1626435586-15eceb6ba43f688400eaeb312dc6d98a (844237), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Можно показать, что вторая частная разность становится существенной, когда интервал квантования нельзя считать малым (Сейдж [116)). Вернемся теперь к основному вопросу об отыскании решения ДТКЗ. Так как в общем виде решить (7.3ЛЗ) не удается, предположим, что г (с, йг) линейна по с: г (с, й)) = х (й)) — Р (й)) с. (7.3.18) Ьг(е, с~) = — Р (йг) Ьс Ь'г (с, с ) [ (~+ ) ((И (7.3Л9) (7.3.20) Ьг (с, а)) — Зр — = [х(йг+ 1) — х(йс) — Р(й) + 1) с+ Р(й)) с[ ~Т.
(7.3.21) Подставив этн выражения в (7.3ЛЗ), получим а [х (йД вЂ” Р (йй с. с, й ) = = — Р (й~ -~- е) т[ [х (ьч) - Р (й~) с, с, й)) + х (йг+ 1). (7 3 22) Используя (7.3.18), вычислим разности, которые входят в уравнение (7.3.13): 220 инВАРиАнтное поггуксение [гл. т Разлагая а и р в ряд Тейлора в окрестности х (йс), О и йс и пренебрегая членами высокого порядка, можно переписать уравнение (7.3.22) в виде да [х (йг) — Р (йС) е, е, й(] 1 а [х (йс), О, йс] + е= — Р(йт+ 1) ~( дн [х(й,) — Р(й,) е,е, й,] 1 Х(о[[х(йс),0, йс] + с с с ~ с]+х(й~+ 1).
(7.3.23) Это соотношение должно выполняться для всех достаточно малых с, поэтому, приравнивая коэффициенты при первой и нулевой степени с, получим х (йс + 1) = а [х (йс), О, йс] + Р (йс + 1) т[ [х (йс), О, йс], (7.3.24) Р(йс+ 1) ( дч[х(йс) — Р(й ) е,е,й ] ] . (7.3.23) да [» (й ) — Р (й ) е, е, й ] [ Теперь необходимо подставить выражение для а и о].
Рассмотрим дискретную ДТКЗ (3.2.30) — (3.2.32), (3.2.34), которая, если пренебречь членами второго порядка малости по с, приводится к виду х (йс + 1) = ср [х (йс) д(е ~) [х(йс),й,! — 1' [х(йс), йс] Ч„(йс) Рт[х(йс), йс] ' с, (7.3.26) дх(й ) 2(й+,) д(Р ) [х(й,),й,] + ~(йс) АР [х (йС+ 1), йС+1] х дх(й + 1) — Ь[х(йс+ 1), йс + 1]), (7.3.27) Х(йо) = — Ч„'[х(йо) — [сх.]ь (7 3 28) Х (йс) = с = О. (7.3.29) Заметим, что эти выражения не сводятся к (7.3.1) и (7.3.2), так как в правой части уравнения (7.3.27) появилась эависимость от х (йс -]- 1). Подставляя х (йс + 1) иэ (7.3.26), хз) 221 ДИСКРЕТНЫЕ СИСТЕМЫ эту трудность можно преодолеть, тогда, если использовать разложение в окрестности ср [х (йс), йс)], получим следующие выражения для а и т]: а [х (йс), с, йс] = ср [х (йс), йс] — Г [х (йс), йс] У (йс) х д(р-~) [х(й,),й,] Х ГТ [Х (йС)с йС] С (7.3.30) и дх (йс) с) [х (йС), с д(сР с) [х(й,), йс] дйт[х(й +1 [й), й +1] дх (йС) дх (йС + 1 [ йС) Х У„(йс+ 1)(х(йс+ 1) — Ь[х(йс+ 1[йс),йс+1])— д [ дЬ [х (йС+ 1 [ й ), йС+ 1] дх(йС+1]йС) ][ дх(йС+1[йС) х (е (йс + 1) — Ь [х (й, + 1 [ йс), йс + 1Ц х д (ср с)т [х (й ), й ) х Г[х(й,),й,]У„(йс)Гт[х(йс),й,] '' ' с,(7.3.31) дх (йС) где х(йс+ 1[йс) ~ ср [х(йс), йс].
