1626435586-15eceb6ba43f688400eaeb312dc6d98a (844237), страница 27
Текст из файла (страница 27)
8.2.2. Оценизание параметра а (В) ( — истинное значение, — о — а — кзазилннеаризсзанная оценка). с истинным значением параметра а(() на графике, изображенном на рис. 6.2.2. На графиках рис. 6.2.3 сопоставляются отклики модели н системы.
Для широкого класса систем параметры обычно стационарной природы подвержены внешним случайным возмущениям вроде порывов ветра, колебаний нагрузки и т. и. Для того чтобы учесть зги возмущения, можно воспользоваться квазилннеаризацией. Рассмотрим линейную систему второго порядка, у которой один параметр чувствителен к внешним возмущениям.
Возмущение появляется в момент времени в . Запись процесса изображена на рис. 6.2.4. С помощью изложенного выше метода слежения по закнсям реализаций определяются изменения параметра. НЕПРЕРЫВНЫЕ СИСТЕМЫ в.з1 489 Рис. 6.2.3. Отклик нестационарной системы ( — ю — о — истинное значение, — х — х оценка). Й9,ж ~л иь у ми Майа 1 'Ь Рис. 6.2.4. Запись сигналов системы второго порядка со скачко- образно меняющимся параметром а.
згл. е КВАЗИЛИНКАРИЗАЦИЯ Получены прекрасные результаты, которые отражены на рис. 6.2.5. Интересно оценить предельные возможности по детектированию резких изменений параметров. Рассматриваемая система подвержена влиянию резко меняющихся ьь ь Ю ь ь. , ьь ' ь1 ~~ь В В г Я В В а Вреня Рис. 6.2,6. Изменение параметра ( истинноевначение, асс оценка). Р 2Е ,„ьь В В 8 Р В В /В Вреня Рис. 6.2.6.
Исследование резких изменений ( истинное зна- чение, о а оценка). возмущений и соответствующие изменения параметра описываются последовательностью прямоугольных импульсов переменной ширины, изображенных на рис. 6.2.6. Из рисунка видно, что возмущения, длительность которых составляет около 2 сек., вызывают хорошо заметные изменения параметра. ИИ дискгвтныв системы ел) 6.3.
ДИСКРЕТНЫЕ СИСТЕМЫ В атом разделе рассматривается алгоритм квазилинеаризации для дискретных систем. Необходимо найти траек-' торию 7 (Й), Й (:Е (Йю Йг), которая удовлетворяет нелинейному неавтономному У-мерному разностному уравнению 7(Й+ 1) = Ф (7(Й) Й) (6.3Л) и набору линейных ограничений, ааданных в форме ра- венств: С (Й;) 'у (Й;) = Ь; (у = 1, 2,..., и). (6.3.2) Предположим, что Йт упорядочены по возрастанию, т. е.
Йт ( Й„' если )' ( (, а условия (6.3.2) согласованы с единственным решением уравнения (6.3.1). Выберем начальную траекторию у» (Й), которой аппроксимируется решение исходной МТКЗ, Снова воспользуемся разложением Тейлора и, ограничившись линейными членами разложения, получим „гы(Й+1), у(Й) Й)+ дФ(т (а) д) уы(Й),д(Й)) дт~ (в) (6.3.3) Если преобразовать это выражение, то будет видно, что для йового приближения у'+' (Й) получено линейное неавтономное неоднородное разностное уравнение ыт(Й) дй(т (д),д) мг(Й)+ дт'(ь) Легко показать, что решение этого уравнения имеет вид (Й)=а+ (Й)Т "(Й,)+р (Й), (6.3.3) где Йги(Й) является решением разностного уравнения и + (Й + 1) =- д'Р(т,(")') а + (Й) (6.3.6) д~'(ь) с начальным условием Фы (Й,) = 1, а р'+' (Й) — решение (гл.
