1625915396-080a9d47d07d6b633f2b1b0d68649b55 (843932)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

§1. Математическое моделирование в физике.Предварительные сведения.Математическое моделирование реализуется в виде цепочки отображений:мат. мовыч.прографиз.−→−→−→дель явмодельмма,модельL99 ления←− явления ←− ЭВМявленияУр. мат. физ. - это раздел математики, который изучаетматемат. модели различных физических явлений.Ур.

мат. физ. - это часть более общей матем. дисциплины: теории ур-ний с частными производными.а) Сложности преподавания предмета (большое количество монографий, школ, точек зрения и т.д.). Мое кредо - основныеидеи.б) Сложности для студентов (большой объем материала, плохаяпосещаемость). Относительно учебников, пособий, экзамена.Предварительные сведения.x = (x1 , ..., xn ) ∈ Rn - точка в Rn ;µ n¶1P 2 21|x| =xk= (x, x) 2 ;k=1nR - n-мерное евклидово пространство (вещественное);Ω ⊂ Rn - открытая ограниченная область;¾Ω½»∂Ω - граница обл. Ω;¼1Лекция №1, НГУ, ММФ, 20102Примеры диф. уравнений.Уравнение Пуассона (Лапласа):(1) ∆x u = f (x) (= 0), x ∈ Ω ⊂ Rn ;n ∂2P∆x =2 - оператор Лапласа;∂xk=1kf = f (x) - заданная функция, u = u(x) - искомая функция.Волновое уравнение:(2) utt = ∆x u + f (t, x),(t, x) ∈ G ⊂ Rn+1 ;f = f (t, x) - заданная функция, u = u(t, x) - искомая функция.Уравнение теплопроводности:(3) ut = ∆x u + f (t, x), (t, x) ∈ G ⊂ Rn+1 ;f - заданная функция, u - искомая функция.Уравнения (1-3) так называемые линейные неоднородные (еслиf ≡ 0, то однородные) уравнения 2-го порядка.Порядком диф.

уравнения естественно назвать порядокстаршей производной, входящей в данное д.у.В дальнейшем мы будем также рассматривать произвольное линейное диф. уравнение порядка m:X(4) Lu =aαj (t, x)D0j Dxα u = f (t, x), (t, x) ∈ G ⊂ Rn+1 .|α|+j≤mЗдесь:∂∂ |α|, Dxα = α1(обозначения Шварца),∂t∂x1 ...∂xαnnα = (α1 , ..., αn ) - так наз. мультииндекс,nPαj ≥ 0 - целое число или 0, |α| =αj ;D0 =j=1aαj (t, x) - коэффициенты ур. (4) - известные функции от t, x,f (t, x) - известная функция, u(t, x) - искомая функция,(4) - лин.

неоднородное (если f ≡ 0, то однородное) уравнениепорядка m > 0 (m - целое число).Лекция №1, НГУ, ММФ, 20103Главная часть оператора L:Xb=Laαj (t, x)D0j Dxα ,|α|+j=mт.е. (4) можно переписать так:b + ... = f (t, x),(40 ) Lu = Luгде ... означает остальные слагаемые.Будем говорить, что оператор L записан в нормальной форме,если он имеет вид:Xm(5)L = D0 +aαj (t, x)D0j Dxα .|α|+j≤mj<mФункциональное пространство C m (Ω) - пространство всех функций u(x), имеющих в Ω непрерывные частные производные до порядка m включительно. Аналогично определяется пространствоC m (Ω), где Ω - замыкание Ω.Вопрос. Какое из пространств C ( Ω) или C m (Ω) богаче (C m (Ω) ⊂C ( Ω) или наоборот)?Классическое или регулярное решение диф. уравнения (4) это функция u = u(t, x) ∈ C m (G), обращающая (4) в тождество.Пример. Линейное неоднородное уравнение с частными производными второго порядкаnnXX∂ 2u∂u+aj (x)+ a(x)u = f (x)(6) Lu =aij (x)∂x∂x∂xijjj=1i,j=1илиb + ...

= f (x),(60 ) Luгдеb=LnXi,j=1aij (x)Di Dj , Di =∂.∂xiЛекция №1, НГУ, ММФ, 20104Здесь aij , aj , a, f - заданные в Ω функции от x (действительныефункции!). Очевидно, что матрицу A = (aij (x)) можно считатьсимметрической (почему?).В заключении этой лекции, я напомню определение аналитической функции.√(0)(1)Функция F (z), z = (z1 , ..., zm ), zj = zj + izj , i = −1, j =1, m называется аналитической в окрестности точки z ∗ , если онаразлагается в степенной рядXF (z) =aα (z − z ∗ )α ,αα = (α1 , ..., αm ) - мультииндекс, αj ≥ 0 - целое число или 0; абсолютно сходящийся при достаточно малой величине:vuXu m∗∗|z − z | = t|zj − zj∗ |2 , z ∗ = (z1∗ , ..., zm).j=1Можно показать при этом, чтоaα =1(Dzα F )|z=z ∗ .α!∗ αmЗдесь: (z − z ∗ )α = (z1 − z1∗ )α1 ...(zm − zm) , α! = α1 !...αm !n∗Шар Sr,x∗ = {x ∈ R , |x − x | < r} ⊂ Rn .'$r¡¡µx∗&%§2.

