1625915396-080a9d47d07d6b633f2b1b0d68649b55 (843932), страница 16

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

Òîãäà óðàâíåíèåäëÿ áèõàðàêòåðèñòèê ïåðåïèøåòñÿ òàê:r0 = Hp (p0 )èëèr = r0 + tHp (p0 ),ãäå p = p0 (r0 ) = ∇ϕ0 (r0 ). Ñëåäîâàòåëüíî, â ýòîì ñëó÷àå, áèõàðàêòåðèñòèêè ïðÿìûå ëèíèè. Ôóíêöèÿ ϕ íàõîäèòñÿ òàê:ϕ(t, r) = ϕ0 (r0 ),ãäå r0 = r0 (t, r) åñòü ðåøåíèå óðàâíåíèÿr0 + tHp (p0 ) = r,p0 = p0 (r0 ) = ∇ϕ0 (r0 ).(13)Íàêîíåö, ïðåäïîëîæèì, ÷òî ϕ0 (x0 , y0 ) ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ. Òîãäàp0 = const è èç (13) ïîëó÷àåì:r0 = r − tHp (p0 ),ò.å. ϕ(t, r) = ϕ0 (r0 ) = ϕ0 (r − tHp (p0 )) ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ.

Íàêîíåö, åùåðàç çàìåòèì, ÷òî "øàïî÷êà"çàäàåòñÿ óðàâíåíèåìϕ0 (r0 (t, r)) = 0,ò.å. ìû èìååì óðàâíåíèå ïëîñêîñòè.Ïðèñòóïèì òåïåðü ê ðàçáîðó ïðèìåðà.Ïðèìåð 2. Âîçüìåì óðàâíåíèå Ãàìèëüòîíà-ßêîáè èç Ïðèìåðà 1 ýòîãîïàðàãðàôà:qϕt −ϕ2x + ϕ2y = 0.Ñèñòåìà (10) â ýòîì ñëó÷àå èìååò âèä: dx= − √ p21 2 , dy= − √ p22dtdtp1 +p2p1,2dt= 0,p1 +p22,8ò.å. p1,2 = ϕ0 x,y (x0 , y0 ) = p1,2 0 .Óðàâíåíèå áèõàðàêòåðèñòèê èìååò âèä: x = x0 − √ 2p10 2 t, y = y0 − √p10 +p20 p = ϕ (x , y ),100x 0 0p20t,p210 +p220p20 = ϕ0y (x0 , y0 ).Ñëåäîâàòåëüíî,ϕ(t, x, y) = ϕ0 (x0 , y0 ) = 0,x0 = x0 (t, r), y0 = y0 (t, r)è åñòü èñêîìàÿ ïîâåðõíîñòü, îãðàíè÷èâàþùàÿ îáëàñòü åäèíñòâåííîñòè(íà÷àëüíûå äàííûå çàäàþòñÿ ïðè t = 0, (x, y) ∈ ω(0))(,00)t0<00(, )=00 >0Ðèñ.

4Ðàññìîòðèì òåïåðü, êàê ìåíÿåòñÿ ãðàíèöà ñå÷åíèÿ ω(t) ïðè èçìåíåíèè t.Î÷åâèäíî, ÷òî óðàâíåíèå ãðàíèöû ýòîãî ñå÷åíèÿϕ(t, x, y) = 0 äëÿ äàííîãî t.Âäîëü áèõàðàêòåðèñòèê p1,2 ïîñòîÿííû, ñëåäîâàòåëüíî ïîñòîÿíåí âåêòîðñêîðîñòè äâèæåíèÿ ( dx, dy ) âäîëü áèõàðàêòåðèñòèê, ïðè÷åìdt dt°µ¶°° dx dy °°°° dt , dt ° = 1è íàïðàâëåí ýòîò âåêòîð â îáðàòíóþ ñòîðîíó, ÷åì âåêòîð (p1 , p2 ). Ñëåäîâàòåëüíî, äâèãàÿñü ïî áèõàðàêòåðèñòèêå, ìû ñìåùàåìñÿ âíóòðü îáëàñòèω(0) ïî íîðìàëè ê åå ãðàíèöå ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ 1. Òåïåðü ïîíÿòíî, ïî÷åìó ó íàñ íà ðèñóíêå â §19 îáëàñòü G ñ ðîñòîì t óìåíüøàåò ñâîèðàçìåðû.9Íàñ áóäóò òàêæå èíòåðåñîâàòü îáëàñòè ω(0), ãðàíèöà êîòîðûõ ñîñòàâëåíà èç êóñêîâ ïðÿìûõ ëèíèé.

 ýòîì ñëó÷àå èñêîìàÿ ïîâåðõíîñòü,îãðàíè÷èâàþùàÿ îáëàñòü åäèíñòâåííîñòè áóäåò êóñî÷íî-ãëàäêîé (ãëàäêèå êóñêè êóñêè ïëîñêîñòåé). Ïóñòü îáëàñòü ω(0) èìååò ñëåäóþùèéâèäy-30xω(0)-1Ðèñ. 5ïðè÷åìïðè ýòîìy = 0,−x − 3 = 0,ϕ0 (x, y) =x = 0,−y − 1 = 0;y = 0, (ϕ0x = p10 = 0, ϕ0y = p20 = 1),−x − 3 = 0, (ϕ0x = −1, ϕ0y = 0),x = 0, (ϕ0x = 1, ϕ0y = 0),−y − 1 = 0, (ϕ0x = 0, ϕ0y = −1).Çíà÷èò ïîâåðõíîñòü ϕ(t, x, y) = 0 ñîñòîèò èç êóñêîâ ïëîñêîñòåé, êîòîðûå íàõîäèì òàê: èùåì óðàâíåíèÿ ïîâåðõíîñòè ϕ(t, x, y) = 0 â âèäåat + bx + cy + d = 0:at + y = 0,at − x − 3 = 0,(+)at + x = 0,at − y − 1 = 0,à êîíñòàíòó a íàõîäèì èç óñëîâèÿ, ÷òî ôóíêöèè (+) óäîâëåòâîðÿþòóðàâíåíèþqϕt − ϕ2x + ϕ2y = 0,ò.å.

a = 1 âî âñåõ ñëó÷àÿõ. ßñíî, ÷òî èíòåãðàëZZ{(U, L(n)U )}dSSáîê10ðàçáèâàåòñÿ íà ñóììó ÷åòûðåõ èíòåãðàëîâ ïî êàæäîìó êóñêó ïëîñêîñòè(êàæäûé èíòåãðàë > 0, ñëåäîâàòåëüíî è âñÿ ñóììà > 0). Èòàê, îáëàñòü{ϕ < 0, t > 0} ÿâëÿåòñÿ îáëàñòüþ åäèíñòâåííîñòè äëÿ ñèñòåìû (∗)..

Характеристики

Список файлов лекций