1626435586-15eceb6ba43f688400eaeb312dc6d98a (844237), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Будут развиты последовательные алгоритмы идентификации систем или идентификации в реальком масштабе времени. Такой подход противопоставляется рассмотренным в предыдущих главах непоследовательным алгоритмам идентификации или идентификации вне контура регулирования. Во многих случаях (например, для многих зйдач теории управления) желательно в «скользящем времени» иметь последовательные оценки параметров системы по мере поступления данных о функционировании. По существу последовательное оценивание параметров систем — это не более чем задачи нелинейной фильтрации.
По вопросам линейной и нелинейной фильтрации имеется обширная. литература (см. ссылки в книгах Сейджа и Макса И27), Язвинского (61]); читатели, более глубоко интересующиеся теорией нелинейной фильтрации, могут обратиться к этим источникам. Ниже развивается только один подход к нелинейной фильтрации. Это метод инвариантного погружений, который применяется к решению ДТКЗ, связанных с идентификацией систем (см.
главу 3). Этот метод был выбран из-за его идейной простоты и большой гибкости. Сначала рассматривается более простой непрерывный случай. 7.2. НЕПРЕРЫВНЫЕ СИСТЕМЫ В этом разделе будет рассмотрен непрерывный вариант алгоритма инвариантного погружения. В целях упрощения обозначений и увеличения общности результатов исследование будет базироваться на общей постановке двухточечной краевой задачи, Необходимо найти НЕПРЕРЫВНЫЕ СИСТЕМЫ решение ДТКЗ: (7.2Л) (7.2.2) с условиями на концах траектории Х(~«) = Ах(««)+ Ь! Х(~г) = О.
(7.2.3) Зта формулировка охватывает все двухточечные краевые задачи иа главы 3. Основная идея инвариантного погружения состоит во включении частной задачи в более общую задачу. Если можно решить общую задачу,то частная эадачарешается автоматически. Удивительно, что часто легче решить более общую задачу. Мы обобщим ДТКЗ, т. е. осуществим инвариантное погружение задачи (7.2.1) — (7.2.3), допустив, что условие на конце траектории при « = ~г равно не О, а е. Другими словами, вместо Х(~~) = О будем писать й (~г) = е.
Кроме того, будем предполагать, что как величина с, так и момент ~г переменны. В частности, будут рассматриваться «соседние» траектории, одна из которых удовлетворяет условию й (1~) = с, а другая — условию й (Фг + е) = = е +Ьс. Относительно первой траектории допустим, что значение состояния системы на конце траектории имеет вид (7.2.4) х(йу) = г(с, йД.
Другими словами, функция г (е, ю~) отражает связь между условием на конце Х(«г) = с и финальным значением х(») при « = 8Р Если эта функция известна, то ДТКЗ легко можно было бы решить, интегрируя х и Х от конца траектории при условиях Х(1~) = с н х («~) = г (с, 8~). Но функция г (с, ~г) неизвестна, таким образом, необходимо иметь метод ее определения. Предположим, что имеется траектория, для которой при й = 1~ й (й~) = с и х (й~) = г (с, «~). Изменим слегка конечное значение 1~ на $г + е: Х(8» + е) = с + Ьс (7.2.$) Сгл. т инвАРиАнтное НОРРужение и соответственно х (Сс + е) = х (С,) + Ьх = г (с, СС) + Ьх, (7.2.6) где Ьх и Ьс имеют порядок 0 (е)*). Но, с другой стороны, х(Сс + е) = г (с + Ьс, Сс + э).
(7.2.7) Приравнивая правые части (7.2.6) и (7.2.7), получим г (с, С~) + Ьх = г (с + Ьс, С, + э). (7.2.8) Если раэложить правую часть уравнения (7.2.8) в ряд Тейлора относительно с и Сн получим дг(с, С ) дг(с, С ) Ьх = ' Ьс + ' ' е+ 0(е'). (7.2.9) дс дг, Обращаясь к уравнениям (7.2.1) и (7.2.2), видим, что Ьх = у [г (с, Сс), с, С с[ е + 0 (эъ) (7.2 10) Ьс = р[г(с, СС), с, С,[э+ 0(е'). (7.2.11) Так что уравнение (7.2.9) принимает эид дг (с, г ) 7 [г (с, Сс), с, Сс) э = д, р [г (с', Сс), с, Сс[ э + дг (с, С ) + дс э + 0 (э').