Линейное однородное уравнение первого порядка.Квазилинейные уравнения с частными производными.Уравнение Гамильтона-Якоби.1. Линейное однородное уравнение первого порядка.(1) Lu = ut +nXfk (t, x)uxk = 0k=1или(1) Lu = ut + (f, ∇u) = 0,∂(t, x) ∈ G ⊂ Rn+1 , L =+ (f, ∇).∂tЗдесь:µ f = (f1 , ..., f¶n ); fk (t, x) - некоторые известные функции,∂∂, ...,∇=, u = u(t, x) - искомое решение.∂x1∂xnСопутствующая система обыкновенных диф. уравнений:dx= f (t, x) (c.c.)dt©ªПусть Φ(i) (t, x), i = 1, n - какая-либо система функциональнонезависимых первых интегралов системы (∗).Замечание.

1) Функция Φ(t, x) - называется первым интегралом системы (∗), если она тождественно не равна константе, нов то же время эта функция постоянна вдоль каждого решенияx = x(t) системы (∗).2) Интегральные кривые системы (∗) x = x(t) называются характеристиками уравнения (1).3) Об одном теоретическом способе нахождения системы функционально независимых первых интегралов. Пусть x = x(t, x0 ) (∗)1Лекция №2, НГУ, ММФ, 20102решение задачи Коши dx = f (t, x),dtx|t=t0 = x0 , x0 = (x10 , ..., xn0 ).По теореме о неявно заданных функциях векторное уравнение x =x(t, x0 ) может бытьотносительно x0 : x0 =© однозначно разрешеноªx0 (t, x) и система xi0 (t, x), i = 1, n может быть взята в качествесистемы функционально независимых первых интегралов векторного уравнения (∗).Общееуравнения (1).© решениеª(1)u = F Φ (t, x), ..., Φ(n) (t, x) , F - произвольная функция (достаточно гладкая).Свойство любого решения уравнения (1): вдоль характеристикирешение u постоянно.

Далее уравнение (1) можно еще переписатьтак:dud= 0, где= L - полная производная от u вдоль характериdtdtстики.Задача Коши для уравнения (1):(Lu = 0,(2)u|t=t0 = ϕ(x),где ϕ(x) - некоторая гладкая функция.Формализмпостроения решения задачи Коши (2):(1)(1)Φ(t,x)=Φ,0а) ... (n)(n)Φ (t0 , x) = Φ .Из этой системы находим зависимость(1)(n)x = X(Φ , ..., Φ ).б) Тогда решение задачи Коши (2) записывается так:u = ϕ(X(Φ(1) (t, x), ..., Φ(n) (t, x))).Лекция №2, НГУ, ММФ, 20103du= 0 - полdtная производная от u в силу системы (∗) равна 0. Это означает,что вдоль характеристики функция u постоянна.Рассмотрим вместо уравнения (1) более общее уравнение:Замечание. Уравнение (1) можно трактовать так:(10 ) f0 (t, x)ut + (f, ∇u) = 0.Рассмотрим два предельных случая.1-ый предельный случай.Если f0 6= 0, то (10 ) перепишется в виде (1)µ¶100f, ∇u = 0,(1 ) ut +f0характеристики которого определяются из соп.

системы:(∗∗)dx1= f.dtf0Удобно ввести параметр s:ds1= , s|t=t0 = 0.dtf0Тогда система (∗∗) перепишется так:dt= f0 (t, x),ds dx = f (t, x).dsЗаметим, что вектор fe = (f0 , f ) = (f(0 , f1 , ..., fn ) определяет векx = x(s),тор, касательный к характеристикеуравнения (10 ).s = s(t)Говорят, что этот вектор задает характеристическое направлениев точке (t, x). Если мы решаем задачу Коши для уравнения (10 )((100 )) с данными при t = t0 : u|t=t0 = ϕ(x), то гиперплоскостьt = t0 ни в одной точке не имеет хар. направления.Лекция №2, НГУ, ММФ, 201042-ой предельный случай.Если f0 (t, x) ≡ 0, то (10 ) перепишется так:(1000 ) (f (t, x), ∇u) = 0,характеристики которого находятся из системы:dt= 0,ds dx = f,dsт.е.

при t = const характеристики расположены в гиперплоскости t = const. Поскольку вдоль каждой такой характеристики uпостоянно, то следовательно задача Коши((f, ∇u) = 0,u|t=t0 = ϕ(x)разрешима не при любой функции ϕ(x). Промежуточный случайбудет рассмотрен далее на примере.До сих пор мы рассматривали данные Коши на гиперплоскостиt = t0 .

Рассмотрим теперь так называемую обобщенную задачуЛекция №2, НГУ, ММФ, 20105Коши, которая ставится так:(f0 ut + (f, ∇u) = 0,(3)u|γ = ϕ(t, x), (t, x) ∈ γ.Здесь γ - гладкая гиперповерхность с уравнениемΨ(t, x) = 0,¯e ¯¯ 6= 0, ∇Ψe = (Ψt .Ψx , ..., Ψx ) = (Ψt , ∇Ψ). Сделаемпричем |∇Ψ|1nγв задаче (3) замену независимых переменных:(x = x,(+)ξ = Ψ(t, x), u(t, x) = ue(ξ, x);при этом:т.е.∂u ∂eu∂u∂eu∂eu=Ψt ,=+Ψx ,∂t∂ξ∂xk∂xk ∂ξ k∇u = ∇eu+∂eu∇Ψ.∂ξЛекция №2, НГУ, ММФ, 20106>0=0<0Следовательно задача (3) перепишется так:([f0 Ψt + (f, ∇Ψ)]euξ + (f, ∇eu) = 0,(30 )ue|ξ=0 = ϕ(t, x), t = t(0, x)(заметим, что из (+) следует, что t = t(ξ, x), если Ψt |γ 6= 0, например).Задача (30 ) однозначно разрешима, если[f0 Ψt + (f, ∇Ψ)] |γ 6= 0,eeт.е.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций