1625915396-080a9d47d07d6b633f2b1b0d68649b55 (843932), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

+ µ2n+ − µ2n+ +1 − ... − µ2n+ +n− , µ1µ =  ...  = Bx−1 ζ.µnОпределение. Если n+ = n (или n− = n), то уравнение (2) называется эллиптическим в точке x ∈ Ω. Если n+ = 1, n− = n − 1(n− = 1, n+ = n − 1), то говорят, что уравнение (2) в точке x ∈ Ωгиперболично.Если n+ = l, n− = n − l, 1 < l < n − 1, то уравнение (2) в точкеx ∈ Ω называется ультрагиперболическим.Если n0 6= 0, то уравнение (2) в точке x ∈ Ω называется параболическим.Говорят, что в области Ω уравнение (2) является уравнениемэллиптического, гиперболического или параболического типа, еслионо соответственно эллиптично, гиперболично или параболично вкаждой точке x ∈ Ω.Рассмотрим некоторое достаточно гладкое, взаимно-однозначное,невырожденное в окрестности точки x0 ∈ Ω преобразование независимых переменных x:y = y(x), причем det J(x0 ) 6= 0,µ¶∂yi, i, j = 1, n - матрица Якоби.где J(x) =∂xjУравнение (2) переходит в уравнение:0(2 )nXekDe sueaks (y)De + ...

= fe(y),k,s=1гдеe j = ∂ , j = 1, n, u(x) = uDe(y), f (x) = fe(y),∂yjnXeaks (y) =aij (x)Di yk Dj ys , x = x(y),i,j=1Лекция №5, НГУ, ММФ, 20104(eaks )qe 0 , ζ) =K(ynXe 0 )ζ, ζ) =eaks (y0 )ζk ζs = (A(yk,s=1= (JAJ T ζ, ζ) = (Dµ, µ), гдеe = JAJ T , µ = Bx−1 J T ζ,A00т.е. уравнение (2 ) имеет в точке y0 = y(x0 ) тот же тип, что и исходное уравнение (2) в соответствующей точке x0 ∈ Ω. Таким образом,проведенная выше классификация уравнений второго порядка инвариантна относительно гладких, взаимно-однозначных, невырожденных преобразований независимых переменных.Замечание. Пусть замена переменных имеет вид y = BxT0 x, гдеBxT0 - матрица, такая, что:BxT0 A(x0 )Bx0 = D.В этом случае J(x) = BxT0 и det J 6= 0.Сделав замену переменных и положив в (20 ) y = y0 = BxT0 x0 , получим, что в точке y0 уравнение (20 ) примет вид (канонический):uey y + ...

+ uey y − uey− ... − uey+ ... = fe(y0 ).yy1 1n+ n+n+ +1 n+ +1n+ +n− n+ +n−Уравнениеutt = ∆x u, x ∈ Rnявляется примером гиперболического уравнения в любой точке(t, x) ∈ Rn+1 , поскольку10 µ −1¶1 0−1.A==0−In...0−1Уравнение∆x u = 0Лекция №5, НГУ, ММФ, 20105является примером эллиптического уравнения во всем пространстве Rn , поскольку10A =  .

. .  = In и (Aζ, ζ) > 001при любых ζ 6= 0.Уравнениеut = ∆x uявляется примером параболического уравнения во всем Rn , поскольку00¶ −1 µ0 0A==...0 −In0−1и форма (Aζ, ζ) содержит лишь n переменных ζk , k = 0, n.В заключении этого параграфа рассмотрим один важный класссистем уравнений, которые часто встречаются в приложениях. Пустьнам дана система n уравнений с n неизвестными функциями, которую мы запишем в векторной форме:AUt + BUx + CUy = f.(3)Здесь A, B, C - квадратные матрицы порядка n, элементы которых зависят от t, x, y, U ; f - вектор правых частей, компонентыкоторого зависят от t, x, y, U ;U - вектор неизвестных функций.Определение.

Поверхности γ : Ψ(t, x, y) = 0, на которыхdet(Ψt A + Ψx B + Ψy C) = 0,(4)или, что то же самоеdet(τ A + ξB + ηC) = 0,(40 )Лекция №5, НГУ, ММФ, 20106где (τ, ξ, η) - вектор нормали к поверхности γ, называются характеристиками системы (3).Замечание. Если элементы матриц A, B, C, вектор f зависят отU , то понятие характеристики γ строится на¯ известном решенииe ¯¯ 6= 0.U = U (t, x, y). Далее мы полагаем, что |∇Ψ|γОпределение.

