1625915396-080a9d47d07d6b633f2b1b0d68649b55 (843932), страница 14

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

Система с.ф. оператора L {Xk } полна в L2 (Ω).Далее, пусть f ∈ D(L). Тогда, с учетом (9) получаем:(Lf, f )L2 (Ω) =∞X(f, Xk )L2 (Ω) · (Lf, Xk )L2 (Ω) =k=1∞X(f, Xk )L2 (Ω) · λk (f, Xk )L2 (Ω) =k=1∞Xλk |(f, Xk )L2 (Ω) |2(10)k=1(выражение слева существует, значит сходится ряд справа).Сконструируем функции ηp :ηp = f −pX(f, Xk )L2 (Ω) · Xk =k=1∞X(f, Xk )L2 (Ω) · Xk ,k=p+1p = 1, 2, ..., f ∈ D(L).При этом((ηp , Xj )L2 (Ω) =j = 1, p,0,(f, Xj )L2 (Ω) ,(Lηp , ηp )L2 (Ω) =∞Xj = p + 1, ...,λk |(f, Xk )L2 (Ω) |2 ,k=p+1т.е. при p → ∞(Lηp , ηp )L2 (Ω) → 0,поскольку ряд (10) сходится.Далее,Z(5f, 5f¯) dx,(Lf, f )L2 (Ω) =Ω(11)6поэтомуZk5ηp k2L2 (Ω)=(5ηp , 5η̄p ) dx =ΩZ Ã"5f −# "pX(f, Xk )L2 · 5Xk , 5f¯ −k=1ΩpX#!(f, Xk )L2 · 5Xkdx =k=1= (Lηp , ηp )L2 (Ω) → 0 при p → ∞.Это означает, что5f =∞X(f, Xk )L2 (Ω) · 5Xk (x),(12)k=1причем ряд (12) сходится к 5f в L2 (Ω).Итак, доказанаТеорема 3.

Если f ∈ D(L), то ряд (9) можно дифференцироватьпочленно по xj , j = 1, n один раз и полученные ряды будут сходитьсяк∂f∂xjв L2 (Ω).Пример 1. Пусть Ω — прямоугольник (n = 2):y6mΩ0l-xДля нахождения нетривиальных решений задачи на с.з. оператора L(Lu = λu,L = −4x,y ;u|∂Ω = 0,(10 )применим метод разделения переменных, а именно будем искать с.ф.оператора L u(x, y) = V (x)W (y).Подставляя такие функции u в (10 ) получаем:−(V 00 W + V W 00 ) = λV W =⇒700− VV (x) = λ +00W 00W (y),т.е.00− VV = µ, − WW = ν = λ − µ =⇒(V 00 (x) + µ · V (x) = 0,W 00 (y) + ν · W (y) = 0,V (0) = V (l) = 0;W (0) = W (l) = 0.(∗)Здесь ν, µ — константы.Нетривиальные решения задачи (∗) легко находятся:rµ ¶22kπkπVk (x) =· sin x, µk =, k = 1, 2, ...;lllrµ ¶22jπjπWj (y) =· sin y, νj =, j = 1, 2, ...mmmОтсюда мы получаем с.з.

оператора L и с.ф. оператора L:´³ λ = π 2 k22 + j 22 ,kjlm2 Xkj (x, y) = √ · sin kπ x · sin jπ y, kXkj k2= 1.llmm(13)L2 (Ω)Можно показать, что других с.з. и с.ф. оператора L у задачи (10 )нет (в случае прямоугольника).Пример 2. Рассмотрим следующую задачу: ∂u ∂t = 4x,y u в G,u|S = 0,u|t=0 = ϕ(x, y), (x, y) ∈ Ω.(14)Здесь:Ω = {(x, y);0 < x < l, 0 < y < m},G = {(t, x, y);t > 0, (x, y) ∈ Ω},S = {(t, x, y);t > 0, (x, y) ∈ ∂Ω}.Будем искать сначала формальное решение задачи (14), полагаядля начала, что ϕ(x, y) ∈ L2 (Ω).

