1626435586-15eceb6ba43f688400eaeb312dc6d98a (844237), страница 28

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 28)

Предполагается, что аналоговый сигнал у, ()), так же как и входной сигнал, полностью известны. Форма цифрового представления выходного сигнала предполагается известной с точностью до р-мерного вектора Р неизвестных параметров. Для определения Р необходимо минимизировать функцию штрафа к-т ,У= '",,1у.(йт)- у,(йТЩ, при ограничениях уа ((и + 1) Т) = 1 [уз (пТ), Р), Р ((и -)- 1) Т) = Р (иТ). лис кгвтнык спотк мы е.е3 было бы воспользоваться методом квазилинеаризации.

Запишем уравнение для нового 2 (т + р)-мерного вектора х ((и+ 1) Т) = ц [х (иТ)) (7) при дополнительных условиях <С; ()Т), х (уТ)> = ЬДТ) (1 = О, Л; 1 = 1, 2,..., и + р), (8) где С и х — зто 2 (т + р)-мерные векторы, а через <, ) обозначено внутреннее произведение векторов. Если х' (пТ) — зто начальное приближение решения уравнения (7), то (Х + 1)-е приближение связано с У-м следующим рекуррентным соотношением: хо ы((п + 1) Т) = = 9 (х" (пТ)) + У(9 (хи (пТ))) (хк Ы(пТ) — хи (пТ)!, (9) где Х вЂ” якобиан, у которого на (1, 7)-м месте стоит частная производная дд,/дхя Применение этого метода позволяет построить «наилучшеее дискретное представление непрерывной системы.

Так как зта наилучшая аппроксимация является функцией Ряс. 6.3.2. Система с обратной связью в яеавяейяостью. аналогового входа н переменных параметров, для непрерывной оптимиаации вектора параметров Р в реальном масштабе времени использование адаптивной обратной связи еще больше повысило бы точность дискретной модели. Рассмотрим нелинейную систему, блок-схема которой иаображена на рис. 6.3.2. Для моделирования непрерывного интегратора можно было бы испольэовать суммирование по трем точкам. В этом случае усиление до и после нелинейности подстраивается процедурой дискретной квазвлинеаризации.

Здесь используется другой подход, который приводит к менее точной аппроксимации, но зато [гл. е квлзилнниАРнзлция снижает порядок дискретной системы. Операция интегрирования 1/л заменяется прямоугольным дискретным Рас. 6.3.3. Дискретиая модель системы рис. 6.3.2. интегрированием (суммированием), а л-преобразование дискретного эквивалента инерционного звена имеет вид 5 5Тс! с+2 1 е ггс-г Параметры усиления р, и р, вводятся до и после нелинейности.

В результате получается дискретная модель, изображенная на рис. 6.3.3. Входной сигнал представляет Рис. 6.3А. Рсеультаты аычислеиий для крамера 6.3.2 Рис. 6.3.5. Результаты аычис- лелай для и~ ияера 6.3.2. собой скачок амплитуды А. Таким образом, дискретная модель описывается следующей системой рааностных уравнений (Л = 1): уг ((п + 1) Т) = у, (и Т) + Тр, ((и + 1) Т) (у, ((и + 1) Т) + + О, 01 у' ,((гг + 1) Т)), у, ((и + 1) Т) = — 5 Тр, (пТ) у, (пТ) + е-'" у (пТ) + +5Тр,(пТ)А, р, ((и + 1) Т) = р, (п Т), рс((п + 1) Т) = р (п.Т). е.м газностная и диффвгннциальнля лппгоксимация сев 3атем выписывается сопряженная система разностных уравнений и расширенная система рааностных уравнений квазилинеариауется. На рис.

6.3.4 покаааны результаты вычислений оптимальных аначений параметров р, и р . На рис. 6.3.5 иаображена эависимость оптимальных значений параметров от амплитуды скачка. С.4. РАЗНОСТНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ Несмотря на то, что методы рааностной или дифференциальной аппроксимации имеют несколько серьезных ограничений, при необходимости их моясно использоватд для вычисления начального приближения-для процедуры квааилинеариаации или процедуры градиентного типа. Алгоритм является неитеративным, решение получается в первой ясе итерации.

Рассмотрим сначала дискретный вариант алгоритма, известный под названием рааностной аппроксимации, а затем займемся непрерывным случаем дифференциальной аппроксимации. Алгоритм весьма прост и неоднократно рассматривался многими авторами, однако обсцеприанано, что основным соадателем алгоритма в его современной трактовке является Ричард Беллман. Предположим, что система описывается Х-мерной дискретной моделью х(й+ 1) = ср(х(й), а, й) + тт(й), (6.4Л) где а — т-мерный вектор неизвестных постоянных параметров, а е (1с) — входной шум. Компоненты вектор- функции ср (х (й), а, й) имеют вид (ср(х(й), а, 1с)); = яс (а)й;(х„й), (6.4.2) где И и )с — конечномерные векторы.

Такое ограничение вида ср не является серьезным, так как охватывает все известные входные сигналы, в том числе а1п (ах(й)1 или ехр ( — ах (й)). К сожалению, необходимо также предположить, что вектор входного сигнала х(й) известен для всех й на некоторого конечного интервала (й, йс). Поаже мы обсудим, квьзилннкАРИЗАцня игл. а как это требование может быть ослаблено, но пока будем предполагать, что все необходимые данные имеются. Мы хотим подобрать такой вектор параметров а, чтобы минимизировать следующий показатель качества: У=,'5~ ]х(й+1) — ф[х(й), а, Ц]~див (6.4.3) где () (й) — произвольная положительно определенная матрица.

