1626435586-15eceb6ba43f688400eaeb312dc6d98a (844237), страница 26
Текст из файла (страница 26)
(6.2.23) Г 1'о(т1(1),1! Ч р1" (1) = ~ — -";--"--~— ~ г,(т1(1),1) ~ — У„'(1.),1' "оо (11) ' ()" (11) 1 — У~о (1о) (А р ) ! ю (11) (6.2.26) (6.2.27) ! ! 1з1+1 (1) является 2У Х 2Л1-матрицей, а р1А' (() — 2Ф-мерным вцртором. Представим решения этих уравнений в виде Г а'„"(1) ! а'„'1(1) ! а1+' (1) = ~ -------.1--- — — ~, (6.2.24) оа1о-о (1) оа1+~ р) Г Р1"(1) ! р',"(6 где все ЙА1 (1) являются оог Х )о'-матрицами, а р1+1 (г) и р' (1) — )1'-векторами. Матрицы Л и Ь в уравнении (6.2 12) определяются формулами 181 НЕПРЕРЫВНЫЕ СИСТЕМЫ 6.21 Теперь можно получить начальное условие у (1,), используя уравнение (6.2Л2), а потом с поьющью (6.2Л) или (6.2.5) в зависимости от ограничений на объем памяти построить приближение к траектории.
Во многих практических задачах идентификации матрица дГ/ду содержит много нулевых элементов, поэтому алгоритмы решения уравнений (6.2.22) и (6.2.23) можно существенно упростить. Существует много вариантов рассматриваемой задачи, в которых можно использовать специфику' уравнений задачи. Вместо того, чтобы обсуждать эти варианты в рамках общей постановки задачи, рассмотрим один частный случай, в котором можно добиться значительного уменьшения объема вычислений.
Предложенный выше алгоритм приводит к серьезным вычислительным трудностям, если система описывается уравнениями высокого порядка. Если рассматривается модель Л-го порядка, то для того, чтобы из (6.2.22) полу-' чить 21Ы2 (1), необходимо решить аз дифференциальных уравнений. Следует помнить о том, что каждый новый идентифицируемый параметр повьппает порядок модели системы по меньшей мерв на единицу. Например, систему пятого порядка с пятью неизвестными параметрами можно было бы описать моделью 10-го порядка так, что уравнение' (6.2.22) свелось бы к системе 400 дифференциальных уравнений первого порядка. В этом случае трудоем, кость процесса вычислений якобиэна дГ/ду становится решающей.
Другая трудность состоит в необходимости запоминания непрерывных наблюдений е (1), 12 ~( 1~( 1ь Дискретные реализации получают с выхода объекта чаще, чем непрерывные. Можно сразу же поставить задачу идентификации как дискретную многоточечную краевую задачу, избежав использования принципа максимума и связанного с этим увеличения размерности. К сожалению, для того, чтобы такая аппроксимация была корректной, необходимо, чтобы входной шум 2Р был пренебрежимо мал, впрочем, это ограничение не является слишком серьезньси и метод может быть достаточно эффективным. Предположим, что система, как и раньше, описывается системойЛдифференциальных уравнений первого порядка (6.2.28) квлзилинклгизлция (82 В эту систему по-прежнему входят уравнения для неизвестных параметров.
Сначала предположим, что имеется т )) У линейных наблюдений с помехой: х (г;) = С (г)) х (г;) + ч Я, ) = 1, 2,..., т, (6.2.29) где (~ Е= [Гм гг[, а ч (Гт). — независимые значения шума с нулевым средним и дисперсией чаг (ч (гт)) = У„((~).
Основываясь на этих наблюдениях, желательно найти оценку траектории х (Г), Гэ ~( г' ~( Гг, которая минимизирует сумму средних квадратов невязок, т. е. показатель качества Х = „Я [в(г)) — С(г;) х ЯД<,>. (6.2.30) )-г Матрица весов (~ может быть проиавольной неотрицательно определенной матрицей, хотя для того, чтобы получить оценку по методу максимума апостериорной вероятности, мы будем часто полагать Я (г,) = ч„((1). Отметим, что из-за отсутствия входного шума оценка траектории х (г) определяется заданием начального условия х (г ). Можно считать ~ функцией номера итерации С хотя в книге это не сделано.
И снова допустим, что начальная оценка траектории х'(Г) известна, необходимо определить новую оценку хеи(г), которой соответствовало бы меньшее значение функционала Х. Используя изложенный выше метод с р (г) = х (г) и 1 — Г, получим х'+'(() = Ивт(г)х'+'((,)+ р'+'(г). (6.2.31) Здесь Ииг (Г) — решение уравнения И+ (г) = - ' И+ (г)з И (го)=1 (6.2.32) дх'(О а р'+' (г) — решение уравнения рвн(г) =1[х'(г),г[ — [ ( ' [ [х'(г) — ргы(()[ (6.2.33) дх~ (О с начальным условием рьа (г,) = О. Отметим, что на этот раз И (г) имеет порядок Ф х Лг, а не 2)У х 2У.
Задача нкпгвгывнык снсткмы $88 э.э1 состоит в подборе такого х'+' (г,), которое минимиаирует функционал (6.2.30). Если подставить хот (~) иэ (6.2.31) в Х, получим Х =,'Я ~х(ч) — С(М,) (Я' Р;)х' '(йа) + Р' Рд)1 50к). ~;Е (4)'"(Г;)]тст(ю,) ОРОС(юДа'+ РД)х+ Р,) э 1=1 = у1 (ээ"'(г')) С (г')()(г)(э(6) — С(~у)р'"(Я.
