1626435586-15eceb6ba43f688400eaeb312dc6d98a (844237), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Допустим, что траектория уьл (г) блиака к начальному приближению у~ (г), и пренебрежем членами второго порядка малости в (6.2.3). В реаультате для ун' (7) получим линейное неоднородное уравнение с переменными коэффициентами „~+,(, аг(У'((>,(1 еи(... Г ... аг(У'Р>, Ц ау'((> (. ' а~Ф(6 (6.2.4) Решение етого уравнения имеет вид уьи (() = й"' (() у'+1 ((,) + рьи (г), (6.2.5) где Й~" (С) удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению: ' .сы аг(У'(6, г1 а;+, (6.2.6) ау' 6> ((с) (6.2.7) а рьт (г) есть частное решение неоднородного уравнения рол(7) = Г(у~(() (1 — (У (>' 1(у*(() — рьн(7)1 (6 2 8) ау'(и р" ((,) =О, (6.2.9) (гл. о КВАЗИЛИНВАРИЗАЦИЯ у=1,2,...,т (6.2.10) или С(й;) йоы (Г)) Р"ь(то) = Ь(Г)) — С (Г;) Рвы (т)), ) = 1, 2,..., и.
(6.2.11) Используя эти и уравнений, можно в матричной форме получить одно линейное алгебраическое уравнение для 7'" (го) Аром((,) = Ь, С (Ь) (1'+~ (Ь) (6.2.12) где (6.2.13) С Ро) й о (оо) А= Ср )аы(о ) Ь(Ь) — С(Ь) реи (Ь) Ь (Оо) — С (Оо) реи (Оо) (6.2.14) Ь (от) С (ооа) Р (оод Если условия (6.2.2) и уравнение (6.2 1) совместимы, то существует единственное решение у'" (о ) уравнения (6.2.12), т.
е. ранг матрицы А совпадает с рангом расширенной матрицы [А [ Ь). В эхом случае Т'ы ((о) = А ~Ь. (6.2 15) Значение у"г (го) используется в (6.2.5) для отыскания нового приближения у'+' ((), ( ~= [го, (г[. Эта траектория будет удовлетворять условиям-(6.2.2), но в общем случае не является решением уравнения (6.2 1), так как получена из линеаризованного уравнения (6,2.4), Однако теперь можно Видно, что процесс построения у'" (г) сводится к простым дифференциальным уравнениям с единственным начальным условием уо" ((о). Необходимо так выбрать у'+' (т ), чтобы удовлетворить условиям (6.2.2).
Подставив в (6.2.2) решение (6.2.5), получим С(()) [й" (Ю)) у'" ((,) + рьи (Ю;)) = Ь(Ю;), «.2) НЕПРЕРЫВНЫЕ СИСТЕМЫ заменить у' (2) на у"' (4) и повторить описанную выше процедуру. Используя эту итеративну«о процедуру, получаем последовательность траекторий (у4 (2)), которая должна сходится к решению МТКЗ. Факт сходимости может быть установлен проверкой скорости изменения у' (2«). Можно показать (Беллман и Калаба [16[), что если эта процедура сходится, то сходимость является квадратической, т. е.
чрезвычайно быстрой. С другой стороны, на примере легко показать, что для.обеспечения сходимости обычно требуется подобрать очень хорошее начальное приближение. Поэтому для формирования начального приближения в алгоритме квазилинеаризации часто. используются градиентные илн аппроксимационные процедуры. К сожалению, для любой сколько-нибудь нетривиальной практической задачи процедура квазилинеаризации предъявляет серьезные требования к объему машинной памяти.
Отметим, что для отыскания у'+' (2) по у442 (4«) необходимо найти и 12442 '(2) и р4+' (2). Допустим, что длина отрезка .[2«, 24] равна 10 секундам, а шаг разбиения составляет 1ЙОО секунды. Тогда, если размерность у равна десяти, то для записи 1«444 (2) необходимо запомнить (10 х 10) х (10) х 100 = 100 000 чисел, что, очевидно, является серьезнейшим препятствием. Однако, к счастью, требования к объему памяти можно существенно ослабить, воспользовавшись 'другой процедурой.
Вместо того, чтобы запоминать значения И"4 (1) и ргп (4), их можно сразу же испольэовать для вычисления А и Ь по формулам (6.2ЛЗ) и (6.2Л4), все остальное «не запоминается». Найдя из уравнения (6.2Л2) у«44 (2«), вновь вычисляем И"4 (2) и рен (4), одновременно определяя у"' (4), которое запоминается, тогда как Й4" (2) и р4+' (2) в машинной памяти пе сохраняются.