Часто будем выбирать Щй) = т' ' (й) для того, чтобы получить оценку по методу максимума апостериорной вероятности. Эту оптимальную задачу можно решить непосредственно, приравняв частную производную Х по а нулю. При Я = 1 имеем «~-~ Х и'-э-"~-'-к ~ я ' и= з=м да к~-~ "~~ зф [" („)' "' ] х(й+1). (6.4.4) з-м д а Вследствие того, что ф имеет вид (6.4.2), уравнение (6.4.4) представляет собой систему т алгебраических уравнений, решение которой определяет искомый вектор параметров объекта а. Если ф [х (й), а, й] линейка по а, то (6.4.4) сводится к системе линейных алгебраических уравнений, которые легко решаются. В этом случае ф [х (й), а, й] имеет следующий вид: ф[х(й), а, й] = с[х(й), й]+Г[х(й), Ца, (6.4.5) где с [х (й), й] — Л~-вектор, а Г [х (й), Ц вЂ” (Л~ х т)-матрица.

Если подставить выражение (6.4.5) в уравнение (6.4.4), то получим г~-1 ,Я Г [х (й), й](с [к (й), й] -]- Г [х (й), Ц а) = 3 и г~ -1 Г [х(й), й] х(й +1) газностная н днфевэвнциальная аппэоксимация или ! Кг1 Г [х (й), й] Г [х (й), й] а = к к.

Ку — 1 ,Я~ Г [х(й), й](х(й+ $) — е[х(й), й]). (6.4.6) Следовательно, оптимальная оценка вектора параметров а определится как [ Кг1 ]-1 а =[ Х Г']х(й),й]Г]х(й), й]1 к=к. К)-1 Х,~~ Г [х(й), й] (х(й+ 1) — е [х(й), й]). (6.4.7) Отметим, что линевная по а система может быть существенно нелинейной по х. Пример 6.4Л. Для иллюстрации метода рассмотрим использование алгоритма дифференциальной аппроксимации для определения параметра а следующей одномерной системы: х(й+ 1) = х(й) + ах'(й) + в(й) + и(й), где и (й) известно.

Эта система линейка по а и, следователь. но, результат (6.4.7) применим. Б этом случае имеем с [х(й), й) = х (й) + и (й) и Р [х (й), й] = х' (й) так, что оценка а имеет вид К) — 1 хк (й) [х (К+ 1) — х (К) — и (й)] К)-1 * (к) Главная трудность на пути использования этого алгоритма связана с необходимостью располагать полной информацией о состоянии системы на конечном интервале времени. Один из возможных способов преодоления этой трудности состоит в использовании точечных оценок с тем, кваэнлинкАРИЗАпия [гл. в чтобы по имеющимся данным получить грубу!о оценку траектории. А затем для оценивания параметров можно было бы испольэовать алгоритм разностной аппроксимации.

Эти оценки могут быть и не слишком точными, если имеющиеся данные были искажены помехами. Тем не менее оценки параметров и состояния системы дают достаточно точное начальное приближение для использования градиентных алгоритмов или алгоритма квазилинеаризации. . К непрерывным системам можно применить алгоритм дифференциальной аппроксимации. В этом случае уравнения модели имеют вид х (!) = [ [х (С), а, 8[ + м (!), (6.4.8) где $ [х (!), а, ![ — того же вида, что и раньше, т.

е. компоненты [ удовлетворяют (6.4.2). Показатель качества определяется, как где () (!), как и раньше, произвольная полон<ительно определенная матрица. Здесь х (!) в х (!) предполагаются известнымя на интервале [!ю !![. Если приравнять частную производную У по а нулю, то для ([ =! получим следующую систему алгебраических' уравнений относительно а: Непрерывный алгоритм по сравнению с дискретным имеет еще один недостаток — необходимость знания производной х (!). Один иа выходов состоит в аппроксимации производной конечными разностями, что по существу превращает алгоритм в разностный. ВЫВОДЫ 203 з,м 6.5. ВЫВОДЫ Раавитый в этой главе метод квазилинеаризации может быть использован для преодоления вычислительных трудностей решения двухточечных краевых задач, связанных с некоторыми постановками задач идентификации систем. Хотя квазилинеаризацня используется в основном как непрямой вычислительный метод, ее можно применить и для непосредственного решения некоторых классов задач идентификации, что приводит к простым и Эффективным алгоритмам.

Рассмотрены дискретная и непрерывная форма алгоритмов квазилинеаризации. 'Также были изучены методы дифференциальной и разностной аппроксимации..Несмотря на присущие этим алгоритмам ограничения,,существуют задачи, к которым они применимы, кроме того, этн алгоритмы могут быть использованы для вычисления начальных приближений итеративных процедур типа квазилинеаризации или градиентных методов. Глава 7 ИНВАРИАНТНОЕ ПОГРУЖЕНИЕ И ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНАЯ И ДЕНТИФИКАЦИЯ- 7Л. ВВЕДЕНИЕ В зтои главе рассМатривается подход к идентификации систем, который отличен от большинства ранее рассмотрениях методов.

Характеристики

Список файлов книги