1625915396-080a9d47d07d6b633f2b1b0d68649b55 (843932), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

(fe, ∇Ψ)|γ 6= 0, f = (f0 , f ).Это означает, что вектор fe не лежит в касательной гиперплоскости к гиперповерхности γ (иными словами, ни в одной точкеповерхность γ не имеет характеристического направления).Примеры:1) xut − (t + 1)ux = 0, x ∈ R1 ;dxt+1уравнение характеристик:=−,dtxт.е. общее решение: u = F(x2 + (t + 1)2 ).Найдем решение задачи Коши при t > 0 с начальным условием:Лекция №2, НГУ, ММФ, 20107u|t=0 = x.Однако простые рассуждения показывают, что начальное условиеможно задавать либо при x < 0, либо при x > 0 (на всей оси t =0 начальное условие задавать нельзя!). Если начальное условиезадается при x < 0, то решение имеет вид:pu = − x2 + (t + 1)2 − 1, t > 0.Причина того, почему начальное условие нельзя задавать приt(f0 ,f1 )0x-1всех x, заключается в том, что в точке (0, 0) линия t = 0 имеетхарактеристическое направление.2) ut + ux = 0, u = F(x − t), Ψ = x − t, f0 Ψt + f1 Ψx = 0.2.

Квазилинейные уравнения с частными производными.(4) Luk = gk (t, x, u), k = 1, m;∂L=+ (f, ∇), f = (f1 , ..., fn ),∂tЛекция №2, НГУ, ММФ, 20108fk = fk (t, x, u), k = 1, n,; u = (u1 , ..., um ).Система (4) называется квазилинейной. Если f = f (t, x), тосистема называется почти линейной.а) Нахождение общего решения.dx= f (t, x, u),dt(5) du = g(t, x, u), g = (g1 , ..., gm )dt(соп.

сист. об. диф. уравнений).dx= f (t, x, u) называются харакdtтеристиками системы (4). Но в отличии от лин. уравнения (1),в квазилинейном случае нельзя найти характеристики, не знаяduрешения u = u(t, x). Каждое уравнение системы= g(t, x, u)dtназывается соотношением на характеристике. Пусть {Φ(i) (t, x, u),i = 1, n + m} - какая-либо функционально независимая системапервых интегралов системы (5). Тогда общее решение системы (4)дается в следующем виде: no(1)(n+m)F1 Φ (t, x, u), ..., Φ(t, x, u) = 0,........no Fm Φ(1) (t, x, u), ..., Φ(n+m) (t, x, u) = 0,Интегральные кривые системыт.е. функции uk , k = 1, m определяются неявно.б) Решение задачи Коши(Lu = g,(6)u|t=t0 = ϕ(x) = (ϕ1 (x), ..., ϕm (x)),Лекция №2, НГУ, ММФ, 2010строится так:9(1)(1) Φ (t0 , x, u) = Φ ,........(n+m) (n+m)Φ(t0 , x, u) = Φ;т.е.(1)x = X(Φ , ...),(1)u = U (Φ , ...).Тогда решение задачи Коши (6) дается в виде:U (Φ(1) (t, x, u), ...) = ϕ(X(Φ(1) (t, x, u), ...)),т.е.

определяется в неявном виде.Пример.ut + uux = 0;dx= u → x − ut = const,dtс.с.об.ур. du = 0 → u = const.dt(Φ(1) = x − ut,Φ(2) = u,F(x − ut, u) = 0 - общее решение. Задача Коши:(ut + uux = 0,u|t=0 = ϕ(x)имеет решение:(8) u = ϕ(x − ut).До сих пор, при построении решений того или иного уравнения, мынеявно предполагали, что строим гладкие решения, т.е. решениянепрерывно дифференцируемые до некоторого порядка.Так задача Коши: ut + ux = 0, u|t=0 = ϕ(x) имеет гладкое решение при всех t > 0, x ∈ R1 , если функция ϕ(x) непрерывноЛекция №2, НГУ, ММФ, 201010дифференцируема. Однако в случае задачи Коши (7) дело обстоит сложнее.

Оказывается, далеко не всегда можно построить гладкое решение этой задачи при всех t > 0 (даже, если ϕ(x) - гладкая функция). Итак, гладкое решение перестает существовать, какtt=(x0 )t+x0t=-1u=u=1,1,x-x=x+-11-11x0xтолько характеристики пересеклись. Из (8) легко получаемϕ0 (x0 )ux (t, x) = ux (t, x0 + ϕ(x0 )t) =.1 + tϕ0 (x0 )Следовательно, гладкое решение задачи Коши (7) существует привсех t > 0, если ϕ0 (x0 ) ≥ 0. Если же в некоторой области ϕ0 (x0 ) <0, то гладкое решение задачи (7) существует при 0 < t < tk , где:1tk =sup |ϕ0 (x0 )|x0(sup берется в той области, где ϕ0 (x0 ) ≤ 0).x0При t ≥ tk гладкое решение перестает существовать. Явлениенеограниченного роста градиентов основных величин (например,ux ) получило название градиентной катастрофы.3.

Уравнение Гамильтона-Якоби.(9) ut + H(t, x, ∇u) = 0,Лекция №2, НГУ, ММФ, 201011H(·) - гладкая функция своих аргументов.Обозначим: p = ∇u, Hp = (Hp1 , ..., Hpn ),∂+ (Hp , ∇).Hx = (Hx1 , ..., Hxn ), L =∂tТогдаdx= Hp (t, x, p),dt -канонич. ур-ния Гамильтона;dpLp = −Hx → (10)= −Hx (t, x, p),dt du = −H(t, x, p) + (p, Hp ).dtЗадача Коши:(ut + H(t, x, ∇u) = 0,(11)u|t=0 = ϕ(x),при условии, что решение ее существует и является гладкой функцией, то это решение может быть найдено путем решения задачиКоши для (10) с начальными данными: x|t=0 = x0 ,(++)p|t=0 = ∇ϕ(x0 ),u|t=0 = ϕ(x0 ).Справедливо и обратное утверждение: если u, p - решение задачиКоши для (10), то∇u = p, ut = −H(t, p, ∇u).Задачи.1) Найти решение задачи Коши:(ρt + (∇ω, ∇ρ) = −ρ∆x ω,ρ|t=0 = ρ0 (x);ω = ω(t, x) - известная гладкая функция.Лекция №2, НГУ, ММФ, 20102) Найти решение задачи Коши: ω + 1 |∇ω|2 + U (x) = 0,t2 ω| = ω (x), U (x) − известная функция.t=0012§3.

Обобщенная задача Коши. Характеристикиуравнений с частными производными.Рассмотрим д.у. порядка m, линейное, оператор которого L записан в нормальной форме (см. §1):XLu = D0m u +aαj (t, x)D0j Dxα u = f (t, x).(1)|α|+j≤mj<mПо аналогии с обыкнов.

д.у. поставим для (1) задачу Коши, которая состоит в нахождении решения u = u(t, x) следующей задачи(Lu = f, (t, x) ∈ G,(2)D0j u|t=t0 = ϕ(j) (x), j = 0, m − 1.Здесь G = {(t, x), x ∈ Ω, a < t < b}, причем a < t0 < b; a, b некоторые постоянные.txibx1aЗамечание. Легко видеть, что в задаче (2) нельзя задавать1Лекция №3, НГУ, ММФ, 20102больше начальных данных ¯при t = t0 , поскольку любая произ¯водная от решения D0j Dxα u¯может быть выражена через наt=t0чальные данные ϕ(j) (x) и коэффициенты уравнения (1).Сформулируем теперь без доказательства теорему КошиКовалевской о существовании и единственности аналитического решения задачи Коши (2).Теорема Коши-Ковалевской. Предположим, что коэффициенты aαj , правая часть f (t, x) уравнения (1) аналитичны в Sε,y0 , y0 =(t0 , x0 ), x0 ∈ Ω.

Предположим, что начальные данные ϕj (x), j =0, m − 1 аналитичны в Sε0 ,x0 . Тогда существует шар Sδ,y0 и единственная аналитическая функцияXu=u(t,x)=uαj (t − t0 )j (x − x0 )α ,|α|+j≥0(3)´¯³1¯jα uαj =D0 Dx u ¯ ,y0α!j!определенная в Sδ,y0 , для которой(Lu = f в Sδ,y0 ,(2)D0j u|t=t0 = ϕ(j) (x), x ∈ Sδ,y0 ∩ {t = t0 }, j = 0, m − 1.Замечание. Определение шара Sε,y0 и т.д.

см. в §1.В дальнейшем мы будем использовать усиленный вариант теоремы Коши-Ковалевской:Если коэффициенты aαj (t, x), f (t, x) аналитичны в окрестностигиперплоскости t = t0 , а начальные данные ϕ(j) (x) в области Ω,то существует окрестность гиперплоскости t = t0 и единственнаяаналитическая функция, определенная в этой окрестности, для которой:(Lu = f,(2)D0j u|t=t0 = ϕ(j) (x), j = 0, m − 1.Заметим также, что утверждение об единственности аналитического решения следует из представления (3) и из замечания, сде-Лекция №3, НГУ, ММФ, 20103ланного выше. В самом деле, поскольку функция u = u(t, x) представляется в виде ряда Тейлора, то коэффициенты этого ряда однозначно определяются через начальные данные, коэффициентыуравнения (1).И последнее, задача Коши (2) легко может быть сведена к задаче Коши с нулевыми начальными данными.

В самом деле, положимm−1X (t − t0 )jϕ(j) .ue(t, x) = u(t, x) −j!j=0|{z}qu0 (t, x)Тогда, задача (2) перепишется так:(Leu = f (t, x) − Lu0 = fe(t, x), (t, x) ∈ G;0(2 )D0j ue|t=t0 ≡ 0 в Ω, j = 0, m − 1.Сформулированная выше теорема Коши-Ковалевской носит длянас конструктивный характер.Рассмотрим теперь общее линейное уравнение порядка m (см.§1):b + ... = f (t, x),(4) LuXb=Laαj (t, x)D0j Dxα|α|+j=mи попробуем обобщить задачу Коши (2) применительно к уравнению (4).Обобщенная задача Коши заключается в нахождениирешения следующей задачи:b + ...

= f (t, x), (t, x) ∈ G;Lu µ ¶ ¯j ¯(5)∂¯u¯ = ϕ(j) (t, x), (t, x) ∈ γ ⊂ G, j = 0, m − 1. ∂l¯γЛекция №3, НГУ, ММФ, 2010Здесь:(γ:4eΨ(t, x) = 0∇Ψ, l=|γ ,eΨt |γ 6= 0|∇Ψ|>0=0l (| l |=1)<0(∇Ψ, ∇)qz}|{nX∂∂1∂e =¯ {Ψt += (l, ∇)Ψ}|γ .xk¯∂l∂t∂xek|∇Ψ|¯k=1{z}γ |qe ∇)e(∇Ψ,В достаточно малой окрестности гиперповерхности γ сделаем гладкую невырожденную замену переменных(y = x, y = (y1 , ..., yn ),(+)ξ = Ψ(t, x), u(t, x) = ue(ξ, y).Якобиан этого преобразованияΨt Ψx1 Ψxn0 10 det . . . .

. . . . . . . . . . = Ψt 6= 0 на γ.0 01Лекция №3, НГУ, ММФ, 20105Очевидны следующие соотношения (см. §2):∂∂= Ψt ,∂t∂ξ∂∂∂=+ Ψxk , k = 1, n,∂xk∂yk∂ξт.е.µ¶j µ¶α1 µ¶αn∂∂∂∂∂+ Ψx1+ ΨxnD0j Dxα = Ψt...=∂ξ∂y1∂ξ∂yn∂ξ∂ |α|+j+ ...,= (Ψt ) (Ψx1 ) ...(Ψxn ){z} ∂ξ |α|+j|qj(Ψt ) (∇Ψ)αjт.е.Xα1Xaαj D0j Dxα u =|α|+j=mαnaαj (Ψt )j (∇Ψ)α ·Dξm u + ... ,|α|+j=m|{zqeK(t, x, ∇Ψ)(nX})¯∂ ¯¯Ψxk¯ =∂xk ¯1∂∂¯=+Ψt∂l∂te ¯¯|∇Ψ|k=1γγ(¶)¯¯µnX∂1∂¯2 ∂¯=Ψ+Ψ+Ψ¯ =xktk¯¯∂ξ∂y∂ξek|∇Ψ|¯k=1γγn¯ ∂X∂1¯e ¯¯= |∇Ψ|Ψ+,xkγ ∂ξ∂yke ¯¯ k=1|∇Ψ|γт.е.µ∂∂l¶jµ=¯ ¶j ∂ je ¯¯|∇Ψ|+ ...

.γ∂ξ jЛекция №3, НГУ, ММФ, 20106µ¶ 12nPe = Ψ2t +Здесь |∇Ψ|Ψ2xk ,k=1F (t, x)|γ = F (t(0, x), x) = Fe(y), t = t(ξ, x) = t(ξ, y);уравнение γ : ξ = 0.В задаче (5) перейдем к новым переменным y, ξ:Xj αmeeK(t,x,∇Ψ)Due+ea(ξ,y)DDy ue = fe(ξ, y), (ξ, y) ∈ G;αjξξ|α|+j≤m(6)j<m¯¯ Dξj ue¯=ϕe(j) (y), y ∈ Ω, j = 0, m − 1;ξ=0∂, x = y, t = t(ξ, x);∂ξPeK(t, x, ∇Ψ)=aαj (t, x)(Ψ)j (∇Ψ)α .где Dξ =|α|+j=mПустьeK(t, x, ∇Ψ)|γ 6= 0.Тогда K(·) 6= 0 и в некоторой окрестности γ. В этом случае задача(6) может быть переписана так (сравните с задачей (2)!):XmeDξ ue+eaαj (ξ, y)Dξj Dyα ue = fe(ξ, y), (ξ, y) ∈ G;|α|+j≤m(7)j<m¯¯ Dξj ue¯=ϕe(j) (y), j = 0, m − 1, y ∈ Ω.ξ=0Определения. ВыражениеXK(t, x, ζ) =aαj (t, x)ζ0j ζ1α1 ...ζnαn , ζ = (ζ0 , ζ1 , ..., ζn )|α|+j=mназ. характеристической формой для уравнения (4).Поверхность γ:Ψ(t, x) = 0наз.

характеристической поверхностью для уравнения (4) илипросто характеристикой, еслиeK(t, x, ∇Ψ)|γ = 0.Лекция №3, НГУ, ММФ, 20107Будем говорить, что поверхность γ : Ψ(t, x) = 0 в точке (t0 , x0 ) ∈γ имеет характеристическое направление, если:eK(t, x, ∇Ψ)|(t ,x )∈γ = 0.00Замечание. K(t, x, σζ) = σ m K(t, x, ζ), σ > 0 - некоторое число, т.е. хар. форма является однородным полиномом степени mотносительно переменных ζ0 , ..., ζn .Итак, если гиперповерхность γ : Ψ(t, x) = 0 не является характеристикой для уравнения (4), то обобщенная задача Коши (5)сводится к задаче Коши (7), к которой применима, например, теорема Коши-Ковалевской (см.

начало §3) при соответствующих требованиях на коэффициенты, правую часть уравнения (4), началь”ные“ данные ϕ(j) (t, x), функцию Ψ(t, x). Согласно теореме КошиКовалевской (на самом деле, согласно ее несколько усиленномуварианту, см. замечание), обобщенная задача Коши (5) в этом случае имеет всегда единственное аналитическое решение в некоторойокрестности гиперповерхности γ, если эта поверхность не являетсяхарактеристикой. Если же гиперповерхность γ является характеристикой, то на ней, вообще говоря, нельзя уже задавать произвольно данные ϕ(j) (t, x) (если все же потребовать, чтобы задача(5) имела решение). В самом деле, из (6) следует, что при ξ = 0имеем: Xeaαj (0, y) Dξj Dyα ue(0, y) = fe(0, y),|{z} |α|+j≤mj<mq(8)α (j)Dy ϕe (y)¯¯ Dξj ue¯=ϕe(j) (y), j = 0, m − 1, y ∈ Ω,ξ=0т.е.

Характеристики

Список файлов лекций