э 1 квазилинвавизация 192 уравнения р " (й) = р (у1(й), Ь) — эч ", "' " (у1(й) — р (й)) (6.3.7) дч~ (а) с начальным условием рих (й,) = О. И снова мы видим, что задача построения у1ы (й) сведена к решению двух простых разностных уравнений с заданными начальными условиями. Единственный параметр. задачи р'ы (й ). Необходимо выбрать у"' (й,) таким, чтобы удовлетворить условиям (6.3.2). Для этого подставим в условия (6.3.2) выражение (6.3.5) С(й) [1эгы(й)) рмт(й )+рок(Ц)] = Ь; () = 1,2,...,т).
(6.3.8) Последнее выражение можно переписать в форме системы т линейных алгебраических уравнений (С(Ца-(Ь)))у-(Ь,) =-Ь(Ь)) — С(й))р) (й,.) () = 1, 2,... т). Или в векторной форме Ау'+т (Ьо) = Ь (6.3.9) Решение (6.3.9) имеет вид у'+1 (1со) = А ~Ь (6.3 10 где ь (ь1) — с (э,) р'+'(йб Ь Ь(." ) С(Ьэ)р~ (ЬО С (М) (У'1 ' (а~) с (аэ) и~+1 (ай ь(ь ) — с(ь„) р'+'(ь ) С (й ) ()4+1 (ь ) (6.3 11) Отметин, что выражения для А и.
Ь. аналогичны выражениям предыдущего раздела с заменой непрерывного времени на дискретное. Решая уравнение (6.3.9), находим начальное условие у'+' (й ), по которому можно определить новое приближение к истинной траектории движения. Таким образом, ДИСКРЕТНЫЕ СИСТЕМЫ имеем итеративную процедуру для решения МТКЗ в дискретной форме (6.3.1), (6.3.2).
Обсуждение вопросов сходпмости, а также блок-схему алгоритма читатель может найти в предыдущем-разделе. Применение двскретпого алгоритма квазилинеаризации к решению ДТКЗ, связанной с задачей идентификации систем, не рассматривается, так как практически совпадает со схемой решения, рассмотренной для непрерывных систем в предыдущем разделе, так же, как и непосредственное применение алгоритма квазилинеаризации к идентификации систем при отсутствии входного шума.
В дискретном варианте аадачи вместо непрерывных моментов времени 8г в уравнениях (6.2.35) — (6.2.37) следует использовать дискретные моменты. К сожалению, в дискретном случае возникают те же проблемы сходимости, что и з непрерывном. Если алгоритм сходится, сходимость является квадратической в достаточно быстрой. Однако обеспечить сходимость можно только выбором хорошего начального приближения. Один из подходов к выбору начального приближения состоит в использовании градиентных методов главы 4, так как градиентные методы позволяют при уйеренноле расходе машинного времени и плохом начальном приближении выходить в близкую окрестность истинной траектории.
Другой подход, который сводится к использованию дифференциальной или разностной аппроксимации, будет рассматриваться в следующем разделе. Пример 6.3.1. В этом примере алгоритм квазилинеаризации будет использован для оценки дискретной передаточной функции линейной системы по данным нормальной эксплуатации (Шульц, (135]). Рассмотрим задачу идентификации системы, изображенной на рис. 6.3.1. Ошибка измерений входного сигнала ш (й) равна нулю, а модель описывается дискретной передаточной функцией Р (г)/Р (г), где е"е'(г) = аз + а,г '+ ° ° ° + а х-'", Р (г) = 1 + Ьгг е + е ° + Ь„г ".
Необходимо идентифицировать постоянные параметры ап Ьо Предполагается, что порядок системы известен, т. е. известны ел и к, причем т ~ и. Удобно считать начальные 7 э. и, сеалж, дж. л, меесе ~гл. в КВАЗИЛИИВАРИЗАЦИЯ условия нулевыми. Желательно определить значения а, в Ьо доставляющие минимум функции штрафа для К-ша- гового процесса . у =,Я~ ев(й), е(й) = у (й) — г(й).
