1625915396-080a9d47d07d6b633f2b1b0d68649b55 (843932), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Преобразуем ряд (4), воспользовавшись формулами (6):u(r, ϕ) ===12πa02+∞Prn(anRnn=1∞R2πP11rnf(ψ)dψ+2ππRn0½ n=1 ∞2πRP1= 2πf (ψ) 1 + 2n=10cos nϕ + bn sin nϕ) =R2πf (ψ) cos n(ψ − ϕ)dψ =¾rncos n(ψ − ϕ) dψ =Rn0r iσe , |z| <R¾ 1)∞Pn(7)(ψ − ϕ =½σ, z =R2π1= 2πf (ψ) −1 + 2Rez dψ =n=00½¾R2πR2π f (ψ)(R2 −r2 )dψ11f (ψ) −1 + 2Re 1−z dψ = 2πR2 +r2 −2Rr cos(ψ−ϕ)00Формула (7) называется интегралом Пуассона.

Она дает решение задачи (3),если f (ϕ) - достаточно гладкая.Определение. Задача называется корректной (по Адамару), если онаразрешима при любых начальных данных, принадлежащих к некоторому классу, имеет единственное решение и это решение непрерывно зависит от начальных данных.Задача называется некорректной, если она разрешима не при любых начальных данных, либо если она имеет неединственное решение, либо если нетнепрерывной зависимости решений от начальных данных.Всякий физический процесс, развивающийся во времени, должен характеризоваться функциями, непрерывно зависящими от начальных данных.5Примеры некорректных задач:а) задача Коши с данными на характеристике;б) задача (6) из §6 при t < 0;и) задача Коши uxx + uyy = 0,u|y=0 = ϕ0 (x), uy |y=0 = ϕ1 (x).1§8Дополнительные сведенияиз функционального анализаПространстваC m (Ω), C m (Ω), C0m (Ω);Ω ⊂ RnS- ограниченное множество;Ω = Ω ∂Ω- ограниченное замкнутое множество (компакт);suppf = {x ∈ Rn , f (x) 6= 0};C0m (Ω) = {f (x) ∈ C m (Ω), suppf (x) b Ω};Ω1 b Ω, если Ω1 ⊂ Ω (Ω1 - подобласть, строго (целиком) лежащая в областиΩ);функция f (x) ∈ C0m (Ω) - финитная функция;C0∞ (Ω)- множество бесконечно-дифференцируемых, финитных функций.Если Ω ⊆ Rn - неограниченная область, то введем в рассмотрение пространство функций B m (Ω) (это множество функций f (x), имеющих в областиΩ непрерывные и ограниченные частные производные до порядка m включительно).Пространства C m (Ω), B m (Ω) являются линейными нормированнымипространствами.

Дело в том, что на функциях из C m (Ω) (или B m (Ω)) можноопределить функционалXmax |Dxα f (x)|ρ(f ) =|α|≤mµρ(f ) =X|α|≤mx∈Ω¶sup |Dxα f (x)|x∈Ω,обладающий следующими свойствами:1) ρ(f ) ≥ 0, ρ(f ) = 0 ⇔ f (x) ≡ 0;2) ρ(λf ) = |λ|ρ(f ), где λ - любое вещественное число;3) ρ(f + g) ≤ ρ(f ) + ρ(g) - неравенство треугольника.В этом случае говорят, что пространство C m (Ω) (B m (Ω)) можно снабдить нормой||f ||C m (Ω)(Bm (Ω)) = ρ(f ).(1)Замечание.1) Если Ω - ограниченная область из Rn , то C m (Ω) ≡ B m (Ω).2) Норма функции из C 0 (Ω) (B 0 (Ω)) - это некоторое положительное число,характеризующее тот факт, насколько функция f (x) отличается от нуля.3) C 0 (Ω) = C(Ω), B 0 (Ω) = B(Ω).Последовательность функций fk (x) ∈ C m (Ω) (B m (Ω)) k = 1, 2, ...