(7.3.32) Для упрощения записи мы не будем перечислять все аргументы в формулах (7.3.31) и (7.3.32). Из (7.3.31) и (7.3.32) легко можно получить все выражения, необходимые для уравнений (7.3.24) и (7.3.25): а [х (йс), О, йс] = ср [х (йс), йс] = х (йс + 1 [ йс), (7.3.33) д [х — Рс,е,йС] ~ — — Р(йс) — ГУ„,ГТ ' с, (7.3.34) дср [х, йс] д (ср-с) [х, й ] дх дх с) [х (йс), О, йс] = М [х(йс+ 1 [йс)с йс+ 1] (7.3.35) инвлРилнтнов ПОРРужение (гл. т И д1)[х — Рс,с, й ) [ д«р-1)т[х,й ) Р(й1) + дМ [х (й|+1 [й,), й(+ Ц йе[х, й1) Р (й1)— дх(й +1[й) дх Гт' Гт ~ . (7.3.36) дМ[х(й +1[й) й +Ц д«Р ~)т[х,й) дх(й~+1 [й~) дх здесь матрица м [х (й1 + 1 ~ й(), й1 + Ц определяется как М [х(йу+ 1 [й1) й1+ Ц= й(+1[й() й1+Цу ~(й + дР(й +1[й) Х (х(й(+1) — Ь[х(й1+ 1[й1),)ст+ 1П. (7.3.37) Если теперь подставить эти выражения в уравнения (7.3.24) и (7.3.25), получим х (й( + 1) = 9 [х (йу), й)[ + дьт[х (й +1 [й ) й [ Ц +Р(й+Ц ' ' ' У„(й1+1)Х дх(й,+1[й,) Х (з(й(+ 1) — Ь[х(й1+ 1[й1), й(+ 1)), (7 3 38) Р й,+1) д«р-")т дМ6(й(+1[й),й +Ц Х дх дх [й +1 [й1) Х Гт'Гт .
~ + ~ Р(й1) =ГУ 1Р ~т ) +=Р(й(). (7.3.39) дх дх Если умножить справа уравнение (7.3.39) на дадут/дх и определить Р (й( +1[й~) как Р(й1+1[й1) = Г[х(й1),й1) у (й)Г [ (й(),й1[+ + "[х("1) "1[ Р(й) '" [*("1)'У) (7.3.40) дх (й ) дх (й)) ! Ы дискгетные системы то уравнение (7.3.32) перепишется в виде Р(йУ+1) = ах (ь,+ць,] (7.3.41) Комбинируя уравнения (7.3.32), (7.3.37), (7.3.33), (7.3.40), (7.3.41), получим алгоритм для последовательного оценивания х (й), если йу интерпретировать как текущее время й.
Начальные условия для этого алгоритма определяются из (7.3.28), (7.3.29) как Р(йе) = т (7.3.42) х(йэ) = ~а . (7.3.43) Последний алгоритм часто можно представить в более удобной форме. Если факторизовать симметрическую матрицу М [х (йт + 1[йУ), йг +1], то можно записать "' '" ' =-Нт(й+1)У„-'(й+1)Н(й+1), дх (ЬУ + Г [ ЬУ) (7.3.44) где в общем случае Н (й + 1) будет зависеть от х (й -]-1[й) и х (й +1). Тогда, используя лемму об обращении матриц, можно переписать уравнение (7.3.41) в следующем виде: Р(й+ 1) = Р(Ус+ 1[й)— — Р (й'+ 1 [ й) Нт (й+ 1) [Н (й+ 1) Р (й + 1 [ й) Нт(й + 1) +' + У (й+1)] 'Н(й+1)Р(й+1[й).
(7.3.45) Преимущество этой формы записи состоит в том, что требуется обращать матрицы более низкого порядка, так как размерность наблюдения обычно ниже размерности со-. стояния. Главный недостаток сводится к необходимости факторизации (7.3.44), что может оказаться трудной задачей. Конечно, когда наблюдение линейно з (й) = = Н (й)х (й) + т (й), факторизация (7.3.44) получается: совершенно естественно.
(гл. 7 инВАРиАитное ИОГРужинии 224 Таблица 7.3.1 Дискретные алгоритмы инвариантного погружеиия Модель системы х (й + 1) = ~р [к (й), й] + Р [х (й), й] чч (й) (3 2 1) Модель наблюдекий а (й) = Ь [х (й), й] + ч (й) (3.2.2) Статистические характеристики й (х (йе)) = р, чаг (х (йе)] = У 'и" (и (й) ) = 'и" (ч (йр] = О, соч(тч(й), тч(Я = У (й) б (й — у), (.(й),.В=Уч(й)б ( — 7) Одношаговое предсказание х (й + 1[ й) = ~р [х (й), й] (7.3.3А) Алгоритм фильтрации дИт [х (й+ 1 [ й), й+ 1] х (й+ 1) = х (й + 1 ] й) + Р (й+ 1) Х дх (й + 1 [ й) Х У„г(й+1)(х(й+1) Ь[к(й+1[й), й+1Ц (7338) Уравиекие для априорной дисперсии Р (й + 1 ] й) = Р [х (й), й] Ч (й) Р [х (й), й] + д р [ х (й), й] д р' [х (й), й] Р (й) дх (й) д х (й) (7.3.40) Уравнение для дисперсии ошибки 7.