Формальное решение ищем в видеряда Фурье по с.ф. оператора L (с коэффициентами, зависящими отt):u(t, x, y) =∞Xk,j=1ukj (t) · Xkj (x, y),(15)8где Xkj (x, y) — с.ф. оператора L (см. (13)).Подставляя (15) в (14) получим:∞X{u0kj (t)∞X· Xkj − ukj (t) · 4x,y Xkj } =k,j=1{u0kj + λkj ukj } · Xkj (x, y),k,j=1∞Xukj (0) · Xkj (x, y) =k,j=1∞X(ϕ, Xkj )L2 (Ω) · Xkj (x, y).k,j=1Отсюда мы получаем:(u0kj + λkj ukj = 0,ukj (0) = ϕkj = (ϕ, Xkj )L2 ,т.е. ukj (t) = e−λkj t · ϕkj .Итак, окончательно формальное решение задачи (14) записываетсятак:u(t, x, y) =∞Xϕkj · e−λkj t · Xkj (x, y),(16)k,j=1гдеλkj , Xkj даны формулой (13),Rl Rmϕkj = (ϕ, Xkj )L2 = √2lmϕ(x, y) · sin kπl x · sin jπm y dxdy.0 0Можно показать, что (16) бесконечно дифференцируемая функцияпри ∀t > 0,u(t, x, y) ∈ C ∞ (G), даже если ϕ(x, y) ∈ L2 (Ω).1§18 Смешанная задача для уравнения теплопроводностиРассмотрим теперь достаточно кратко смешанную задачу следующеговида: ut = 4x,y u, (t, x, y) ∈ G;u|t=0 = ϕ(x, y), (x, y) ∈ Ω;u|S = 0, (x, y) ∈ ∂Ω, t > 0,где S = {(t, x, y);(1)t > 0, (x, y) ∈ ∂Ω}.Классическим решением задачи (1) будем называть функциюu(t, x, y) ∈ C 2 (G) ∩ C 1 (G), удовлетворяющую условиям (1).Необходимым условием существования классического решениязадачи (1) являются следующие условия:условие гладкостиϕ(x , y) ∈ C (Ω )и условие согласованияϕ|∂Ω = 0.При изучении задачи (1) очень полезным является следующийПринцип максимума.

Пусть функция u(t, x, y) ∈ C 2 (G) ∩ C 1 (G)удовлетворяет уравнению ut = 4x,y u в G. Пусть T > 0 — любое.Тогда в области GT функция u(t, x, y) достигает наибольшего инаименьшего значения на множествеГT = {(t, x, y);(t = 0, (x, y) ∈ Ω) ∪ (0 < t ≤ T, (x, y) ∈ ∂Ω)},где GT = {(t, x, y);Пусть m =0 < t < T < ∞, (x, y) ∈ Ω}. Доказательство.max u(t, x, y). Допустим, что решение u(t, x, y) прини-(t,x,y)∈ГT2мает свое максимальное значение M в точке γ 0 = (t0 , x0 , y 0 ) ∈ GT \ГTи допустим, что M > m.

Построим функциюυ(t, x, y) = u(t, x, y) + ε · (t0 − t),(2)где ε > 0 — некоторая константа (которую мы выбираем сами).Для функции (2) справедливы следующие очевидные неравенства:max υ(t, x, y) ≥ M − ε · T > m + ε · T ≥(t,x,y)∈GTпри 0 < ε <max υ(t, x, y)(t,x,y)∈ГTM −m2T .Следовательно, функция υ(t, x, y) тоже принимает максимальноезначение в некоторой точке γ 1 = (t1 , x1 , y 1 ) ∈ GT \ГT .Как известно, необходимые условия максимума функции υ(t, x, y)в точке (t1 , x1 , y 1 ) формулируются так:υt (t1 , x1 , y 1 ) ≥ 0,υx (t1 , x1 , y 1 ) = 0,υy (t1 , x1 , y 1 ) = 0,4x,y υ(t1 , x1 , y 1 ) ≤ 0, (т.е. (υt − 4x,y υ)|(t1 ,x1 ,y1 ) ≥ 0).Однако для всех (t, x, y) ∈ GT \ГTυt − 4x,y υ = −ε < 0,значит M ≤ m, что и требовалось доказать.Утверждение теоремы о минимальном значении u(t, x, y) доказывается аналогично после замены u на −u.Заметим, что принципу максимума можно дать и другую трактовку, а именно:если u(t, x, y) ∈ C 2 (G) ∩ C 1 (G) удовлетворяет уравнениюut = 4x,y u в G,тоkukC(GT ) ≤ kukC(ГT ) .(3)В случае же, если u|S = 0 при (x, y) ∈ ∂Ω,t > 0, то оценка (3)перепишется так:kukC(GT ) ≤ kϕkC(Ω) .(30 )3Понятно, что из оценки (30 ) следует единственность и непрерывнаязависимость классического решения задачи (1) от начального условияϕ.Введем понятие обобщенного решения задачи (1).

