1625915396-080a9d47d07d6b633f2b1b0d68649b55 (843932), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Как мы знаем, для него корректной является задача Коши с аналитическими данными на произвольной гиперповерхности γ : Ψ(x) = 0 (Ψ(x), f (x) - аналитические функции).Однако, мы будем интересоваться классическими решениями уравнения(1).Определение.Вещественная функция u = u(x) называется гармонической в области Ω ⊆Rn , если u(x) ∈ C 2 (Ω) и в каждой точке x ∈ Ω:4x u = 0.Прежде чем мы непосредственно займемся изучением уравнения (1) и различных задач для него, приведем некоторые вспомогательные сведения.1) Формула Остроградского-Гаусса.Пусть Ω ⊂ Rn - ограниченная область, ∂Ω - гладкая граница; N = N (x), x ∈ ∂Ω- единичный вектор внешней нормали к границе ∂Ω:N (x) = {N1 (x), . .
. , Nn (x)}, Ni (x) ∈ C(∂Ω), i = 1, n;A(x) = {A1 (x), . . . , An (x)}, Ai (x) ∈ C(Ω) ∩ C 1 (Ω), i = 1, n;divA(x) ∈ C(Ω) (или divA(x) ∈ L1 (Ω));тогдаZZdivA(x)dx =Ω(A(x), N (x))dS.(2)∂Ω2) Первая и вторая формулы Грина.Пусть u(x) ∈ C 2 (Ω) ∩ C 1 (Ω), v(x) ∈ C 1 (Ω), 4x u(x) ∈ L1 (Ω), тогда, используяформулу (2), получим:RRv · 4x udx = {div(v · ∇u) − (∇u, ∇v)}dx =Ω RRΩR= div(v · ∇u)dx − (∇u, ∇v)dx = v(N, ∇u)dS−(3)Ω RΩR∂ΩR∂udS − (∇u, ∇v)dx.− (∇u, ∇v)dx = v · ∂NΩ∂ΩΩ2(3) - первая формула Грина.Пусть u(x), v(x) ∈ C 2 (Ω) ∩ C 1 (Ω); 4x u(x), 4x v(x) ∈ L1 (Ω).
Тогда, из (3)следуетZZ∂u∂v{v · 4x u − u · 4x v}dx = {v ·−u·}dS.(4)∂N∂NΩ∂Ω(4) - вторая формула Грина.3) Введем в рассмотрение функцию½11− (n−2)σn > 2;n−2 ,n |x|U (x) =1ln |x|,n = 2,2π(5)n/2где σn = 2π- площадь единичной сферы (см. §9).Γ( n)2Функция (5) называется фундаментальным решением для оператора Лапласа, поскольку4x U (x) = 0 (при x 6= 0).В т.x = 0 функция U (x) имеет особенность.4) SR,x - шар,Nxξ ∈ {ξ|ξ − x| = R} - поверхность сферы:µ¶ξ−x∂ξ−x1Nξ =,=, ∇ξ = ((ξ − x), ∇ξ ),R∂NξRRµ¶∂∂|ξ − x| = R, ∇ξ =,··· ,.∂ξ1∂ξn½¾¾¶µ½11∂1==(ξ − x), ∇ξ∂Nξ |ξ − x|n−2R|ξ − x|n−2½¾nn1X11X∂n − 2 2(ξk − xk )==−·=(ξk − xk )(ξk − xk )n−2R k=1∂ξk |ξ − x|R k=12Rnn−2n−2· |ξ − x|2 = − n−1 , |ξ − x| = R.n+1RR½¾1n−2∂= − n−1 , |ξ − x| = R.n−2∂Nξ |ξ − x|R=−Итак(6)35) Для всего дальнейшего материала очень важной является следующаяТеорема 1.Пусть функция u(x) ∈ C 2 (Ω), n ≥ 2. Тогда для любой точки x ∈ Ω имеетместо равенство:¾ZZ ½∂U (x − ξ)∂u(ξ)u(ξ) ·− U (x − ξ) ·dSξ .
(7)u(x) = U (x − ξ) · 4ξ u(ξ)dξ +∂Nξ∂NξΩ∂ΩДоказательство.Пусть n > 2 (доказательство при n = 2 остается прежним). ЗафиксируемNxNпроизвольную точку x ∈ Ω и возьмем малое число ε > 0 такое, что Sε,x ⊂ Ω.Обозначим через Ωε область Ω \ Sε,x . К функциям u(ξ), U (x − ξ), ξ ∈ Ωεприменим вторую формулу Грина (4):ªR©U (x − ξ) · 4ξ u(ξ) − u(ξ) · 4ξ U (x − ξ) dξ =ΩεR©∂U (x−ξ) ª=U (x − ξ) · ∂u(ξ)−u(ξ)·dSξ +∂Nξ∂Nξ(∗)∂ΩªR ©(x−ξ)+U (x − ξ) · ∂u(ξ)− u(ξ) · ∂U∂NdSξ .∂Nξξ|ξ−x|=εОценим второе слагаемое в правой части равенства (∗).