(7.2.12) Поделив (7.2.12) на е и устремляя э к нулю, получим уравнение в частных проиэводных, которому должна удовлетворять функция г(с, СС): дг [с, С ) дг(с, С ) у[г, с, с,[ = .' ' Р(г, с, сс)+ дс' ' . (7.2.13) дс С К сожалению,.неизвестно, как решать это уравнение в общем виде. Однако часто мы моя<ем аппроксимировать решение линейной функцией (7.2.14) г (с, Сс) = х (Сс) + Р(С,) с. с) 0 (сС) оээачаст, что Ию Я (ет)/АС ъ = О. НЕПРЕРЫВНЫЕ СИСТЕМЫ 7.2) Здесь х(~~) — решение для случая с = О, которое является решением исходной ДТКЗ при Х (~г) = О.
Другнме словами, предполагается, что г(с, 1Г) является оптимальным значением х (1~) (все еще неиавестным), если с = О, плюс линейная комбинация отклонений от О, характераауемых вектором с. Такая аппроксимация будет хорошей, если с — О, т. е. когда рассматривается траектория вблизи истинного оптимального значения. В дальнейшем будем предполагать, что е мало, пренебрегая членами порядка О (~ с [с) и выше. Если подставить (7.2Л4) в (7.2.13), получим у [х + Рс, с, Ц = Р[) (х + Рс, с, ~~) + х + Рс. (7.2Л5) Теперь разложим 7 н [) в ряд Тейлора относительно х, .с я (н ограничившнсь членами порядка с. Уравнение (7 2.15) преобразуется к виду дт(х, с, й ) 7(х, с,сг)+ '„' Ре = дх дР(», с, ю,) = Р[) (х, с, гу)+ Р ~ Рс+ х+.Рс.
(7,2Л6) дх Для того чтобы продолжить вывод, необходимо вместо 7 е 6 подставить функции, которые соответствуют ДТКЗ для идентификации систем. Ради простоты используем ДТКЗ вида (3.2.37) — (3.2.39); обобщение для ДТКЗ вида (3.2.63) — (3:2.65) получается непосредственно. Из (3.2.37) и (3.'2.38) функции 7 и р определятся как у(х, с, 1Д ((х, Гг) — С (х, ~р)ф~(1~)б (х, Е~)с, (7.2Л7) дит(х, С,) [)(х, с, 1~)= „~ тРт [х — 11 (х, Г~)[— дх д1т(х, с ) д[ст0(х, й ) еч (г ) От(х,! )] дх дх Отметим, что последнее слагаемое в выражении для [) можно опустить, так как оно второго порядка малости по е. Теперь, если подставить (7.2Л7) и (7.2Л8) в (7.2.16), получим следующее 'выражение, не содержащее членов инвАРиАнтное погРужение (гл.
т более высокого порядка малости, чем с: [(х, (Д вЂ” 6(х, (,)Чг„(()) 6*(х, (~)е+ (х' ~) р дх дьт(* 'с) д(~(х, й ) =Р ' Ч" '[з — Ь(х,ю,)] — Р ' ' с+ дх дх ] дЬ (х, С~) + Р=~ . ' Чг„'[х — Ь(х, (г)])Рс+х+Рс. дх ~ дх (7.2Л9) Так как эта формула должна быть справедлива для всех достаточно малых с, можно отдельно приравнять коэффициенты при членах нулевого и первого порядков малости по е.
В результате получим А д) т(х, ст) х =-[(х, Г~)+ Р ' Ч',,'((г)[з — Ь(х,(()], (7.2.20) тд$~(х, ~ ) ['= — С(х, ю~)Ч"„(ю~)6 (х, г,)+ Р ~ -]- д( (х, ю ) д ] дйт (х, к, ) + Р— Р— ~ ' Ч" ~((у) [е — Ь (х, (у)] Р. дх дх 1 дх (7.2.21) Зтот результат можно представить в несколько более знакомой форме, подставив Р = — Р. К тому же вспомним, что финальный момент гг переменный, и обозначим его просто й С этими иаменениями уравнения (7.2.20) и (7.2.21) перепишутся в виде х (8) - [ [х (Ф), (] + дйт [хр) Ц + Р(г) .
Ч",,'()) (з(() — Ь [х((), 8[], (7.2.22) д"*(0 Р (() .= С [х (Ю), Ю)[ Ч"и (() 6 [х (С), 8] + Р (Ю) + т д(т[й(0, Ц дх (0 «--'-'М-'~-Ре-Рю — '[ '!'"'"х'вн*ю- дх(0 дх (0 ~ дх (0 — Ь [х((), г[) Р(г). (7.2.23) нвпззгывнын систнмы хг] Начальные условия для уравнений (7.2.22), (7.2.23) можно получить иа условия (3.2.39), а именно. иа условия Х(го) = — Ч,,'!х (го) — )го,) (7 2 24) Если решить зто уравнение относительно х (го), получим (7.2.25) х (го) = )о,„ — Ч„,),(го). Простое сравнение уравнений (7.2.14) и (7.2.25) обнаружи- вает, что следует испольаовать начальные условия (7.2.26) «(го) = )гоее 1 (ео) Чзе.
(7.2.27) Читателю следует помнить, что прн переходе к уравнениям (7.2.22), (7.2.23) была сделана замена Р = — Р, которой объясняется отсутствие минуса в (7.2.27). Теперь можно проинтегрировать уравнения (7.2.22) и (7.2.23) в прямом времени с начальными условиями (7.226) и (7.2.27), чтобы получить последовательную оценку «состояния» х (1).
В случае постоянных параметров, который представляет наибольший интерес при идентификации систем, значение, получаемое в момент г = = гя представляет собой выход 'фильтра и сглаженную оценку. Следовательно, финальные значения оценок параметров идентичны аначениям, полученным в результате решения ДТКЗ непоследовательным методом. Для удобства результаты сведены в табл. 7.2.1. Уравнение (7.2.23) очень похоже на уравнение фильтра Калмана для дисперсии ошибки. Если 1, я и Ь вЂ” линейные функции х, то (7.2.23) есть просто фильтр Калмана.
Нетрудно показать (Сейдж и Мелса !127)), что уравнение (7.2.23) представляет собой первое приближение оценки условной дисперсии ошибки Че (г) таг (х (1)(Х (1)), если, как предполагается в главе 3,'начальное условие х(го) и входные шумы оо(8) и т (г) — гауссовские процессы. Пример 7.2.1. Для того чтобы продемонстрировать применение алгоритма к идентификации- систем, Чез з. и. сеадж. Дж. л. мелов инВАРиьнтнои погРужинии и'л. т 2(О Таблица 7.2Л Непрерыввые алгоритмы иввариавтиоге погружения Модель системы х (с) = й [х 0), с] + 6 [х (с), с] ы (с) (3.2.
5) Модель паблюдекий х (с) ь [х (с), с] + т (с) (3.2.6) Статистические характеристики Н(х(юсЦ=Р, чаг(х(соЦ=У Н (и (сЦ = й (т (сЦ = О, соч (и (с), и (тЦ = Ч' (с) бо (с — т), сот (ч (с), ч (тЦ = Чг, (с)'6, (с — с) Алгоритмы фильтрации хр) ([х(с), с]+ + Р и) - Ч'„ю(с)(х(с) — )ю ]х (с), С]] (7.2.22) д)с~ [х (с), 0 дх (с! Ураяяеяия лля дисперсии ошибка . Р(ю) а [х (ю), с] Ч'„(с) ат [х р), с]+ +РР) - + - Р(с)— д[ [х(с), с] д[(х(с), с] дх (с) дх (ю) д Г д)ют [х (с), с] ю — Р (ю)' = ' . Ч'„ю (с) (х (с) — )с [ л (с), сЦ Р (с) д (с) ( дх(б (7.2.23) Начальные условия х(са) =р„,, Р(со) =У, рассмотрим вадачу идентификации переменного параыетра в системе второго порядка (Детчменди и Шридхар ]30]). Система описывается моделью Вс - ив + юс (С), йа = .— 2ис — а (с) 4 — Зля + о е[п с + юс (с), непРВРывньи систвмы «.31 гдв а(1) = 2«-а11.
Уравнение наблюдаемого сигнала х(г) =*,(г) +Р(г). предположим, что форма а (1) известна, но неизвестно на- чальное значение и масштаб отсчета времени. Математи-. чески зто можно записать так: а(2) = Х»(2) = -ха(2) ха(0+ша(«), ха (Й) = — 4аа (4), где неизвестны начальныв условия для ха (4) и ха (С). До- пустим, что 11 = О, Р (0) а 1г"„= 1 и »Р = 1. Уравнения для оценок запишутся как х, (Г) = х, (2) + Р„ (Г) (х (а) — х, (2)], а» (1) = — 2х, (Ю) — х, (й) х, (Г) — Зха (й) + 5зш Г -]- +Р (1)] (1) — х (1)], ха(8) — х, (й) ха (й) + Р»1 (Ю) (г (й) — х1 (С)], ха(е) Р41 (4) ]х (1) — х1 (1)] и т" дх дх — 2х1 — х»ха — Зх» 1 — Х«Х» о 1]к, Ц= На рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