31 223 дискгвтныв систвмы Таблица 7.3.1 /иродооеяение) Другие уравнения для диснерсии ошибки Р(й+1) =Р(й+1 [й) — Р(й+1[й) Нт(й+1) Х Х [Н(й+1) Р(й+1 [й) Нт(й+1) + но(7е+1)] ' Х Х Н (й + 1) Р (й + 1 [ й) „(7 3 43) дМ[ (й+1[й), й+1) - Нт (й+ 1) У„-' (й+ 7) Н (й+ 1) дл(й+1 [ й) Начальные условия л (йо)=ря,, Р (йо) = Уя, Для удобства все основанные на инвариантном погружении алгоритмы идентификации дискретных систем по максимуму апостериорной вероятности сведены в табл. 7.3.1. Испольэование этих алгоритмов иллюстрируется следующим примером.
Пример 7.3.1. Рассмотрим дискретную аппроксимацию неидеального колебательного контура, характериэуемого отклонением х(7), скоростью г (1), декрементом эатухания с[, собственной частотой 5 рад/сея, положением равновесия 12,5 и аддитивным входным шумом 7Р(г).
Соответствующее непрерывное уравнение имеет вид У -[-10 с[ф +25 х = 12,5 + и(г) Дискретная аппроксимация приводит к нелинейной си- стеме третьего порядка: х(й +1) = х(й) -[-Тг(й), г(й +1) = — 25 Тх (й) + [1 — 10 Тс[(й)1 г (й) -[- -[-12,5 Т + Тш(й), е) (й +1) = е1(й), г (Й) = х(й) + и(й). Используя табл. 7.3.1, приходим к алгоритмам последо- вательного оценивания 4(/с+ 1) = 2(й) +Тг(Й)+ 2Т[го'[г, (й+ 1)[г(й+1)— — х (Й) — Тг (/е)[, инВАРиАнтное НОГРужение ТГЛ. 7 т (Ус + 1) = 25Тй (Ус) + г (Ус) — 10ТЙ (Ус) г (Ус) + 12,5Т + + 2Т[т,'Ттзс(й+ 1) [з (й+ 1) — х (Ус) — Тт(Ус)], 3 (Ус + 1) = 3 (Ус) + 2Т7„'7зз(Ус+ 1) [г (Ус + 1) — х (Ус) — Тг(й)], Р„(й+ Цйу = Рн(й)+ 2ТР„(й)+ Т Р„(й), Р„(й + 1 ] Ус) = — 25ТРН (Ус) + [1 — 10ТЗ (Ус) — 25Тз] Рзз (Ус)— — 10Тг (Ус) Рз, (и) + [1 — 10Тзз (Ус)] Трзз (Ус) — 10Тзт (Ус) Раз (Ус], Р, (й + 1 [ Ус) = Рм (Ус) + Трзз (й), р„(а+1 [й) = 025тзР„(й) — 5ОТ [1 — 1ОТЗ ®[Р„(й) + + 500Т'г (Ус) Раз (Ус) + [1 — 10Тй (й)]з Р„(Ус)— — 20Тт (Ус)[1 — 10Тсс(Ус)] Р„ (Ус) + + 10ОТза 0Ь) т (й) Раз (й) + Тт (Ус), Рзз (Ус+ 1 [ Ус) = — 25ТРзз (Ус) + [1 — 10ТЙ (Ус)] Раз (Ус)— — 10тт (й) Рзз (Ус), Р,з (Ус+ 1 [ Ус) = Раз (Ус), Рзз (й + 1 [ й) Тт (й + 1) Рп(й+1[й)+тУ„(й+1) ' Рм (Уз + 1 [ Ус) У„(й + 1) Р' (~+1)= п(й+1[й]+ з ( +1) Рзз (й + 1 [ й) Ттз (Уа + 1) Рзз(й+1)=, (,+,[,)+,з (й+„, Рз (й+1[й) "( + ) "( + [ ) .„(й+1[й)+Тт (й+1) ' (у + 1) р (у + 1[у) Рзз(й+1[й)Рм(й+1 [й) Рп (й + 1 [ й) + Тт„(й + 1) Рз (й + 1 [ й) Р (Ус+1)= Р (Ус+1[Ус) —, ( + [„+ „+ Отметим, что, воспользовавшись симметричностью матрицы дисперсий ошибки, мы исключили три уравнекня нз девяти.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