С учётом (5), (6)получаем:R ©∂U (x−ξ) ªdSξ =U (x − ξ) · ∂u(ξ)−u(ξ)·∂Nξ∂Nξ|ξ−x|=ε© 1 ªR ∂u(ξ)R1∂= − (n−2)σ1n εn−2dS+u(ξ)dSξ =ξ∂Nξ(n−2)σn∂Nξ |ξ−x|n−2|ξ−x|=ε|ξ−x|=εR ∂u(ξ)R1= − (n−2)σ1n εn−2dS+u(ξ)dSξ =ξn−1∂Nξσn ε|ξ−x|=ε|ξ−x|=εRR ∂u(ξ)= u(x) + σn ε1n−1{u(ξ) − u(x)}dSξ − (n−2)σ1n εn−2dSξ .∂Nξ|ξ−x|=εµ|ξ−x|=ε¶R1dSξ !1 = σn εn−1|ξ−x|=εПоскольку¯ Z¯¯¯|ξ−x|=ε¯¯{u(ξ) − u(x)}dSξ ¯¯ ≤Z|u(ξ) − u(x)|dSξ = O(ε)σn εn−1 ,|ξ−x|=ε4¯ Z¯¯¯|ξ−x|=ε¯¯∂u(ξ)dSξ ¯¯ ≤∂NξZ|ξ−x|=ε¯¯¯ ∂u(ξ) ¯¯¯¯ ∂Nξ ¯dSξ ≤Z|∇u(ξ)|dSξ ≤ const · σn εn−1|ξ−x|=ε(|(Nξ , ∇u(ξ))| ≤ |Nξ | · |∇u(ξ)|, |Nξ | = 1!),то это слагаемое равно u(x) + O(ε) и стремится к u(x) при ε → 0.Первое слагаемое в правой части равенства (∗) от ε не зависит.
Покажем,что можно перейти к пределу при ε → 0 и в левой части равенства (∗).Действительно:¯Z¯Z¯¯dξ¯ U (x − ξ)4ξ u(ξ)dξ ¯ ≤ const=¯¯|x − ξ|n−2ΩΩ½Zdξ+|x − ξ|n−2= constΩ ε1ZZdξ|ξ − x|n−2¾≤ const|ξ−x|≤ε1dξ=|ξ − x|n−2Zε1 Zrn−1 dS1ε21=σn ,rn−220 |ξ−x|=r|ξ−x|≤ε1ε1 > 0 - некоторая постоянная, Sε1 ,x ⊂ Ω.Итак, переходя к пределу в равенстве (∗) при ε → 0, мы получим представление (7), что и требовалось доказать.Теорема 1.Пусть функция u(x) ∈ C 2 (Ω), n ≥ 2. Тогда для любой точки x ∈ Ω имеетместо равенство¾ZZ ½∂u(ξ)∂U (x − ξ)− U (x − ξ)u(x) = U (x − y)4y u(y)dy +u(ξ)dSξ .
(7)∂Nξ∂NξΩ∂ΩЗамечание.Введем следующие обозначения:Zu0 (x) =U (x − y)ρ0 (y)dy,ΩZu1 (x) =U (x − ξ)ρ1 (ξ)dSξ ,∂ΩZu2 (x) =∂Ω∂U (x − ξ)ρ2 (ξ)dSξ .∂NξФункции u0 , u1 , u2 называются объёмным потенциалом, потенциалом простого слоя, потенциалом двойного слоя с плотностями ρ0 , ρ1 , ρ2 соответственно. Тогда формула (7) может быть переписана так:u(x) = u0 (x) + u2 (x) − u1 (x),(70 )т.е. в виде суммы (алгебраической) объёмного потенциала (с плотностью), потенциала двойного4y u(y)), потенциала простого слоя (с плотностью ∂u(ξ)∂Nξслоя (с плотностью u(ξ)).Замечание.Если x0 ∈ ∂Ω, граница ∂Ω - гладкая, то вместо (7) аналогичными рассуждениями можно получить следующее соотношение:¾ZZ ½∂u(ξ)1∂U (x0 − ξ)000u(x ) = U (x −y)4y u(y)dy+−U (x −ξ)dSξ .