называется сходящейся к функции f (x) ∈ C m (Ω) (B m (Ω)) в пространстве C m (Ω)(B m (Ω)):fk → f, k → ∞ в C m (Ω)(B m (Ω),еслиρ(fk − f ) → 0, k → ∞.Последовательность fk (x), k = 1, 2, ... из C m (Ω) (B m (Ω)) называется фундаментальной в C m (Ω) (B m (Ω)), еслиρ(fk − fp ) → 0, k, p → ∞.Пространства C m (Ω), B m (Ω) являются полными, поскольку, если последовательность fk (x), k = 1, 2, ... из C m (Ω) (B m (Ω)) фундаментальна в C m (Ω)(B m (Ω)), то существует функция f (x) ∈ C m (Ω) (B m (Ω)) такая, чтоρ(fk − f ) → 0, k → ∞.2Полное линейное нормированное пространство называется банаховым пространством.Пусть Ω ⊆ Rn . Совокупность всех комплекснозначныхR функций f (x), длякоторых функция |f (x)|2 интегрируема по области Ω ( |f (x)|2 dx < ∞) обоΩзначим через L2 (Ω).Замечание.Интегрирование вообще говоря понимается в смысле Лебега.L2 (Ω) - линейное пространство.Для любых f, g(x) ∈ L2 (Ω) справедливо неравенство Коши-Буняковского:¯Z¯ Z¶ 21µZ¶ 21 µZ¯¯¯ f (x)g(x)dx¯ ≤ |f (x)||g(x)|dx ≤|g(x)|2 dx .|f (x)|2 dx¯¯ΩΩ(2)ΩΩЕсли Ω - ограниченная область, g(x) ≡ 1, тоRdx = m(Ω) < ∞ (мераΩмножества Ω) и¯ Z¯ZµZ¶ 21 µZ¶ 21¯¯2¯ f (x)dx¯ ≤ |f (x)|dx ≤|f (x)| dxdx< ∞,¯¯ΩΩΩΩт.е.

f (x) ∈ RL1 (Ω), где L1 (Ω) - множество интегрируемых функций (f (x) ∈L1 (Ω), если |f (x)|dx < ∞).ΩНа множестве L2 (Ω) введем скалярное произведение функций f, g(x) ∈L2 (Ω):Z(f, g)L2 (Ω) = f (x)g(x)dx(3)Ωи норму функции f (x) ∈ L2 (Ω):µZ122|f (x)| dxρ(f ) = ||f ||L2 (Ω) = (f, f ) =¶ 12.(4)ΩТем самым L2 (Ω) превращается в линейное нормированное пространство.Здесь g(x) - функция комплексно-сопряженная с g(x).Замечание.1) Скалярное произведение (3) обладает следующими очевидными свойствами:а) (f, g)L2 (Ω) = (g, f )L2 (Ω) ,б) (λf + µg, h)L2 (Ω) = λ(f, h)L2 (Ω) + µ(g, h)L2 (Ω) .Здесь f, g, h(x) ∈ L2 (Ω); λ, µ - произвольные комплексные числа.2) Неравенство (2) можно переписать так:|(f, g)L2 (Ω) | ≤ ||f ||L2 (Ω) ||g||L2 (Ω) ,f, g(x) ∈ L2 (Ω).(20 )3) Легко проверить, что для нормы ρ(f ) = ||f ||L2 (Ω) выполнены свойства:а) ρ(f ) ≥ 0,ρ(f ) = 0 ⇔ f = 0 почти всюду в Ω (т.е.

f 6= 0 только на множестве мерынуль);б) ρ(λf ) = |λ|ρ(f ), λ - произвольное комплексное число;в) ρ(f + g) ≤ ρ(f ) + ρ(g) - неравенство Минковского (неравенство треугольника).Здесь f, g(x) ∈ L2 (Ω).3Последовательность функций fk (x), k = 1, 2, ... из L2 (Ω) называется сходящейся к функции f (x) из L2 (Ω) в пространстве L2 (Ω) (или в среднем наΩ), еслиρ(fk − f ) → 0, k → ∞(fk → f, k → ∞ в L2 (Ω)).Пространство L2 (Ω) является полным в силу теоремы Рисса-Фишера.Теорема Рисса-Фишера.Если последовательность функций fk (x), k = 1, 2, ...

