1625915396-080a9d47d07d6b633f2b1b0d68649b55 (843932), страница 15
Текст из файла (страница 15)
ðèñóíîê) "øàïî÷êîé"S = ω(0) ∪ ω(t∗ ) ∪ Sáîê .tTSбокt*ω (t*)G(τ, ξ , η )yω(0)xÏðîèíòåãðèðóåì òîæäåñòâî (7) ïî îáëàñòè G. Ïîñëå ïðèìåíåíèÿ ôîðìóëû Ãàóññà-Îñòðîãðàäñêîãî (ñì. §12), ïîëó÷èì:RRR0={(U, AU )t + (U, BU )x + (U, CU )y }dx dy dt =G RR(8)= {τ (U, AU ) + ξ(U, BU ) + η(U, CU )}dS.SÇäåñü (τ, ξ, η) åäèíè÷íûé âåêòîð âíåøíåé íîðìàëè ê ïîâåðõíîñòè S (ñì.ðèñóíîê). Òîæäåñòâî (8) è íàçûâàåòñÿ èíòåãðàëîì ýíåðãèè äëÿ ñèñòåìû(1).Ïðåäëîæåíèå. ÏóñòüZZ{(U, [τ A + ξB + ηC]U )}dS ≥ 0. !!(9)Sáîê ñèëó ïðåäïîëîæåíèÿ (9) èç (8) ïîëó÷àåì:RR0={(U, [τ A + ξB + ηC]U )}dS =SRR= I(t∗ ) − I(0) +{(U, [τ A + ξB + ηC]U )}dSSáîêèëèI(t∗ ) − I(0) ≤ 0,4ò.å.I(t) ≤ I(0),Çäåñü0 < t ≤ t∗ < T.ZZI(t) =(10)ZZ(U, AU )dx dy,I(0) =ω(t)(U0 , AU0 )dx dy.ω(0)Îöåíêà (10) è åñòü èñêîìàÿ àïðèîðíàÿ îöåíêà äëÿ ðåøåíèé çàäà÷è (5).ż ìîæíî ïåðåïèñàòü è òàê:kU (t)k2L2 (ω(t)) ≤λmax (A)kU0 k2L2 (ω(0)) ,λmin (A)(100 )ãäå λmax (A), λmin (A) > 0 (A > 0 !) ìàêñèìàëüíîå è ìèíèìàëüíîå ñîáñòâåííûå ÷èñëà ìàòðèöû A;λmin (A)(U, U ) ≤RR(U, AU ) ≤ λmax (A)(U, U ) íåðàâåíñòâà Êóðàíòà,kU (t)k2L2 (ω(t)) = (U, U )dx dy .ω(t)Ïîêàæåì, êàê ñ ïîìîùüþ îöåíêè (10) ìîæíî äîêàçàòü åäèíñòâåííîñòüêëàññè÷åñêîãî ðåøåíèÿ âíóòðè "øàïî÷êè" S è íåïðåðûâíóþ çàâèñèìîñòüåãî îò íà÷àëüíûõ äàííûõ.
Ïóñòü íà÷àëüíûì äàííûì U0 (x, y) ñîîòâåòñòâóþò äâà ðåøåíèÿ U I,II (t, x, y). Òîãäà âåêòîð-ôóíêöèÿ U = U I − U IIóäîâëåòâîðÿåò çàäà÷å (5) ñ U |t=0 ≡ 0. Ïðèìåíÿÿ îöåíêó (10) äëÿ ðàçíîñòèU , ïîëó÷èì: I(t) ≤ 0, ò.å. U (t, x, y) ≡ 0, 0 < t ≤ T .Ýòî óòâåðæäåíèå è åñòü òåîðåìà åäèíñòâåííîñòè.Àíàëîãè÷íî, ïóñòü íà÷àëüíûì äàííûì U0I,II ñîîòâåòñòâóþò ðåøåíèÿ U I,II .Òîãäà äëÿ ðàçíîñòè U = U I − U II ïîëó÷àåì îöåíêó:kU (t)k2L2 (ω(t)) = kU I (t) − U II (t)k2L2 (ω(t)) ≤λmax (A) IkU − U0II k2L2 (ω(0)) .
