1626435586-15eceb6ba43f688400eaeb312dc6d98a (844237), страница 32
Текст из файла (страница 32)
На рнс. 7.3.1 представлены результаты ДИСКРЕТНЫЕ СИСТЕМЫ вычислений для случая, когда ч =[ и У, = У = 20, Т = 0,002. Видно, что оценки векторе состояния и параметра д (Й) сходятся к истинным значениям быстрее, чем за один период собственных колебаний. Во многих практических задачах идентификации входной шум тт и ошибка намерений т коррелированы. Часто У2 ~ ига Р~ и $,у ь Ф-де Рис. 7.3.1. Совместное оцениаание траектории и параметров системы второго порадка с шумами. это свяаано со способом математического описания системы, а не с корреляцией реальных помех. Так бывает тогда, когда наблюдаются искаженные поыехами входные сигналы или когда наблюдаемые величины содержат коррелированный шум.
Прямой метод решения задачи с коррелированнымн помехами состоит в преобразовании исходной задачи к задаче с некоррелированными шумами. Рассмотрим инвавиантнов поггчжинии ~гл. т следующую модель формирования входного сигнала: х(й+ 1) = ~р [х(й), й[+ Г(й) » (й) (7.3.46) и модель наблюдений з(й) = Ь [х(й),й[+ ч(й). (7.3.47) Простоты ради предполагается, что Г не является функцией х (й). Как обычно, м(й) и ч (й) — дискретные белые шумы с нулевым средним с ковариационными матрицами Ч„(й) и Ч„(й). Однако теперь уже не предполагается, что ч (й) и тт (й) независимы, а именно: соч (м(й), ч (у)) = Ч„„(й) бк (й — у).
(7.3.48) Для того чтобы устранить корреляцию входного шума и ошибки измерений, перепишем (7.3.46) в следующем виде: х (й+ 1) = <р [х (й), й[+ + Г (й) ч (й) + Кр (й) [х (й) — Ь [х (й), й[ — ч (й)Ь (7 3 49) Теперь запишем (7.3.49) как х (й + 1) = <р' [х (й), й[ + м" (й) + К„(й) в (й), (7.3.50) где ~р' [х(й), й) = <р [х(й), й) — Кр(й) Ь [х(й), й) (7.3.51) и чг" (й) = Г (й) м (й) — К„(й) ч (й). (7.3.52) По-прежнему тч* (й) — белый шум с нулевым средним и матрицей ковариацни соч (м (й) ъ (уЦ вЂ” [Г (й) Чч (й) Г (й) 1 (й) Ччч(й) Кр (й) — Кг (й) Ч~~„(й) Гт (й) + Кг (й) Ч„(й) Кг~ (й)) бк (й — у).
(7.3.53) В общем случае ме (й) коррелировано с ч (й). Однако корреляцию между а*(й) и ч (й) можно устранить соответствующим выбором К„(й). Чтобы показать это, необходимо рассмотреть ковариацию между тче(й) и ч (й): сот (ъ'(й), ч(Ус)) = Г(й) Ч,„(й) — Кр(й) Чч(й). 229 дискввтиыв систимы 7.З) Таблица Дискретные алгоритмы инвариантного негруженая для норрелированных входных шумов в ошибок намерений Модель входного сигнала х (й+ 1) = гр [х (й), й[ + Г чг (й) (7.3.46) Модель наблюдений и (й) = Ь [х (й), й] + т (Уг) (7.3.47) Априорная статистика уох (уго) = )о У„(йо) = Ухг сот ( в(й), то (у)) У (й) Ьх (й — у'), уо р (й) =О, со1г(т(й), т(71)=У (й)Ь (й — у17 сот[чг(й), х(йо))=О, оьт[т(й), иг(у))=У (й)Ь (й — у) Алгоритм фильтрации х(й+ 1) = х(й+1 [й) + + К (й + 1) (в (й + 1) — Ь [ х (й + 1 [ й), й + 1 [) Одношаговое предсказание х(й+1[й) = = гр [х (й), й[ + Г У „ (й) У„о (й) (г (й) — Ь [ х (й), й[) Уравнение для коэффициента усиления дЬт [х(й+ 1 [й) й+ 1[ К (й + 1) = Р (й+ 1) У"ь (й+ 1 [ й) дх(й+ 1 [ й) Уравнение для априорной дисперсии ошибки Р (й + 1 [ й) = =Ос(й) Р(й)й'т(й) Г+ГУ (й) Гт — У (й) У-'(й) У„„(й) Гт Уравнение для дисперсии ошибки Р (й+ 1) Р (й+ 1 [ й)— — Р[й+1 [ й) Нт(й+ 1) [Н (Ус+ 1) Р(й+ 1 [й) Н (й+ 1) + -[- У„(й + 1 [ й) [ ' Н (й + 1) Р (й + 1 [ й) ннвАРиАнтяок погРужкник (ГЛ.