Пусть существуетпоследовательность {ϕk (x, y)}, k = 1, 2, . . . , где ϕk (x, y) ∈ C(Ω), такая, что:1) при k → ∞ : ϕk → ϕ в C(Ω);2) ∀k существует классическое решение смешанной задачи (uk )t = 4x,y uk , (t, x, y) ∈ G;uk |t=0 = ϕk (x, y), (x, y) ∈ Ω;uk |S = 0, (x, y) ∈ ∂Ω, t > 0.(10 )Предположим, что существует функция u(t, x, y) ∈ C(G) такая,что при любом T > 0uk → u, k → ∞ в C(GT ).(4)Такую функцию мы назовем обобщенным решением задачи (1).Из определения обобщенного решения задачи (1) вытекает:а) всякое классическое решение задачи (1) является ее обобщеннымрешением,б) для существования обобщенного решения необходимо выполнениеусловияϕ(x, y) ∈ C(G),в) обобщенное решение удовлетворяет начальному условиюu|t=0 = ϕ(x, y),(x, y) ∈ Ω;г) обобщенное решение удовлетворяет уравнениюut = 4x,y uв обобщенном смысле, т.е. для любой функции ϕ(t, x, y) ∈ C0∞ (G)выполнено интегральное равенствоZZZu(t, x, y){ϕt − 4x,y ϕ} dxdydt = 0.G4Покажем, что последовательность {uk }, k = 1, 2, .

. . равномерносходится на GT .Действительно, из (30 ) следует:kuk − um kC(GT ) ≤ kϕk − ϕm kC(Ω) ,т.е. {uk } — фундаментальная в C(GT ) последовательность, котораяравномерно сходится к некоторой функции u(t, x, y) ∈ C(GT ). Очевидно также, что оценка (30 ) справедлива и для обобщенного решенияu(t, x, y) задачи (1).Для нахождения обобщенного решения воспользуемся снова методом Фурье (см. §17). Выпишем сначала формальное решение задачи (1):u(t, x, y) =∞Xck e−λk t Xk (x, y),(5)k=1где ck = (ϕ, Xk (x, y))L2 (Ω) .Пусть ϕ ∈ C 2 (Ω) ∩ C 1 (Ω). Тогдаϕ(x, y) =∞Xck Xk (x, y),k=1причем ряд для ϕ(x, y) сходится в C(Ω) (см. Теорему 1 из §17).Еслиϕk =kXcj Xj (x, y),j=1uk =kXcj e−λj t Xj (x, y),j=1тоϕk → ϕ, k → ∞ в C(Ω),а последовательность {uk } сходится равномерно к обобщенному решению задачи (1) на GT .Замечание. Единственность и непрерывная зависимость от начального условия ϕ обобщенного решения следует из оценки (30 ).Задача. Покажите, что последовательность {uk }, k = 1, 2, .

. . сходится равномерно на GT .5Замечание. Для задачи Коши обобщенное решение, по существу,вводилось в §10.1Ÿ19 Îöåíêà ðåøåíèé ñèììåòðè÷åñêîéñèñòåìû ýòîì ïàðàãðàôå ìû ðàññìîòðèì Çàäà÷ó Êîøè äëÿ ñèììåòðè÷åñêîét-ãèïåðáîëè÷åñêîé (ïî Ôðèäðèõñó) ñèñòåìûAUt + BUx + CUy = 0(1)â ïðîñòåéøåì ñëó÷àå, êîãäà ìàòðèöû A, B , C ïîñòîÿííûå èA = AT > 0,B = BT ,C = CT(îáùèé ñëó÷àé ðàññìîòðåí â ìîíîãðàôèè Ñ.Ê. Ãîäóíîâà "Óðàâíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè").

Ñèñòåìû âèäà (1) ÷àñòî âñòðå÷àþòñÿ íà ïðàêòèêå. Òàê, íàïðèìåð, â §5 íàøèõ ëåêöèé áûëà ïðèâåäåíà, òàê íàçûâàåìàÿ,ñèñòåìà óðàâíåíèé àêóñòèêè, äëÿ êîòîðîé: 1 0 00 1 00 0 1pρ0 c20A =  0 ρ0 0  , B =  1 0 0  , C =  0 0 0  , U =  u  .0 0 01 0 0v00 ρ0Çäåñü ρ0 > 0, c0 > 0 íåêîòîðûå ïîñòîÿííûå;p, u, v ìàëûå âîçìóùåíèÿ äàâëåíèÿ è êîìïîíåíò âåêòîðà ñêîðîñòè.Èñòî÷íèêîì ïîÿâëåíèÿ ñèììåòðè÷åñêèõ ñèñòåì ìîæåò áûòü è ñàìàòåîðèÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. Ðàññìîòðèì, íàïðèìåð, çàäà÷óÊîøè äëÿ âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ (ñì.