Теперь все готово для того, чтобы повторить вычисления, используя улучшенную оценку траектории, В этой процедуре необходимо запоминать только у4" (2), что требует хранения только 10000 чисел. Конечно, за этот выигрьпп приходится расплачиваться двукратным решением уравнения (6.2.6) и (6.2.8). Для некоторых задач необходимость запоминания т4+4 (2) может превратиться в проблему. Если бы продолжительность временного интервала была равна 100 секун- ~гл. е НВАЗИЛИНЕАРИЗАПИЯ 178 дам, то угм(г) было бы представлено 100 000 чисел. Можно было бы запомнить только часть этих значений (скажем, 1/10), а для эаполнения пропусков испольэовать интерполяцию. Успешное применение подобного подхода означало бы, что первоначально было выбрано слишком мелкое разбиение, а проблему раэмерности можно было бы решить укрупнением шага.
И в этом случае для решения задачи можно использовать квазилинеаризацию, хотя алгоритм должен быть несколько модифицирован. Вместо того, чтобы искать у'+' (~), решая уравнение (6.2.5), можно просто проинтегрировать уравнение (6.2.1) с начальным Условием У*'м (Гэ) из (6.2Л2). В этом слУчае требования к объему памяти минимальны, а уравнения (6.2.6) и (6.2.8) на каждой итерации, интегрируются только один раэ, поэтому затраты машинного времени лишь несколько превышают машинное время, необходимое для решения задачи прямыми методами.
Отсюда, казалось бы, вытекает, что этот подход предпочтительнее двух предыдущих. Однако это впечатление обманчиво, так как на практике построение приближений с помощью интегрирования уравнения (6.2.1) приводит к тому, что алгоритм расходится. Это легко объяснить. Если испольэуется уравнение (6.2.5), то испытываемая траектория, удовлетворяя условиям (6.2.2), не удовлетворяет уравнению (6.2Л). Если же эта траектория получена как решение уравнения (6.2.1), то она не удовлетворяет условиям (6.2.2). Если испытываемая траектория удовлетворяет краевым условиям, то она совпадает в этих точках с точным решением задачи и, кроме того, в силу гладкости аппроксимирует это решение в окрестности точек эадания условий.
С другой стороны, если решение просто удовлетворяет уравнению (6.2Л), то нет никаких оснований полагать, что опо совпадает с решением эадачн (6.2Л), (6.2.2) хотя бы в одной точке. По этой причине обычно для вычисления приближений желательно пользоваться уравнением (6.2.5), если объем машинной памяти это допускает. Как уже отмечалось, одной из основных неприятностей при испольэованни квазнлинеаризации является сильное сужение области сходимости.
Поэтому для построения хорошего начального приближения часто требуется применять градиентные алгоритмы или алгоритмы дифференциальной аппроксимации. 179 непРеРывные системы «.2) Рассмотрим применение алгоритма квазилинеаризации к решению двухточечной краевой задачи, возникающей в связи с идентификацией систем.
Ряд таких ДТКЗ был поставлен в главе 3; в целях сокращения изложения будет рассмотрена ДТКЗ наиболее распространенного вида. Решения более общих задач могут быть получены аналогично. Напомним уравнения (3.2.37) — (3.2.39), описывающие задачу х(2) = [[х((),2] — О [х(2),2]о]а,„(2)С7 [х((),(] Л(Х), (3 2 37) Ь' (2) = '" [" " '] Р„' (2) ( (2) — Ь [Й ((),(])— дх (2) — Л (2) + ' " ' Х (2), д(Т [х (2), 2] д(Х (2) 6 [х(2),О]ор (О) 6 [х(Ф),2]] дх (Ф) дх (2) (3.2.38) 7» ((о) = У*~ ((о) [х ((о) — )о„ ((а)] ю Х ((у) = О.
(3.2.39) Запишем уравнения (3.2.37) и (3.2.38) в виде х (2) = Г» [х (2), Х (2), 2], Х (2) = Го [х ((), Х (2), 2]. (6.2.16) Условия на концах принимают вид С ((о) 7 ((о) = Ь ((о), С (2,) 7 (2,) = Ь ((,), (6.2.18) (6.2Л9) где Ь ((о) = — Ух~ ((о) )»х ((о) (6 2 20) Определение Г, и Г, очевидно. Напомним также читателю, что в описание «состояния» х (2) наряду с координатами. состояния. могут входить и параметры системы. ОТ)кетим, что смысл наблюдения за системой состоит в знании вида функций Гх и Го. Эту задачу можно записать в обоаначениях уравнения (6.2Л), если положить (гл. з КВАЗИЛННБАРНЗАЦИЯ Го) С(11) = ~"--~, Ь(11) =.О.
(6.2.21) 1 Теперь ДТКЗ записана в форме уравнений (6.21), (6.2.2), и итеративный' алгоритм ее решения можно получить, применяя квазилинеаризацию. Для этой задачи уравнения (6.2.6) и (6.2.8) приобретают вид ЗГ (т1 (1), 1! ! ЗГо (т1 (1), 1! Зх1 Р) ! ах1 И) а Оооо(о . 1 ! ог. Оо' ( о. О оо1щ ! аа оо зз (1) (6.2.22) о,ог'оо, о Щ аг.оо1оо, о а ОО, А'ОО Х ог,о» щ, о , 'ог,оозоо, о аь1 (1) ! л,1 О) Х (у1(1) — р1+'(1)!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