(1000 )λmin (A) 0Îöåíêà (1000 ) è óñòàíàâëèâàåò ôàêò íåïðåðûâíîé çàâèñèìîñòè ðåøåíèÿçàäà÷è (5) îò íà÷àëüíûõ äàííûõ U0 (x, y). çàêëþ÷åíèè ýòîãî ïàðàãðàôà êðàòêî îñòàíîâèìñÿ íà âîïðîñå: êàêîöåíèòü íå òîëüêî ñàìî ðåøåíèå ñèñòåìû (5), íî è ïðîèçâîäíûå îò ðåøåíèÿ. Ñ ýòîé öåëüþ âûïèøåì òàê íàçûâàåìóþ ðàñøèðåííóþ ñèñòåìóAUt + BUx + CUy = 0,A(Ut )t + B(Ut )x + C(Ut )y = 0,A(Ux )t + B(Ux )x + C(Ux )y = 0,A(Uy )t + B(Uy )x + C(Uy )y = 0,5êîòîðóþ ìû ïåðåïèøåì â ìàòðè÷íîìA 0 0 0B 0 0 0 A 0 0 0 B 0 0 0 A 0 Vt + 0 0 B0 0 0 A0 0 0ãäåâèäå:00 Vx + 0 BC 0 0 00 C 0 0 = 0,0 0 C 0 0 0 0 C(11)U Ut V = Ux .UyËåãêî âèäåòü, ÷òî ñèñòåìà (11) ñèììåòðè÷åñêàÿ t-ãèïåðáîëè÷åñêàÿ (ïîÔðèäðèõñó) è ñëåäîâàòåëüíî ê íåé ïðèìåíèìû âñå âûøåïðèâåäåííûåðàññóæäåíèÿ ïî ïîâîäó âûâîäà îöåíêè âèäà (10). Íà÷àëüíûå äàííûå äëÿñèñòåìû (11) ïîëó÷àþòñÿ äèôôåðåíöèðîâàíèåì ïî x, y íà÷àëüíûõ äàííûõ äëÿ èñõîäíîé âåêòîð-ôóíêöèè U , à íà÷àëüíûå çíà÷åíèÿ Ut âû÷èñëÿþòñÿ ñ ïîìîùüþ ñèñòåìû (1):Ut = −A−1 {BUx + CUy }.Çàìå÷àíèå.
Ïîâåðõíîñòü Sáîê íàçûâàåòñÿ ïîâåðõíîñòüþ, îãðàíè÷è-âàþùåé îáëàñòü åäèíñòâåííîñòè.120 Ïîñòðîåíèå ïîâåðõíîñòåé, îãðàíè÷èâàþùèõ îáëàñòü åäèíñòâåííîñòè ïðåäûäóùåì §19 ïðè ïîëó÷åíèè àïðèîðíîé îöåíêè ðåøåíèé çàäà÷è (5)ìû ñòîëêíóëèñü ñ íåîáõîäèìîñòüþ ïîñòðîåíèÿ òàêèõ ïîâåðõíîñòåé Sáîê ,äëÿ êîòîðûõ âûïîëíåíî ïðåäïîëîæåíèå:ZZ{(U, [τ A + ξB + ηC]U )}dS > 0,(1)Sáîêãäå (τ, ξ, η) åäèíè÷íûé âåêòîð âíåøíåé íîðìàëè ê Sáîê . Ðàññìîòðèìñíà÷àëà ñëó÷àé, êîãäà êîýôôèöèåíòû ìàòðèö A, B , C ïîñòîÿííûå.Îïèøåì ìíîæåñòâîK = {n = (τ, ξ, η); L(n) = τ A + ξB + ηC > 0}.Ñðàçó çàìåòèì, ÷òî ìíîæåñòâî K íåïóñòîå, ïîñêîëüêó âåêòîðà n =(µ, 0, 0), µ > 0 ëþáîå ÷èñëî, ïðèíàäëåæàò ìíîæåñòâó K (A > 0 !).