§11):½utt − uxx − uyy = 0, t > 0, (x, y) ∈ Ω ⊆ R2 ,(2)u|t=0 = ϕ(x, y), ut |t=0 = ψ(x, y), (x, y) ∈ Ω ⊆ R2 .Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî çàäà÷à Êîøè (2) ýêâèâàëåíòíà çàäà÷å Êîøè äëÿíåêîòîðîé ñèììåòðè÷åñêîé t-ãèïåðáîëè÷åñêîé (ïî Ôðèäðèõñó) ñèñòåìû. ñàìîì äåëå, ïóñòü u = u(t, x, y) ðåãóëÿðíîå (êëàññè÷åñêîå) ðåøåíèåçàäà÷è (2). Òîãäà äëÿ ôóíêöèé r = ut , p = ux , q = uy èìååì: rt − px − qy = 0 (utt − uxx − uyy = 0),pt − rx = 0 (uxt = utx ),(3)qt − ry = 0 (uyt = uty ).Îáúåäèíÿÿ ñîîòíîøåíèÿ (3) â ñèñòåìó, ïîëó÷àåì:AUt + BUx + CUy = 0,(10 )2ãäå 1 0 00 −1 00 0 −1r0 1 0 ,B =−1 0 0 , C =0 0 0p .A=,U =0 0 100 0−1 0 0qÏðè ýòîì:U |t=0ψ=  ϕx  .ϕy(4)Îáðàòíî ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî åñëè âåêòîð U óäîâëåòâîðÿåò çàäà÷å (3),(4), òî ñóùåñòâóåò ôóíêöèÿ u òàêàÿ, ÷òî:ut = r, ux = p, uy = q, u|t=0 = ϕ, ut |t=0 = ψè ôóíêöèÿ u óäîâëåòâîðÿåò âîëíîâîìó óðàâíåíèþ.Èòàê, ìû ðàññìîòðèì çàäà÷ó Êîøè ñëåäóþùåãî âèäà:½AUt + BUx + CUy = 0, (t, x, y) ∈ Π,U |t=0 = U0 (x, y), (x, y) ∈ R2 .(5)Çäåñü Π = {(t, x, y) : 0 < t < T < ∞, (x, y) ∈ R2 }.Ïîêàæåì, êàê äëÿ çàäà÷è (5) âûâîäèòñÿ îäíî î÷åíü èíòåðåñíîå òîæäåñòâî, êîòîðîå â ëèòåðàòóðå íàçûâàåòñÿ èíòåãðàëîì ýíåðãèè è êîòîðîåèãðàåò îñíîâíóþ ðîëü ïðè ïîñòðîåíèè âñåé òåîðèè ñèììåòðè÷åñêèõ tãèïåðáîëè÷åñêèõ (ïî Ôðèäðèõñó) ñèñòåì. ñàìîì äåëå, óìíîæèì ñèñòåìó (1) ñêàëÿðíî íà âåêòîð 2U :2(U, AUt ) + 2(U, BUx ) + 2(U, CUy ) = 0.(6)Î÷åâèäíû ñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿ:2(U, AUt ) = (AU, Ut ) + (U, AUt ) = (Ut , AU ) + (U, AUt ) = (U, AU )t ,2(U, BUx ) = (U, BU )x ,2(U, CUy ) = (U, CU )y .Ñ ó÷¼òîì ýòèõ ñîîòíîøåíèé âûðàæåíèå (6) ïåðåïèøåòñÿ òàê:(U, AU )t + (U, BU )x + (U, CU )y = 0.(7)Òîæäåñòâî (7) â ëèòåðàòóðå íàçûâàåòñÿ äèôôåðåíöèàëüíîé ôîðìîé èíòåãðàëà ýíåðãèè.3Ðàññìîòðèì îáëàñòü G ∈ R3 ñïåöèàëüíîãî âèäà (!), ëåæàùóþ âíóòðèîáëàñòè ñóùåñòâîâàíèÿ ãëàäêîãî ðåøåíèÿ U (t, x, y) ñèñòåìû (1), îãðàíè÷åííóþ êóñî÷íî-ãëàäêîé ïîâåðõíîñòüþ (ñì.

Характеристики

Список файлов лекций