(8)u(ξ)2∂Nξ∂NξΩ∂Ω5Пусть теперь z ∈/ Ω По второй формуле Грина (4) получаем (для пары функций U (z − y), u(y)):¾ZZ ½∂U (z − ξ)∂u(ξ)−u(ξ){U (z−y)4y u(y)−u(y)4y U (z−y)}dy =U (z−ξ)dSξ∂Nξ∂NξΩ∂ΩилиZ0=Ω¾Z ½∂U (z − ξ)∂u(ξ)U (z − y)4y u(y)dy +u(ξ)− U (z − ξ)dSξ .∂Nξ∂Nξ(9)∂ΩСледовательно u(x), x ∈ Ω;1u(x), x ∈ ∂Ω;u0 (x) + u2 (x) − u1 (x) = 20,x∈/ Ω.Рассмотрим теперь некоторые свойства гармонических функция (замечаниеоб их большом количестве).1) Пусть гармоническая функция u(x) ∈ C 2 (Ω). ТогдаZZZZ∂u0 = 4x u(x)dx = div(∇u)dx = (N, ∇u)dS =dS.(10)∂NΩΩ∂Ω∂Ω(можно требовать от функции u(x): u(x) ∈ C 2 (Ω) ∩ C 1 (Ω), 4x u(x) ∈ L1 (Ω)).2) Пусть гармоническая функция u(x) ∈ C 2 (Ω). Тогда из (7) следует¾Z ½∂U (x − ξ)∂u(ξ)u(x) =u(ξ)− U (x − ξ)dSξ .(11)∂Nξ∂Nξ∂Ω3) Теорема 2 (первая теорема о среднем)Пусть u(x) - гармоническая в области Ω функция, x - произвольная точка изобласти Ω. Тогда при любом r: 0 < r < d, где d = d(x) - расстояние точки xдо границы ∂Ω, имеет место равенствоZ1u(x) =u(ξ)dSξ .(12)σn rn−1|ξ−x|=rДоказательство.Напомним, что d = min |ξ − x| (см.
§11). Поскольку u(ξ) ∈ C 2 (Sr,x ), то к нейξ∈∂Ωприменима формула (11):¾Z ½∂U (x − ξ)∂u(ξ)u(x) =u(ξ)− U (x − ξ)dSξ =∂Nξ∂Nξ|ξ−x|=r1=−(n − 2)σnZ|ξ−x|=r(в силу (6) и (10))∂u(ξ)∂Nξ½¾11dSξ +n−2|ξ − x|(n − 2)σn rn−21=σn rn−1Z|ξ−x|=r∂u(ξ)dSξ =∂NξZu(ξ)dSξ ,|ξ−x|=rчто и требовалось доказать.Задача.В каком месте при доказательстве Теоремы 2 мы использовали условие 0 <r < d? Нельзя ли это условие заменить на следующее: 0 < r ≤ d.6NxS r,x4) Теорема 3 (вторая теорема о среднем)В условиях Теоремы 2 имеет место равенство:Z1u(x) =u(ξ)dξ.σn rn(13)Sr,xСогласно Теореме 2 для любого ρ: 0 < ρ < d имеет место равенство (12)Zn−1σn ρ u(x) =u(ξ)dSξ .|ξ−x|=ρОтсюда получаем:µ ZZr¶u(ξ)dSξdρ0|ξ−x|=ρZ=Zrρn−1 u(x)dρ =u(y)dy = σnSr,xσn rnu(x),n0что и требовалось доказать.5) Следующие теоремы о свойствах гармонических функций мы сформулируем без доказательства.Теорема 4.Гармоническая в области Ω функция u(x) ∈ C ∞ (Ω).Теорема 5.Пусть функция u(x) гармонична в Ω и |u(x)| ≤ M < ∞.
Тогда любая производная Dxα u(x), |α| = k, k = 1, 2, . . . в точке x ∈ Ω удовлетворяет неравенствуµ ¶knα|Dx u(x)| ≤ M· kk ,(14)dгде d = min |ξ − x| - расстояние от точки x до границы ∂Ω области Ω.ξ∈∂ΩЗамечание.Теоремы 4,5 доказываются с использованием теорем о среднем.Наконец, используя теорему 5 можно доказатьТеорему 6.Функция u(x), гармоническая в области Ω, является аналитической в Ω, т.е.в окрестности любой т.x0 ∈ ΩX¯1u(x) =Cα (x − x0 )α , Cα = Dxα u(x)¯x=x0 (см. §1).α!|α|≥07Интересно отметить, что при n = 2 наряду с теоремой 6 имеет местоболее глубокий результат, связывающий гармонические функции u(x1 , x2 ) саналитическими функциями одного комплексного переменного z = x1 + ix2 .Теорема 7.Для того, чтобы функция u(x1 , x2 ) была гармонической в односвязной областиΩ, необходимо и достаточно, чтобы существовала такая аналитическая в Ωфункция f (z), z = x1 + ix2 , чтоu(x1 , x2 ) = Re f (z).Следствие из теоремы 7.Пусть аналитическая в односвязной области Ω функция z 0 = F (z) взаимнооднозначно отображает эту область на некоторую односвязную область Ω0комплексной плоскости z 0 = x01 + ix02 Если функция u0 (x01 , x02 ) гармонична вΩ0 , то функция u(x1 , x2 ) = u0 (F1 (x), F2 (x)), F (z) = F1 (x) + iF2 (x) гармоничнав Ω.