Äàëåå,åñëè íåêîòîðûé âåêòîð nb ∈ K, òî è µbn ∈ K, µ > 0. Ýòî óòâåðæäåíèåîçíà÷àåò, ÷òî ìíîæåñòâî K êîíóñ:τμηξÐèñ. 1Çàäà÷à 1. Ïîêàæèòå, ÷òî ìíîæåñòâî K âûïóêëîå ìíîæåñòâî, ò.å.åñëè nb1 , nb2 ∈ K, òî nbα ∈ K, ãäå nbα = (1 − α)bn1 + αbn2 , 0 6 α 6 1.ßñíî òàêæå, ÷òî êîíóñ K íå ñîâïàäàåò ñî âñåì ïðîñòðàíñòâîì τ, ξ, η ,ïîñêîëüêó âåêòîð (−1, 0, 0) ∈/ K.Îïèøåì òåïåðü ãðàíèöó ìíîæåñòâà K: ∂K. Âåêòîðà nb, äëÿ êîòîðûõL(bn) > 0 íå ìîãóò ïðèíàäëåæàòü ãðàíèöå ∂K (ïîñêîëüêó â ñèëó íåïðåðûâíîé çàâèñèìîñòè λ(L(n)) îò n, ìû ìîæåì ðàñøèðèòü îáëàñòü K).2Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî äëÿ âåêòîðîâ n ∈ ∂K, ïî êðàéíåé ìåðå îäíî èçñîáñòâåííûõ çíà÷åíèéλ(L(n)) = 0,ò.å. äëÿ âåêòîðîâ n ∈ ∂K:det(L(n)) = det(τ A + ξB + ηC) = 0.(2)Íî ðàâåíñòâî (2) ýòî íå ÷òî èíîå, êàê õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèåäëÿ ñèñòåìûAUt + BUx + CUy = 0(3)(ñì. § 5 íàøèõ ëåêöèé).
Óðàâíåíèå (2) îïðåäåëÿåò òàê íàçûâàåìûé êîíóñõàðàêòåðèñòè÷åñêèõ íîðìàëåé (ò.å. íîðìàëåé ê õàðàêòåðèñòèêàì).Çàäà÷à 2. Ïîêàæèòå, ÷òî ìíîæåñòâî âåêòîðîâ n = (τ, ξ, η), óäîâëåòâîðÿþùèõ (2) îáðàçóþò êîíóñ (äîêàçàòåëüñòâî îñíîâàíî íà ôàêòå:det(L(µn)) = µN det(L(n)), µ > 0,ãäå N ïîðÿäîê ìàòðèö A, B , C ).Òåïåðü ÿ îïèøó àëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ ìíîæåñòâà K = K ∪ ∂K. Èç § 5ñëåäóåò, ÷òî óðàâíåíèå (2) èìååò N âåùåñòâåííûõ êîðíåéτ = τ (ξ, η)ïðè ëþáûõ âåùåñòâåííûõ ξ , η , ξ 2 + η 2 6= 0.Ïîñòðîèì ôóíêöèþτ ∗ (ξ, η),ãäå τ ∗ (ξ, η) íàèáîëüøèé êîðåíü óðàâíåíèÿ (2) äëÿ êàæäîé ôèêñèðîâàííîé ïàðû (ξ, η). Òîãäà ìíîæåñòâî K çàäàåòñÿ íåðàâåíñòâîìτ > τ ∗ (ξ, η)èëè ïîëàãàÿ τ ∗ = −H(ξ, η), ïîëó÷èìτ + H(ξ, η) > 0.(4)Çàäà÷à 2. Äîêàæèòå, ÷òîH(µξ, µη) = µH(ξ, η), µ > 0. ñëó÷àå, åñëè H äèôôåðåíöèðóåìàÿ ôóíêöèÿ, òî ïî òåîðåìå Ýéëåðàîá îäíîðîäíûõ ôóíêöèÿõH = ξHξ + ηHη .3Ìû íå áóäåì ïðèâîäèòü äîêàçàòåëüñòâà àëãîðèòìà ïîñòðîåíèÿ ìíîæåñòâà K â îáùåì ñëó÷àå, à îãðàíè÷èìñÿ òîëüêî ðàññìîòðåíèåì ïðèìåðà.Ïðèìåð 1.