Для этого строится итеративная процедура с использованием квазилинеариаации. Минимизация проводится при Поиеха Рве. 6.ЗЛ. Структурная схема вадачв аяеатвфакаяаа: враиер 6ЛЛ. учете ограничения, заданного в форме равенства (рис 6.3.1) р„(е) я (*) ю (в) ЕЦл) или у (г) Р (х) = и> (г) Л (г). является ливейвой ап- 1)-м шаге алгоритма. В этом соотношении у"" (г) проксимацией у (х) на (Ф+ Найдем решение уяех (г) и, вычтя г (г), определим Для того, чтобы получить нелинейное уравнение модели, произведем квазилинеаризацию относительно Ф-й итерации траектории у" (г) А)" (г) + у" (г) [З"+' (г) — Й" (г)) + + Ф (г) [у"+',(г) — у"„ (г)[ = )Ч"+' (г) и (г).
ДИСКРЕТНЫЕ СИСТЕМЫ 995 В.зг У (В) Рм(г) = —" рл (В) ура ( ) Е(В) рМ ( ) так что уравнение' ошибки примет вид е"~' (г) = Ф"~' (г) РВ'" (г) + уе (г) — ху"+' (г) );",(г) — г (г) Кроме того, определим т Р = ]аВ, а„..., а, — Ье — ЬВ,..., — Ь„], Е = ]УУ' (й), И'" ( — 1), ... ..., И~ (й — т), Р (Й вЂ” 1), Р (й — 2), ..., Г~ (7с — л)]т, так что обратное г-преобразование уравеенвя ошибки ел+' (г) дает В"+~ (й) = ОВР"~~+ у". (Ь) — у".
(Ь) — г (Ь). Теперь, располагая простым выражевием для ошибки, можно подставить его в функцию штрафа и, минимивируя ее по Ра+', получить Р"+' = Е ' ~ ] г" Я + г (Ь) — у~ (Ь)] (1м ВВЕ г В=ХолГ Процедура решения задачи идентификации относительно проста. Уравнения, определяющие И'"(г) и У~ (г), вспольауются для получения векторов Р и (1„. Эти векторы используются в итеративной схеме пересчета по дапным о выходном сигнале объекта и последней итерации тэ квааилинеариаовапное значение ошибки на ()у + 1)-й итерации ел+'(г) = уа+' (г) — г(г) = лот+1 (,) РЯ+В (г) Ч и ю(г)+ ~1 — ' ~у~(г) г(,). Р~ (В) "(.
~ -" Теперь . удобно ввести (гл. з нвазилиниАгизАпия (2) (3) Применение обычного вариационного исчисления (Сейдж, И16)) показывает, что оптимальный вектор параметров Р определяется решением системы, состоящей из разностных уравнений (2), (3), н сопряженной системы уравнений Х„(пТ) =, 3,„((п + 1) Т) + К [у, (пТ) — уа (и )), д) [уз (пТ), Р) ду (аТ) (4) йа (ПТ) = ' ' ) ((п+ 1) Т)+ Хр((и+ 1) Т).
(5) С условиями на концах Х„()))Т) = 1,е()УТ) = У.,(О) = ).„(6) = О. (6) Уравнения (2) — (6) представляют собой двухточечную нелинейную краевую задачу, для решения которой удобно модели. Шульцу [135)принадлежит машинная реализация етого метода, которая является переложением алгоритма квазилинеаризации для задачи, предложенной Стейглпцем и Мак Брайдом [139) и решенной имн градиентным методом. Пример 6.3.2. Продемонстрируем теперь применение дискретных алгоритмов квазилинеаризации к идентификации параметров систем. Желательно определить цифровой сигнал уа ()), приближающий аналоговый сигнал у, ()), где у, (г) и уз (() — зто т-векторы, описывающие выход системы при заданном входном сигнале.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
