е' (" Ь).
1 (30. 57) о, о Аналогично (Тл, 4 = р Х (вел(Ь, а). 1 (30.58) о. Ь Запишем вероятности радиационных переходов между уровнями у, Т' в виде )к',е" (уу') = А... Х (р."п(уу')=В„,и„, ~ К""(у'у)=в,,и. ~ ф'си )е олп (30. 59) ф'поел (предполагается, что падающее на атом излучение изотропно и естественно поляризована). Величины А... В, и В ., носят назва.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