 êà÷åñòâå ïðèìåðà ðàññìîòðèì ñèñòåìó èç §19:(∗ )AUt + BUx + CUy = 0ãäå0 0 −10 −1 01 0 0A = 0 1 0 , B = −1 0 0 , C = 0 0 0 .−1 0 000 00 0 1Äëÿ (∗) íàõîäèì:τ −ξ −η0 ,L(n) = −ξ τ−η 0τppλ1,2,3 (L(n)) = τ, τ + ξ 2 + η 2 , τ − ξ 2 + η 2 ;det(L(n)) = τ {τ 2 − η 2 − ξ 2 },pH(ξ, η) = − ξ 2 + η 2 ;pK : τ − ξ 2 + η2 > 0τ1 = 0, τ2,3 = ±pτ=2+2η0=Ðèñ. 22+2ξ 2 + η2;4Åñëè òåïåðü ñ÷èòàòü, ÷òî êîýôôèöèåíòû ìàòðèö A, B , C ñèñòåìû (3)çàâèñÿò îò t, x, y , òî ÿñíî, ÷òî äëÿ êàæäîé òî÷êè (t, x, y) ñâîé êîíóñ K.Ïîýòîìó, ìû äîëæíû íåðàâåíñòâî (4) ïåðåïèñàòü òàê:(40 )τ + H(t, x, y, ξ, η) > 0,ïðè ýòîìH(t, x, y, µξ, µη) = µH(t, x, y, ξ, η), µ > 0.Ðàññìîòðèì òåïåðü íåêîòîðóþ îáëàñòü G ñ ïîâåðõíîñòüþ Sáîê , óðàâíåíèå êîòîðîée S6 0:=ϕ(t, x, y) = 0, ∇ϕ|áîê>0G:{ <0,t>0}(,,)0(<0, )=00<0ω(0)0(0 >0, )=0000>0Ðèñ. 3Åñëè n = (τ, ξ, η) åäèíè÷íûé âåêòîð âíåøíåé íîðìàëè ê Sáîê , òî ∃k =k(t, x, y) > 0, ÷òîek · n = ∇ϕíà Sáîê .(5)Ïîòðåáóåì, ÷òîáû íà ïîâåðõíîñòè "øàïî÷êè"L(n) > 0,ò.å.
÷òîáû â êàæäîé òî÷êå, ïðèíàäëåæàùåé Sáîêτ + H(t, x, y, ξ, η) > 0èëèkτ + H(t, x, y, kξ, kη) > 05èëè â ñèëó (5):ϕt + H(t, x, y, ϕx , ϕy ) > 0.(6)Íåðàâåíñòâî (6) íàçûâàåòñÿ íåðàâåíñòâîì Ãàìèëüòîíà-ßêîáè. Ñðåäè âñåõïîâåðõíîñòåé, óäîâëåòâîðÿþùèõ ýòîìó íåðàâåíñòâó îñîáóþ ðîëü áóäóòèãðàòü òå ïîâåðõíîñòè, äëÿ êîòîðûõ ôóíêöèÿ ϕ óäîâëåòâîðÿåò ðàâåíñòâóϕt + H(t, x, y, ϕx , ϕy ) = 0.(7)Ðàâåíñòâî (7) íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì Ãàìèëüòîíà-ßêîáè.