Система (3) называется симметрической t-гиперболической (по Фридрихсу), если матрицы A, B, C - симметрические, а матрица A к тому же положительно определена.Замечание. Если матрицы A, B, C, вектор f зависят от U , то система (3) является симметрической t-гиперболической на данномрешении U = U (t, x, y).Составим характеристическое уравнение (4) (или (40 )) для симметрической t-гиперболической системы. Поскольку A = A∗ > 0и (ξB + ηC) = (ξB + ηC)∗ , то согласно теореме из теории матриц,существует матрица T, det T 6= 0, такая что:b1....T ∗ AT = In , T ∗ (ξB + ηC)T = D = bnУчитывая это, получим:det(τ A + ξB + ηC) = det((T ∗ )−1 T ∗ (τ A+| {z }In+ξB + ηC)T T −1 ) = det(T ∗ )−1 .det(τ In + D) det T −1 = 0,т.е.τ = −b1 , ..., τ = −bn , bk = bk (ξ, η), k = 1, n;илиΨt = −b1 (Ψx , Ψy ), ..., Ψt = −bn (Ψx , Ψy ).Примеры.

В качестве первого примера рассмотрим систему урав-Лекция №5, НГУ, ММФ, 20107нений акустикиpt + ρ0 c20 (ux + vy ) = 0,1ut + px = 0,ρ01 vt + py = 0,ρ0где p - давление в возмущенной среде,u, v - компоненты вектора скорости возмущенной среды;ρ0 - плотность, c0 - скорость звука покоящейся среды.Эту систему можно переписать в виде симметрической t-гиперболической системы:AUt + BUx + CUy = 0,где:100100012 ρ0 c0 , B = 1 0 0  , C = 0 0 0  ,A=ρ00 0 01 0 00ρ0 pU = u , причем A = A∗ > 0, B = B ∗ , C = C ∗ .vХарактеристическое уравнение имеет вид:1η  ρ0 c20 τ ξ = ρ0 τ 3 − ρ0 τ η 2 − ρ0 τ ξ 2 =det  ξρ0 τ 0  c20η0 ρ0 τ⇒ρ0ρ0= 2 τ (τ 2 − c20 [ξ 2 + η 2 ]) = 2 Ψ2t (Ψ2t − c20 [Ψ2x + Ψ2y ]) = 0,c0c0т.е.qΨt = 0, Ψt = ±c0Ψ2x + Ψ2y .(5)Лекция №5, НГУ, ММФ, 20108Характеристиками являются:а) плоскость(t − t0 )ζ0∗ + (x − x0 )ζ1∗ + (y − y0 )ζ2∗ = 0Ã!∗22 ∗2∗2ζ0 = c0 (ζ1 + ζ2 )c0→ ζ0∗ = ± p,∗2∗2∗2ζ0 + ζ1 + ζ2 = 11 + c20б) коническая поверхность:c20 (t − t0 )2 − (x − x0 )2 − (y − y0 )2 = 0;в) цилиндрические поверхностиΨ(x, y) = 0.Плоскость t = 0 не является характеристикой.

Поэтому длясистемы (5) можно решать задачу Коши с условием:U |t=0 = U0 (x, y).В качестве второго примера рассмотрим системуUt + BUx = f (t, x, U ),где(6)b10...bn +−bn+1+...,B=−bn+ +n−0 ...n0 00bi = bi (t, x, U ) > 0, i = 1, n+ + n− , n+ + n− + n0 = n.Говорят, что система (6) записана в каноническом виде (матрица BЛекция №5, НГУ, ММФ, 20109u1имеет специальный вид).

Компоненты вектора U =  ...  − ui , i =un1, n иногда называют римановыми инвариантами. Система (6) симметрическая t-гиперболическая.Характеристическое уравнениеdet(Ψt In + BΨx ) = 0 →Ψt + b1 Ψx = 0, ..., Ψt − bn+ +n− Ψx = 0,Ψt = 0 (γ : Ψ(t, x) = 0).Если bi не зависят от U , то характеристиками системы (6) являются кривые:x = const, Φi (t, x) = const, i = 1, n+ + n− ,где Φi (·) = const - общее решение обыкновенного уравнения:(bi , i = 1, n+ ,dx=dt−bi , i = n+ + 1, n+ + n− .Если bi зависят от U , то характеристики определяются вместе срешением U = U (t, x):d(i) ui= fi (t, x, U ),dtdx e= bi , i = 1, n,dt bi , 1, n+ ,ebi = −bi , n+ + 1, n+ + n− ,0, n+ + n− + 1, n,∂ e ∂d(i)=+ bi .dt∂t∂x1§6Принцип Дюамеля.

Метод ФурьеМетод, с помощью которого находятся не обязательно аналитические решения.Грубую идею метода Фурье рассмотрим на примере следующего классасистем:∂U= AU + F,(1)∂tгдеXbαij (t, x)Dxα ,A = (aij ), i, j = 1, n, aij =|α|≤mf1 (t, x)u1..U =  ...  , F = F (t, x) = ,.fn (t, x)unnt > 0, x ∈ Ω ⊂ R .С системами вида (1) мы уже встречались в §5 (симметрические t-гиперболическиесистемы, m = 1).Другой примерutt = uxx + f (t, x),t > 0, x ∈ R1 .(∗)Пусть u = u(t,µ x)¶- достаточно гладкое решение уравнения (∗). Тогда дляuвектора U =справедливо:utUt = AU + F,гдеµA=µОбратно, пусть U =u1u20∂2∂x2¶10¶(∗∗)µ,F =0f¶.- некоторое решение системы (∗∗).

Тогда(u1 )t = u2и (u1 )tt = (u1 )xx + f (t, x).Вернемся к системе (1). Какие задачи для нее можно формулировать?Задача Коши:½Ut = AU + F, t > 0, x ∈ Rn ,(2)U |t=0 = ϕ(x), x ∈ Rn ,ϕ1 (x)где ϕ =  ... .ϕn (x)Покажем, как свести задачу (2) с F 6= 0 к задаче с F ≡ 0. Будем искатьрешение задачи (2) в видеU = V + W,где V - решение однородной задачи Коши:½Vt = AV,V |t=0 = ϕ(x),(о.з.к.)а W - решение неоднородной задачи Коши с однородными начальными условиями:½Wt = AW + F,(н.з.к.)W |t=0 = 0.2Обозначим через G(t, x, τ ) вектор-функцию, решающую задачу Коши:∂ ∂tG(t, x, τ ) = A(t + τ, x)G(t, x, τ ),(в.з.к.) G(t, x, τ )| = F (τ, x).t=0Тогда решение (н.з.к):Z1W (t, x) =G(t − τ, x, τ )dτ.0ДействительноWt = G(0, x, t) +R10= F (t, x) +R1∂G(t∂t− τ, x, τ )dτ =A(t, x)G(t − τ, x, τ )dτ =0R1= F (t, x) + A(t, x) G(t − τ, x, τ )dτ = AW + F,0W |t=0 = 0.При этом мы, естественно, предполагали, что вектор-функция G(t, x, τ ) обладает необходимой гладкостью по всем переменным для того, чтобы былизаконными все проделанные выше операции.

Приведенный метод построения вектор-функции W (t, x) с помощью вектор-функции G(t, x, τ ) называетсяпринципом Дюамеля.Пример.Задачи Коши для уравнения (∗)(utt = uxx + f (t, x), t > 0, x ∈ R1 ,u|t=0 = ϕ0 (x),ut |t=0 = ϕ1 (x),x ∈ R1 .Сведем ее к задаче Коши для системы (∗∗)x), t > ¶0, x ∈ R1 , Ut = AU + F (t, µϕ0 (x), x ∈ R1 . U |t=0 = ϕ(x) =ϕ1 (x)¶µ¶ µ¶ µw1uv1,+U =V +W ==w2v2utµ¶0F (t, x) =.f (t, x)Задача для вектора V½Vt = AV,V |t=0 = ϕ(x)эквивалентна задаче Коши(v1 )tt = (v1 )xx ,v1 |t=0 = ϕ0 (x),(v1 )t |t=0 = ϕ1 (x),(v2 = (v1 )t ),3решение которой дается в виде формулы Даламбера:ϕ0 (x − t) + ϕ0 (x + t) 1v1 (t, x) =+22Zx+tϕ1 (ξ)dξ.(+)x−tЗадача для определения вектора G(t, x, τ ): Gt (t, x, τ ) = AG(t, x, τ ), µ G(t, x, τ )|t=0 = F (τ, x) =0f (τ, x)¶,т.е.

с учетом формулы (+) первая компонента вектора G(t, x, τ ):Zx+tf (τ, ξ)dξ.1g1 (t, x, τ ) =2x−tТогда1w1 =2Z t x+t−τZf (τ, ξ)dξdτ,(++)0 x−t+τт.е. u = v1 + w1 (см. формулы (+) и (++)).Если ϕ0 (x) ∈ C 2 (R1 ), ϕ1 (x) ∈ C 1 (R1 ), f (t, x), fx (t, x) - непрерывны в областиt > 0, x ∈ R1 , то u(t, x) ∈ C 2 ({t > 0, x ∈ R1 }) - классическое решение.Вернемся к задаче (2) и будем (в силу принципа Дюамеля) полагать далее,что F (t, x) ≡ 0.

Построим вначале формальное решение задачи (2) в виде(полагая, что bαij не зависят от t):tAU (t, x) = e ϕ(x) =∞Xtkk=0Здесь etA =∞Pk=0tAtk kAk!k!Ak ϕ(x).(3)- операторная экспонента (по аналогии с матричной экс-понентой e , когда A - просто матрица). Продифференцируем формально рядпо t:∞∞XXtk−1tk kUt =Ak ϕ(x) = A(A ϕ(x)) = AU(k−1)!k!k=1k=0и U |t=0 = ϕ(x), т.е.

Характеристики

Список файлов лекций