из L2 (Ω) является фундаментальной в L2 (Ω) (т.е. ρ(fk −fp ) → 0, k, p → ∞), то существует единственная(с точностью до значений на множестве меры нуль) функция f (x) из L2 (Ω)такая, что:ρ(fk − f ) → 0, k → ∞.Итак, L2 (Ω) - банахово пространство со скалярным произведением (2) (гильбертово пространство).Как можно еще определить пространство L2 (Ω)?Определение.Множество функций M ⊂ L2 (Ω) называется плотным в L2 (Ω), если для любой функции f (x) ∈ L2 (Ω) существует последовательность функций fk (x),k = 1, 2, ... из M такая, чтоρ(fk − f ) → 0, k → ∞(ρ(f ) = ||f ||L2 (Ω) ).Лемма.Множество C0∞ (Ω) плотно в L2 (Ω).Здесь C0∞ (Ω) = {f (x) ∈ C ∞ (Ω); suppf b Ω}.Итак, множество L2 (Ω) является замыканием множества C0∞ (Ω) в нормеρ(f ) = ||f ||L2 (Ω) (L2 (Ω) = C0∞ (Ω)+ все предельные функции, полученные понорме L2 (Ω)).Замечание.Можно ввести в рассмотрение и так называемые весовые пространства L2,k (Ω)с нормой:¶ 21µZ22 kρ(f ) = ||f ||L2,k (Ω) =|f (x)| (1 + |x| ) dx , k ≷ 0.ΩМножество C0∞ (Ω) плотно в L2,k (Ω) (C0∞ (Ω) ⊂ L2,k (Ω)).

L2,k (Ω) - гильбертовопространство.Задача.Как определяется скалярное произведение в L2,k (Ω)?Замыкая множество C0∞ (Ω) по норме¶ 12µZ Xρ(f ) =|Dxα f (x)|2 dx ,(5)Ω |α|≤mможно определить так называемые пространства Соболева W2m (Ω), m ≥ 0- целое число (W20 = L2 ).Пространство W2m (Ω) это множество функций f (x) ∈ L2 (Ω), все производные которых до порядка m включительно принадлежат L2 (Ω).W2m (Ω) - гильбертово пространство с нормой (5)µX¶ 12α2ρ(f ) = ||f ||W2m (Ω) =||Dx f (x)||L2 (Ω) .(50 )|α|≤m4Множество C0∞ (Ω) плотно в W2m (Ω) (C0∞ (Ω) ⊂ W2m (Ω)).

Сходимость в W2m (Ω)по норме: ρ(fk − f ) → 0, k → ∞, fk (x) ∈ W2m (Ω), k = 1, 2, ..., f (x) ∈ W2m (Ω).Задача.Скалярное произведение в W2m (Ω)?Пусть Ω = Rn .Введем в рассмотрение пространство J {f (x) ∈ C ∞ (Rn ), (1+|x|2 )k |Dxα f (x)| →0 при |x| → ∞, k, α = (α1 , ..., αn ), αj ≥ 0, k ≥ 0 - любые}P(|x|)|Dxα f (x)| → 0, P(|x|) - любой полином от |x|.2e−|x| ∈ J .Поскольку C0∞ (Rn ) ⊂ J , то J плотно в L2 (Rn ), L2,k (Rn ), k ≷ 0, W2m (Rn ).f (t, x) ∈ L2 (G), G ⊂ Rn+1 .C([0, T ], L2 (Ω)) - пространство функций f (t, x) непрерывных по t на [0, T ]в L2 (Ω) с нормойµZ2ρ(f ) = ||f ||C(·) = max|f (t, x)| dx0≤t≤T¶ 21.ΩСходимость в C([ ], L2 (Ω))ρ(fk − f ) → 0, k → ∞.Справедлив аналог теоремы Рисса-Фишера: если {fk (t, x)}, k = 1, 2, ..., fk (t, x) ∈C(·) фундаментальна в C(·), то существует функция f (t, x) ∈ C(·) такая, чтоρ(fk − f ) → 0, k → ∞.Теорема Фубини (о перемене порядка интегрирования).Если функция f (x, y), заданная в Rn+m , x ∈ Rn , y ∈ Rm измерима и существует повторный интеграл функции |f (x, y)|¸Z ·Z|f (x, y)|dx dy < ∞,Rm Rnто f (x, y) интегрируема.