(6.2.34) ь=1 Теперь определим т» Мы' = ~ (йгы(~))т Сг(гэ) () (г) С (~,) Пэ 1Р) (6.2.33) 11+1 = ~~~~~ (Ймч(Е~))тСг(й ) Я(Е~) (х(~~) — С(Е )р+1(Е)]. (6.2.36) В реэультате уравнение (6.2.34) преобраэуется к виду Мы1хгм(1 ) у+', откуда находим, что Ххи Иэ) = М"'Г' ~"' (6.2.37) Зная хэ+' (гэ), можно определить всю траекторию х*+' (~) и повторять вычисления, пока очередные приближения не перестанут сильно меняться.
Одна иэ вычислительных трудностей, связанных с этим методом, состоит в вырожденности (или плохой обусловленности) матрицы М'~'. Это чаще всего бывает на первых шагах алгоритма, когда очередное приближение к траектории все еще не является хорошей оценкой решения. Приравняв нулю частную нроиаводную от Х по хот (гэ), найдем, что (86 непРВРывньж системы В,23 к которой и применяется последний алгоритм квазилинеаризации. В этом разделе метод квазилинеаризации применяется для решения задач идентификации непрерывных систем.
В дальнейшем те же методы распространяются на дискретные системы. С точки зрения практических приложений интересные аадачи часто оказываются промежуточными Рпс. 6.2Л. Блок-схема системы; пример 6.2Л. между дискретными и непрерывными. Во всяком случае обычно реализации наблюдаемых сигналов дискретны по времени, а модели систем чаще всего непрерывны. Пример 6.2Л. Рассмотрим систему, иаображенную на рнс. 6.2Л. Модель системы имеет вид х = А (с) х+ и (с), где из физической природы объекта известно, что ( ее(с) 1' () ( Всп(0,8пс)1' 0 А(с) = с — 4 — (а+ЬВ(ос)~' Необходимо выбрать такие значения параметров а и Ь, чтобы отклик модели был близок к отклику реальной динамической системы.
Для решения этой задачи воспользуемся методом кваэилинеарнзации. Запишем расширенную КВАЗИЛИНЙАРИЗАПИЯ систему уравнений: Ю1 = Уз(~), Щ = — 421(() — Уз~) Ув(() + з(п(0,8Я)), хз = ха(1)~ фа = хз(1) — хз(1)~ ззз = О. Линеаризуя эту систему относительно траектории хх для (Ж + 1)-го приближения, получим следующую линейную систему д)вфференциальных уравнений с переменными коэффициентами: Ф (() = И (() У (() + г ((), г (1) = У(С) = В(1) = Интервал наблюдения был выбран равным 10 сок.
Имеется 10 равноотстоящих измерений отклика реальной системы, так что Х = ~ (х1 (() — 11 (())з. Решение быстро сходитВ=1 ся к значениям Уз(0) = б = 3,999989, 11(0) = Ь = 2,000535. На самом деле параметры объекта имеют следующие значения: а = 4, 000000, Ь = 2,000000. ЗЖ+1 (1) 1 З'~+1 (в) ем+1 0) ам+1 (0 зла1 (,) О Уз" (1) Зз" (1)+ з1в (О,З лв) О О 1 ΠΠΠ— 4 — х~~ (1) — хв~ (1) О О О О О 1 ΠΠΠ— 1 О 1 нвпгвгывньш систвмы 187 з.21 Сопоставление этих результатов дает воэможность судить о точности метода.
Отметим, что в этом примере потребовалась большая априорная информация об объекте. Кроме того, переменные коэффициенты должны были удовлетворять простым дифференциальным уравнениям. Теперь будут исследованы более общие способы идентификации нестационарных систем. Система описывается уравнением вида х = 1 [х (1), и (г), р (1), 1), которое для небольших интервалов времени можно аппрок- симировать уравнением Затем на каждом из этих небольших интервалов времени идентифицируется постоянный вектор параметров Ь.
Объем вычислений можно уменьшить, используя результаты вычислений для определения текущего значения Ь. Система, изображенная на рис. 6.2.1, была идентифицирована с использованием такого «следящего» метода. Система описывается следующими уравнениями: У~=йм й, = — — 41, — ий, + зш (0,8 я1). Параметр а предполагается неизменяющимся для временных интервалов продолжительностью 0,1 сев.
Соответствующее дифференциальное уравнение а = 0 добавляется к основным уравнениям модели, полученная система третьего порядка линеаризуется относительно траектории (з"', ак), что приводит к дифференциальному уравнению для следующего, (Ф + 1)-го приближения к истинной траектории г з(1) =В(1)з(1)+ (1), (гл. в КВАЗИЛИНЕАРИЗАЦИЯ где г(Ю) = о Узнав" + в!п (0,8нт) о Ф и(() = о ( о — 4 — увн — ув о о о В(() = Алгоритм квазилинеаризации применяется к втой системе на временных промежутках вида (т, т + О, 1), где т = 0; 0,1; 0,2; ...; 10. Результаты идентификации сравниваются 4 Йюгя Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
