1625915396-080a9d47d07d6b633f2b1b0d68649b55 (843932), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

начальные данные не могут быть произвольными (в точках(t, x) ∈ γ имеется дополнительная связь (8)). Можно показать,что в этом случае решение задачи Коши либо неединственно (начальные данные специально подобраны), либо его нет (начальныеданные заданы произвольно).Лекция №3, НГУ, ММФ, 20108Литература.Шабат А.Б. Уравнения с частными производными (курс лекцийдля студентов НГУ), ч.1. - Новосибирск, 1967г.§4. Характеристики различных уравненийматематической физики.Рассмотрим теперь конкретные примеры линейных уравнений2-го порядка.

Попытаемся найтидля них вещественные характе¯e ¯¯ 6= 0, K(·) = 0.ристики γ : Ψ(t, x) = 0, ∇Ψ1) Волновое уравнениеγutt − uxx = 0, x ∈ R1 ;характеристическое уравнение имеет видΨ2t − Ψ2x = 0(уравнение характеристики Ψ(t, x) = 0).Оно распадается на два уравнения(Ψt − Ψx = 0,Ψt + Ψx = 0,решая которые (используя методы §2), находим сначала общее решение Ψ = F(x + t)илиΨ = F(x − t), где F - произвольная функция.Отсюда следуетF(x+t)=0→ x + t = constилиF(x − t) = 0 → x − t = const1Лекция №4, НГУ, ММФ, 20102- два семейства характеристик исходного уравнения.Если в исходном уравнении перейти к новым переменным (т.наз. каноническим переменным или характеристическимпеременным)(ξ = x + t,η = x − t,то волновое уравнение перепишется такuξη = 0.Для этого уравнения легко находится общее решениеu = F (ξ) + G(η),где F, G - произвольные функции.Возвращаясь снова к старым переменным, получим общее решение исходного уравненияu = F (x + t) + G(x − t).Поскольку линии t = const не являются характеристиками (в этомслучае γ: Ψ(t, x) = t − t0 и Ψ2t − Ψ2x 6= 0), то задача Коши(utt − uxx = 0,u|t=t0 = ϕ0 (x), ut |t=t0 = ϕ1 (x)поставлена хорошо (корректно поставлена), т.е.

по крайней мере к этой задаче применима теорема Коши-Ковалевской о существовании единственного аналитического решения.2) Возьмем волновое уравнение, записанное в канонических переменныхuxy = f (x, y),характеристическое уравнение которого имеет вид:Ψx Ψy = 0 (γ : Ψ(x, y) = 0).Лекция №4, НГУ, ММФ, 20103Общее решение Ψ = F(y)илиΨ = F(x), где F - произвольная функция,т.е. характеристиками являются прямыеy = const или x = const.yy=constx0x=constОбщее решение исходного уравнения имеет вид:ZyZxu=dξ0f (ξ, η)dη + F (x) + G(y),0F, G - произвольные, достаточно гладкие функции (не обязательно аналитические).Будем теперь искать решение задачи Коши(uxy = f (x, y),u|y=0 = ϕ0 (x), uy |y=0 = ϕ1 (x).Для этого воспользуемся формулой общего решения.

Попытаемсяподобрать функции F, G так, чтобы выполнялись условия приЛекция №4, НГУ, ММФ, 20104y = 0, а именно: F (x) + G(0) = ϕ0 (x),Z xf (ξ, 0)dξ + G0 (0) = ϕ1 (x),0↓f::::::::::::::::::::(x, 0) = ϕ01 (x)т.е. F (x) = ϕ0 (x) − G(0), а функция G(y) не определяется из этихравенств. Следовательно, при произвольных ϕ0 , ϕ1 (x) задача Коши не имеет решения. Если же f (x, 0) ≡ ϕ01 (x), то решение задачиКоши существует, но не единственное, поскольку оно записываетсятак:Zx Zyu = dξ f (ξ, η)dη + ϕ0 (x) + G(y) − G(0),00где G(y) - произвольная дважды непрерывно дифференцируемаяфункция, удовлетворяющая условию:G0 (0) = ϕ1 (0).Конечно, это произошло из-за того, что линия y = 0,на которойставятся данные Коши - характеристика.3)utt = ∆x u, x ∈ Rn ,nPΨ2t − |∇Ψ|2 = 0, |∇Ψ|2 =Ψ2xk ,k=1γ : Ψ(t, x) = 0 − уравнение характеристики.Ψt = ±|∇Ψ| − уравнения Гамильтона-Якоби (см.