6) В заключение этого параграфа рассмотрим еще одно очень важноеz’zz’ =F(z)’свойство гармонических функцийТеорема 8 (принцип максимума)Пусть гармоническая в области Ω функция u(x) ∈ C 2 (Ω) ∩ C(Ω). Тогда илиu(x) ≡ const в Ω, илиmin u(ξ) < u(x) < max u(ξ) для ∀x ∈ Ω.ξ∈∂Ωξ∈∂Ω(15)Доказательство.Пусть M = max u(x). Пусть в области Ω ∃ т.
xe0 ∈ Ω такая, что u(ex0 ) ≥x∈Ωmax u(ξ). Покажем тогда, что u(x) ≡ M в Ω.ξ∈∂ΩДействительно, если такая точка xe0 существует, то существует т.x0 ∈ Ωтакая, что u(x0 ) = M . Возьмем произвольную т.y ∈ Ω и покажем, что u(y) =yx0M . Соединим т.x0 с т.y конечнозвенной ломаной линией L ⊂ Ω.8Пусть d = min{min |ξ − x|} > 0.x∈L ξ∈∂ΩШары S d ,xi , i = 0, N ; центры шаров xi ∈ L ∩ S d ,xi−1 , i = 1, N ; x0 - центр22шара S d ,x0 ; y ∈ S d ,xN .
В силу второй теоремы о среднем:22nu(x ) =σn ( d2 )nZ0u(x)dxS d ,x02илиZ{u(x) − u(x0 )}dx = 0.S d ,x02Поскольку u(x) ≤ u(x0 ), то u(x) ≡ u(x0 ) = M в S d ,x0 ; в том числе, u(x1 ) = M ,2x1 ∈ L ∩ S d ,x0 - центр шара S d ,x1 и т.д.22Итак, u(x) ≡ M в S d ,xN и, в частности, u(y) = M , что и требовалось2доказать. Таким образом показано, что или u(x) ≡ const в Ω или для всехx ∈ Ω имеет место правое из неравенств (15). Применяя эти рассуждения кфункции −u(x), получим, что или u(x) ≡ const в Ω, или для всех x ∈ Ω имеетместо левое из неравенств (15), что и требовалось доказать.Следствие из теоремы 8.Для любой гармонической в Ω функции u(x) ∈ C 2 (Ω) ∩ C(Ω) имеет местонеравенство:||u||C(Ω) = max |u(x)| ≤ ||u||C(∂Ω) = max |u(x)|.x∈Ωx∈∂Ω(16)1§13Краевые задачи для уравнений Лапласаи Пуассона. Задача Дирихле в шаре.Сформулируем теперь некоторые краевые задачи для уравнений Лапласа иПуассона (заметим, что в §7 мы уже сформулировали так называемую задачуДирихле в круге (n = 2)).Определение.Первой краевой задачей (или задачей Дирихле) для уравнения Пуассона (илиЛапласа) называется задача о нахождении функции u(x) ∈ C 2 (Ω) ∩ C(Ω),удовлетворяющей следующим условиям:½4x u = f (x)(= 0), x ∈ Ω;(1)u|∂Ω = ϕ(x), x ∈ ∂Ω;f , ϕ - заданные функции.Третьей краевой задачей для уравнения Пуассона (или Лапласа) называется задача о нахождении функции u(x) ∈ C 2 (Ω) ∩ C 1 (Ω), удовлетворяющейследующим условиям:½4x u = f (x)(=¡ ∂u¢¯ 0), x ∈ Ω;(2)+ σ(x)u ¯∂Ω = ϕ(x), x ∈ ∂Ω;∂N∂f , ϕ, σ - заданные функции; ∂N= (N, ∇), N - единичная внешняя нормаль к∂Ω.Если σ(x) ≡ 0, то задача (2) называется второй краевой задачей (или задачей Неймана) для уравнения Пуассона (или Лапласа).Замечание.а) Давая определение краевых задач, мы сразу ведем речь о классическомрешении той или иной задачи.б) При n = 2 задачи (1), (2) имеют четкий физический смысл: например, ониописывают распределение прогиба упругой мембраны (при том или ином способе крепления края мембраны).в) Давая определение краевых задач, мы полагали, что Ω ⊂ Rn - ограниченная область.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