7 Т а б л и ц а 7.3.2 (иродолженяе) Матричные уравнения для передаточной функции н наблвь доинй р* (а) = ' — г у„„(а) у-„'(а [а — () де [х (А), )е] дЬ [ х()е), )е] дх (Й) ит т дт (/е) и (А + () у„-'(А + ( [ а) Н (А + () = д [ дЛт ["х(а+1(д), а+(] + ( ] а) ~ дх ((е+ ( [ й) дх (й х у„'(д+(]а)[ (А+ — ь[х(А+(]а), а+(])1 Начальные условия х(О)=р, ух(0)р Ч Если положить КР(й)=Г(й)У (й)У„-'(й), (7.3.54) то видно, что соч (что ()с), у ()о)) = 0 и получается эквивалентная исходной задача с некоррелированнымн шумами, для решения которой можно воспользоваться алгоритмом из табл.
7.3.1. В результате получаются алгоритмы решения задач с коррелированными шумами, которые сведены в табл. 7.3.2. Заметим, что при иавестном входном сигнале и ()с) в уравнении (7.3.50) одношаговый прогноз имеет вид х(/о+ 1[й) = ~р [х(Ус), Ус]+ КР()с) и()с). (7 3 55) Полученный результат можно распространить на случай, когда средние значения или дисперсии неизвестны (Сейдж и Гуса [1221; Сейдж [117]; Сейдж и Уэйкфилд [129]).
Существует практически неограниченное множество вариантов и комбинаций различных моделей и соответствующих им алгоритмов. Рассмотрим простые примеры применения этих идей к решению задач идентификации. Пример 7.3.2. Рассмотрим задачу идентификации обч екта, когда наблюдение входного сигнала искажено помехой. Модель входного сигнала х(/с+ 1) = юр [х()с), )с] + Г(я) че(/о), Дискгвтнык систкмы 7.33 23( уравнение наблюдений хс(й) =]с]х(й),й]+ т (й).
Кроме того, также наблюдается вс (Ус) —.— Н (й) ч (Ус) + тх (й). Здесь предполагается, что хт (й), т (й) и тх (й) — вваимонезависимые дискретные белые шумы о нулевыми средними и ковариационными матрицами Ч (й), Ч,(й) и Ч, (й) соответственно. Два наблюдаемых сигнала моя<но описать как одно наблюдение и (Ус) = ]с ]х (Ус), Ус] + ю (й), где (7) ~ хс(й) 1 ] «] (й) 7] ~ Ь]х(й) й] г .(й) ] Й (й) ч«(й) + чс (й) 1 Отметим, что теперь входной шум и ошибка намерений коррелированы.
Использование алгоритмов табл. 7.3.2 приводит к следующим уравнениям для оценок: х(й+ 1) =х(й+1]й)+К,(й+ 1)(,(й+ 1) — Цх(й),й]), х(Ус+1]й) = ~р ]х (7с), й] + К (й) х (й), где К,(й+1) Р(й+1) дй']х("+(]") "+1] Ч„- (й+1) дх (й + 1] й) Кс (й) = Г (Ус) Ча (Ус) Н (Ус) ]Ч. «(й) + Г (й) Чм (й) Г (й)] + 1 й ди]х(й), й] (й) дит(х(й), й] + дх (й) дх (й) + Г (Ус) Ч„(Ус) Гт (й) — Г (Ус) Ч,„(й) Нт (Ус) ]Н (Ус) Чк (й) Нт (й) + "+Ч,.(й)]- Н(й)Ч„(й)Г (й), Р(й+ 1) = = Р(Ус+ 1]Ус) — Р(Ус+1]й) Нт(й+ 1) [Н(Ус+ 1) Р(Ус+ 1]Ус) х Х Нт(Ус+ 1)+ Ч„,(Ус+ 1)] 'Н(й+ 1) Р(й+ 1] й), инВАРНАнтнои погРужкнив (гл.
т 232 причем Нт(й+ 1) т'„',(Ус+ 1)Н(й+ 1) = д Г дЫт [х (Ус + 1 [ Ус), Ус + Ц дх (А+([З) ! дх (А+([а) х У„', (Ус + 1) (х, (й + 1) — Ы [х (Ус + 1 «Ус), Ус + 1) )~. па- Эти алгоритмы применяются для идентификации раметров а и с линейной стохастичвской системы х (й + 1) = (1 +0,01 а) х (й) + 0,015«Р (Ус), гс (Ус) = сх (й) + юг(й), за(й) = и (й) -«-Р«(й). Истинные значения параметров: а = — 0,5, с = 0,8. но: Да- И = 25, $"„= 100, а (О) = 1, с (О) = 5, чаг а(0) = 010 Алгоритмы табл. 7.3.2 применялись для трех разных значений уаг (Р ): 16, 49 и 400.
Были получены отличные результаты, показанные на рис. 7.3.2 и 7.3.3. Как и ожидалось, реаультаты идентификации «лучшвз для низких значений у Пример 7.3.3. Задачу идентификации дисперсий стационарного входного шума одномерной линейной системы можно рассматривать как аадачу идентификации параметра а системы вида х(Ус+ 1) = Фх(У«) + Га'/1(й) ю(й), х (й) = Нх (Ус) + у (Ус), а (й + 1) = а (й), где Ж (ю (й)) = О, а чаг (ш (й)) = 1. Величина а (й) соответствует неизвестной дисперсии и (й), а факт постоянства дисперсии описывается уравнением а(й + 1) = а(й), ДИСКРВТНИ7Б СИСТВМЫ 7.33 аЮ Рнс.
7.3.2. Идентификация с ( Рю, = 16; — —.— У~ = 400). сеЮ ХЮ Рис. 7Л.З. Идентифнаацняа( — Ис, = 76; — — — У»„= 49, — — — Ус, = 400), инвагиантнок поттужиник сгл. т Обращение к табл. 7.3.1 приводит к плохим результатам, так как, положив Р,„(0) = О, мы приходим к тому, что Р,„(й) = 0 для всех й.
Оценка а имеет вид а (й + 1) = а (й) + Р, (й + 1) Нт [в (й + 1) — Нх (й + 1 ~ й)) и, следовательно, алгоритм не сходится к истинному зна- чению а. Однако если ввести обозначение - ь (й) (й) = , (й), то уравнения модели перепишутся как у(й+ 1) = Фу(й)+ Гсз(й), в(й) = На'ь(й)у(й) + и(й), а(й+ 1) = а(й) и алгоритмы для такой модели работают превосходно. Таким образом, мы приходим к важному выводу о том, что в задачах идентификации выбор модели имеет существеннейшее значение, особенно если конструирование алгоритмов идентификации связано с аппроксимацией.
7.4. ВЫВОДЫ В этой главе рассмотрен метод инвариантного погружения, который применен к решению двухточечных краевых задач, возникающих в связи с идентификацией систем. Получен ряд последовательных алгоритмов оценивания состояний и параметров. Для того чтобы подчеркнуть раанообразие рассмотренных вопросов и продемонстрировать применение теории, приведено несколько примеров. В этой небольшой книге не нашло места упоминание о многих методах для идентификации систем как в реальном масштабе времени, так и вне контура регулирования.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