§2).Частные решения:(t − t0 )2 − |x − x0 |2 = 0 − коническая поверхность(конус с центром в точке y0 = (t0 , x0 )).Лекция №4, НГУ, ММФ, 20105ty0t0xx00Плоскость (t − t0 )ζ0∗ + (x − x0 , ζb∗ ) = 0, ζ ∗ = (ζ0∗ , ..., ζn∗ ) = (ζ0∗ , ζb∗ ) нормаль к плоскости, причем ζ1∗2 + ... + ζn∗2 = ζ ∗2 .Если взять |ζ ∗ | = 1, то11ζ0∗ = ± √ и ζ1∗2 + ... + ζn∗2 = .22t*45135oo4)∇x u = 0 - уравнение Лапласа, x ∈ Rn ;γ : Ψ(x) = 0 - характеристика,Лекция №4, НГУ, ММФ, 20106|∇Ψ|2 = 0 - т.е. уравнение Лапласа не имеет характеристическихповерхностей (нет вещественных характеристик).Следовательно, задача Коши для уравнения∆x,y u = uxx + uyy = 0с данными на любой аналитической линииΨ(x, y) = 0поставлена корректно в классе аналитических функций.5)ut = ∆x u, x ∈ Rn - уравнение теплопроводностиγ : Ψ(t, x) = 0 - характеристика,|∇Ψ|2 = 0 → Ψxk = 0 → Ψ = F(t) → t = const - характеристики.Значит задача Коши(ut = uxx , x ∈ R1 ,u|t=0 = ϕ0 (x), ut |t=0 = ϕ1 (x)поставлена некорректно.

Другое соображение: задача переопределена. Однако, позже мы установим, что задача(ut = uxx ,(∗)u|t=0 = ϕ0 (x)уже хорошо поставлена (эту задачу тоже называют задачей Коши).Зададимся вопросом: применима ли теорема Коши-Ковалевской(см. §3) к этой задаче. Видно, что непосредственно не применима. Более того, теорема Коши-Ковалевской просто не может бытьобобщена на уравнения вида ut = uxx . С этой целью мы приведемпример аналитической функции ϕ0 (x), для которой не существуетаналитического по t, x решения задачи (∗) (так называемый пример Ковалевской). Это будет означать, что класс аналитическихфункций уже не является классом корректности для этой задачи.Лекция №4, НГУ, ММФ, 20107Пустьϕ0 (x) = (1 + x2 )−1 = 1 − x2 + x4 − ...

=∞∞XXk=u0k x =u0,2m x2m ,m=0k=0где(u0k =(−1)m , k = 2m;0, k = 2m + 1.Предположим, что существует решение задачи (∗) аналитическоев окрестности начала координат:∞Xu(t, x) =ujk tj xkj,k=0и ряд сходится в некоторой окрестности точки (0, 0). Подставляяэтот ряд в уравнение ut = uxx , мы получим рекуррентное соотношение на коэффициенты ряда∞Xut =(j + 1)uj+1,k tj xk = uxx =j,k=0∞X=(k + 2)(k + 1)uj,k+2 tj xk ,j,k=0т.е.(j + 1)uj+1,k = (k + 2)(k + 1)uj,k+2 , j, k ≥ 0или(k + 2)(k + 1)uj−1,k+2 , j ≥ 1, k ≥ 0.jОтсюда легко получаем:ujk =(k + 2j)!u0,k+2j , j ≥ 1, k ≥ 0.j!k!Тогда при k = 2m + 1 : uj,2m+1 = 0, при k = 2m:ujk =uj,2m =(2m + 2j)!(−1)m+j .j!(2m)!Лекция №4, НГУ, ММФ, 20108Итак∞Xu(t, x) =j,k=0∞X(2m + 2j)!ujk t x =(−1)m+j tj x2m .j!(2m)!j,m=0j kОднако этот ряд расходится.

Например ряд∞X(2j)!(−1)j tju(t, 0) =j!j=0расходится при всех t > 0.Классы корректности не ограничиваются только классом аналитических функций.УравнениюXb + ... = f, Lb=Luaαj (t, x)D0j Dxα|α|+j=mсопоставляется характеристическая формаXeK(t, x, ∇Ψ) =aαj (t, x)(Ψt )j (∇Ψ)α ,|α|+j=mхарактеристическое уравнениеeK(t, x, ∇Ψ)= 0.Если Ψ = Φ(t, x) - какое-либо решение этого уравнения, то поверхностьγ : Φ(t, x) = const - характеристика(в смысле нашего определения).Xaαj (t, x, D0i Dxβ u)D0j Dxα u = F (t, x, D0i Dxβ u)|α|+j=m- квазилинейное уравнение порядка m;β = (β1 , ..., βn ), βk ≥ 0, i + |β| ≤ m − 1.Характеристическое уравнениеXeK(t, x, u, ∇Ψ)=aαj (t, x, D0i Dxβ u)(Ψt )j (∇Ψ)α = 0.|α|+j=mЛекция №4, НГУ, ММФ, 20109Поверхность γ : Ψ(t, x) = 0 называется характеристикой квазилинейного уравнения для данного решения u = u(t, x) этого уравнения, если на этой поверхности выполнено следующее равенство¯¯eK(t, x, u, ∇Ψ)¯ = 0.γuξη = 0 → (uξ )η = 0 → uξ = F1 (ξ) →Z→ u = F1 (ξ)dξ +Q(η).| {z }F (ξ)(D02 − Dx2 )u = 0 → (D0 − Dx ) (D0 + Dx )u = 0.{z}|v(D0 − Dx )v = 0 → vt − vx = 0 → v = f (x + t),(D0 + Dx )u = v → ut + ux = v → ut + ux = f (x + t).§5.

Классификация уравнений и систем уравненийматематической физики.Рассмотренные в §4 примеры показывают, что у уравнений математической физики могут быть (а могут и не быть) вещественные характеристики. Основываясь на этом факте, приведем в какомто смысле, пока формальную классификацию уравнений и системуравнений математической физики.b + ... = f (t, x), (t, x) ∈ G,(1) Lu = LuXbL=aαj (t, x)D0j Dxα ,|α|+j=mK(t, x, ζ) =Xaαj (t, x)ζ0j ζ1α1 ...ζnαn ,|α|+j=mζ = µB, det B 6= 0, B - матрица,µ = (µ0 , ..., µn ),e x, µ).K(t, x, ζ) = K(t, x, µB) = K(t,Определение.

Если для точки y0 = (t0 , x0 ) ∈ G существует матe 0 , x0 , µ) содержитрица B0 , такая что форма K(t0 , x0 , µB0 ) = K(tлишь l (0 < l < n + 1) переменных µj , j = 0, ..., n, то говорят, чтоуравнение (1) в точке y0 параболически вырождается.При отсутствии параболического вырождения, если уравнениеK(t0 , x0 , ζ) = 0в точке y0 не имеет действительных решений кроме ζ = 0, тоуравнение (1) в точке y0 называется эллиптическим.Говорят, что уравнение (1) в точке y0 ∈ G гиперболично, еслив пространстве переменных ζj , j = 0, n существует такая прямая,1Лекция №5, НГУ, ММФ, 20102что если ее принять за координатную ось 0µ0 в новых переменных µj , j = 0, n, где ζ = µB0 , то относительно координаты µ0 ,уравнениеK(t0 , x0 , µ) = 0имеет ровно m действительных корней при любом выборе остальных координат.Замечание. Для квазилинейного уравнения порядка m (см.

§4)классификация по типам имеет смысл на известном решенииu = u(t, x).Примеры. Линейное уравнение второго порядка:b + ... = f (x), x ∈ Ω,(2) Lub=LnXaij (x)Di Dj ; Dj =i,j=1∂, j = 1, n.∂xjХарактеристическая форма: ζ1K(x, ζ) =aij (x)ζi ζj , ζ =  ... i,j=1ζnnXилиK(x, ζ) = (Aζ, ζ), A = (aij (x)) = AT .Из теории матриц следует, что существует такая невырожденнаяматрица Bx (для каждой точки x ∈ Ω своя матрица B), причем:I n+00BxT A(x)Bx = D =  0 −In− 0  , n+ + n− + n0 = n;000|{z}кв. матрица порядка n0In+ - единичная матрица порядка n+ и т.д.Тогда:K(x, ζ) = (Aζ, ζ) = ((Bx−1 )T DBx−1 ζ, ζ) =Лекция №5, НГУ, ММФ, 20103= (Dµ, µ) = µ21 + ...

Характеристики

Список файлов лекций