Î÷åâèäíî, ÷òîåñëè âû÷èñëèòü èíòåãðàëZZ{(U, L(n)U )}dSSáîêïî ïîâåðõíîñòè ϕ(t, x, y) = 0, óäîâëåòâîðÿþùåé óðàâíåíèþ (7), òî ýòîòèíòåãðàë áóäåò íåîòðèöàòåëüíûì.Çàìå÷àíèå. Ïîâåðõíîñòü ϕ(t, x, y) = 0, óäîâëåòâîðÿþùàÿ óðàâíåíèþ (7)ÿâëÿåòñÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêîé (ñì. îïðåäåëåíèå õàðàêòåðèñòèêè èç §5).Ðàññìîòðèì òåïåðü âîïðîñ î ïîñòðîåíèè "øàïî÷êè"Ãàìèëüòîíà-ßêîáè,ò.å. î íàõîæäåíèè ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè:(ϕt + H(t, x, y, ϕx , ϕy ) = 0,(8)ϕ|t=0 = ϕ0 (x, y).Ïîñëå íàõîæäåíèÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè (8) ϕ = ϕ(t, x, y) ïîâåðõíîñòüøàïî÷êè íàõîäèòñÿ èç óðàâíåíèÿϕ(t, x, y) = 0,à îáëàñòü G = {(t, x, y) : ϕ < 0, t > 0}.Âîïðîñ î íàõîæäåíèè ðåøåíèé çàäà÷è Êîøè (8) óæå íàìè áûë ðàññìîòðåí â §2. Êðàòíî íàïîìíèì îñíîâíûå ìîìåíòû ïîñòðîåíèÿ ðåøåíèé çàäà÷è Êîøè (8). Ïðîäèôôåðåíöèðóåì óðàâíåíèåϕt + H(t, r, p) = 0,r = (x, y),p = (p1 , p2 ) = ∇ϕ = (ϕx , ϕy )ïî x, y :L[p ] = −∇H = −(Hx , Hy ),ãäåL=∂∂∂+ Hp1+ Hp2 ,∂t∂x∂yH p1 =∂H∂H, Hp2 =.∂p1∂p2(9)6Ñîïóòñòâóþùàÿ ñèñòåìà îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé äëÿ ñèñòåìû êâàçèëèíåéíûõ óðàâíåíèé (9) âûïèñûâàåòñÿ òàê:( ∂r= r0 = (Hp1 , Hp2 ) = Hp ,∂t(10)∂p0=p=−∇H.∂tÏóñòü ôóíêöèÿ H(t, x, y, ξ, η) äèôôåðåíöèðóåìà ïî ξ , η (÷òî, âïðî÷åì,ìû óæå èñïîëüçîâàëè ïðè íàïèñàíèè ñèñòåìû (9)).
Òîãäà, èñïîëüçóÿñâîéñòâî îäíîðîäíîñòè ôóíêöèè H ïî ïåðåìåííûì ξ , η , óðàâíåíèåϕt + H(t, r, p) = 0ïåðåïèøåì òàê:ϕt + (p, Hp ) = 0,ò.å.L[p ] = 0.Ïîýòîìó äëÿ íàõîæäåíèÿ ôóíêöèè ϕ = ϕ(t, r) äîñòàòî÷íî ê ñèñòåìå (10)äîïèñàòü åùå îäíî óðàâíåíèå∂ϕ= ϕ0 = 0.∂tÇàìåòèì, ÷òî ñèñòåìà(11)r 0 = Hpîïèñûâàåò õàðàêòåðèñòèêè ñèñòåìû (9), êîòîðàÿ â ñâîþ î÷åðåäü ïîëó÷åíà èç óðàâíåíèÿ (7), êîòîðîå â ñâîþ î÷åðåäü îïèñûâàåò íåêîòîðóþõàðàêòåðèñòè÷åñêóþ ïîâåðõíîñòü ñèñòåìû (3).Ïîýòîìó, âî èçáåæàíèå ïóòàíèöû, õàðàêòåðèñòèêè ñèñòåìû (9) íàçûâàþòñÿ áèõàðàêòåðèñòèêàìè.
Ñóììèðóÿ âñå âûøåèçëîæåííîå, ìîæíî ñêàçàòü òàê: ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè (8) ñâîäèòñÿ â êîíå÷íîì èòîãå êèíòåãðèðîâàíèþ ñèñòåìû îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé(10), (11) ñî ñëåäóþùèìè íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè (êîòîðûå ïîðîæäåíûíà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè çàäà÷è (8)):r| = r0 = (x0 , y0 ) ∈ ω(0) ⊂ R2 (x, y), t=000(12)(x0 , y0 ), ∂ϕ(x0 , y0 )),p|t=0 = p0 = ∇ϕ0 (r0 ) = ( ∂ϕ∂x∂yϕ|t=0 = ϕ0 (r0 ) = ϕ0 (x0 , y0 ).Ðàññìîòðèì òåïåðü î÷åíü âàæíûé äëÿ ïðèëîæåíèé ñëó÷àé, êîãäà ôóíêöèÿ H íå çàâèñèò îò t, x, y (ò.å. êîãäà ìàòðèöû A, B , C ïîñòîÿííûå).7 ýòîì ñëó÷àå ñèñòåìà (10) ïåðåïèøåòñÿ òàê:½ 0r = Hp ,p0 = 0,(100 )ò.å. p1 = const, p2 = const âäîëü áèõàðàêòåðèñòèêè.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