Если f (x, y) интегрируема, то интегралыZZf (x, y)dx,f (x, y)dyRnRmсуществуют почти везде и интегрируемы, причем¸¸ZZ ·ZZ ·Zf (x, y)dxdy =f (x, y)dy dx =f (x, y)dx dyRn+mRn RmRm Rn(функция f называется измеримой, если она совпадает почти везде с пределомпочти везде сходящейся последовательности кусочно-непрерывных функций).Интегрируемая функция?Весовое пространство L2,k (Ω): если Ω - ограниченное множество, то L2,k (Ω) =L2 (Ω).1f (x) = e− x2 ,f (x) ∈ C ∞ (∆), Dxα f (x)|x=0 = 0,0f (x) не аналитична в точке x = 0:5f (x) =Pfk xk ≡ 0, чего быть не может.k≥01fn (x) = x n , 0 ≤ x ≤ 1, n = 1, 2, ..., fn фундаментальна в L2 ,fen (x) = xn , 0 ≤ x ≤ 1, n = 1, 2, ..., fen фундаментальна в L2 ,fn → 1 п.в.

(в L2 (0, 1)),fen → 0 п.в. (в L2 (0, 1)).101x1§9Преобразование ФурьеФормальное определение преобразования Фурье функции f (x), x ∈ Rn .Определение 1.Преобразованием Фурье функции f (x), x ∈ Rn называется оператор F , переводящий функцию f (x) в функцию fb(ξ):Zbf (ξ) = F f (x) = e−2πi(x,ξ) f (x)dx,(1)Rnгде ξ ∈ Rn , (x, ξ) =nPxk ξk , dx = dx1 · · · dxn .k=1Определение 2.Обратным преобразованием Фурье функции g(ξ), ξ ∈ Rn называется операторF , переводящий g(ξ) в функцию ϕ(x):Zϕ(x) = F g(ξ) = e2πi(x,ξ) g(ξ)dξ,(2)Rnгде dξ = dξ1 · · · dξn .Лемма 1.Если f (x) ∈ J , то fb(ξ) = F f (x) ∈ J , т.е. оператор F : J → J . Доказательство.а) Если f (x) ∈ J , то fb(ξ) - определена и непрерывна. Действительно:ZZdx|fb(ξ)| ≤ |f (x)|dx ≤ Ck,(1 + |x|2 )kRnRnт.к. по определению пространства J существуют такие постоянные k, Ck > 0,чтоCk|f (x)| ≤.(1 + |x|2 )kОценим интегралZRndx,(1 + |x|2 )kдля чего сделаем замену переменных, переходя от переменных x к полярнымкоординатам r, ϕ1 , ..., ϕn−1 :x1 = r cos ϕ1 ,x2 = r sin ϕ1 cos ϕ2 ,x3 = r sin ϕ1 sin ϕ2 cos ϕ3 ,......xn−1 = r sin ϕ1 · · · sin ϕn−2 cos ϕn−1 ,xn = r sin ϕ1 · · · sin ϕn−2 sin ϕn−1 ,0 ≤ ϕ1 , .

Характеристики

Список файлов лекций