1625915143-9358bde957c0693ae60a95b83ad382f6 (843873)
Текст из файла
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙИМАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКАКонспект лекций В.И. Лотовадля студентов физического факультета НГУ1СодержаниеI.Теория вероятностей31. Вероятностные пространства. Основные формулы1.1. Дискретные пространства . . . . . . . . . . . . . . .1.2.
Континуальные пространства . . . . . . . . . . . . .1.3. Вероятностное пространство общего вида . . . . . .1.4. Независимые события . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.5. Схема Бернулли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.6. Условные вероятности .
. . . . . . . . . . . . . . . . .1.7. Формула полной вероятности . . . . . . . . . . . . . .1.8. Формула Байеса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .........................................................................................3391214151718192. Распределения2.1. Случайные величины. Функции распределения2.2. Типы распределений. Примеры .
. . . . . . . .2.3. Многомерные распределения и плотности . . .2.4. Преобразования случайных величин . . . . . .....3. Числовые характеристики распределений3.1. Математическое ожидание . . . . . . . . . . . . .3.2. Моменты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.3. Дисперсия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.4. Коэффициент корреляции .
. . . . . . . . . . . .3.5. Многомерный случай: математическое ожиданиеи матрица ковариаций . . . . . . . . . . . . . . . .3.6. Многомерное нормальное распределение . . . . .4. Предельные теоремы4.1. Сходимость по вероятности . . . . .
. . . .4.2. Закон больших чисел . . . . . . . . . . . .4.3. Центральная предельная теорема . . . . .4.4. Приближение Пуассона в схеме БернуллиII.....................................................................2020233235....................................................3939444446. . . . . . . . .
. . . . 48. . . . . . . . . . . . . 49....................................................Математическая статистика5151535457605. Введение605.1. Основные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605.2. Выборочные характеристики .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616. Оценивание неизвестных параметров6.1. Постановка задачи. Несмещенность и состоятельность6.2. Метод моментов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.3. Метод максимального правдоподобия . .
. . . . . . . .6.4. Сравнение оценок . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2........................................64646567707. Доверительные интервалы7.1. Некоторые распределения, связанные с нормальным . .7.2. Свойства выборок из нормального распределения . . .
.7.3. Доверительные интервалы для параметров нормального7.4. Построение доверительных интервалов с помощьюнормального приближения . . . . . . . . . . . . . . . . .8. Проверка гипотез8.1. Постановка задачи, основные понятия . . . . . .8.2. Критерий Колмогорова . . . . . . . . . . . . . . .8.3. Критерий хи-квадрат Пирсона . . .
. . . . . . .8.4. Построение критерия с помощью доверительногоинтервала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8.5. Проверка гипотез в случае двух выборок . . . . .8.6. Дисперсионный анализ: однофакторная модель .72. . . . . . . . .
72. . . . . . . . . 74распределения 76. . . . . . . . . 7879. . . . . . . . . . . . . 79. . . . . . . . . . . . . 80. . . . . . . . . . . . . 81. . . . . . . . . . . . . 82. . . . . . . . . . . . . 83. . . . . . . . . . . . . 859. Задачи линейной регрессии889.1. Постановка задачи . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 889.2. Метод наименьших квадратов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 909.3. Доверительные интервалы и проверка гипотез . . . . . . . . . . . . . . . 91III.Элементы теории случайных процессов9510. Цепи Маркова9510.1. Основные определения . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9510.2. Возвратность состояний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9710.3. Эргодическая теорема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10011. Ветвящиеся процессы12. Случайные процессы с12.1. Общие определения .12.2. Процесс Пуассона . .12.3. Винеровский процесс103непрерывным временем107.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1113Часть I.Теория вероятностей1.1.1.Вероятностные пространства. Основные формулыДискретные пространстваДо возникновения теории вероятностей объектом исследования науки были явления или опыты, в которых условия эксперимента позволяют исследователю однозначно определить исход эксперимента. Так, например, в химии: если известны вещества,вступающие в реакцию, их свойства, условия, в которых будет протекать реакция,то однозначно можно предсказать исход реакции.
В механике: если известны массатела, все силы, которые на него действуют, координаты и начальная скорость, тонетрудно вычислить траекторию последующего движения.Однако есть ряд явлений и экспериментов, которые называются случайными икоторые характеризуются невозможностью предсказать их исход до начала эксперимента.Рассмотрим некоторые примеры.1. Однократное подбрасывание монеты. Здесь возможны два исхода, их принятообозначать «Г» (герб) и «Р» (решка).2.
Однократное бросание игральной кости (т. е. кубика, у которого на граняхнанесены числа от 1 до 6). Здесь возможны шесть исходов эксперимента: 1, 2, 3, 4, 5, 6.3. Подсчет количества вызовов, пришедших в течение часа на АТС (автоматическую телефонную станцию) для обслуживания. Поступить может любое число вызовов: 0, 1, 2, . . . .4.
Определение времени безотказной работы прибора. Исходом этого эксперимента может быть любое неотрицательное число из [0, ∞).5. Движение броуновской частицы на плоскости в течение минуты. В результатеэтого эксперимента может осуществиться любая из бесконечного множества траекторий.Теория вероятностей, как и всякая другая математическая дисциплина, строит иизучает математическую модель тех или иных явлений, в данном случае — случайных явлений.Казалось бы, какие научные результаты можно получить относительно подбрасывания монеты? Если подбрасывание однократное, то, действительно, мало интересного можно сказать.
Но если, к примеру, подбрасывать монету n раз и подсчитатьколичество Sn выпавших гербов, то окажется, что при увеличении n отношение Sn /nстремится к 1/2. Этот факт был замечен давно, многие исследователи эмпирическимпутем его перепроверяли. Так, в опытах французского исследователя Бюффона монета бросалась 4 040 раз, выпало 2 048 гербов, что привело к результату Sn /n = 0.507.Английский статистик Пирсон в 24 000 бросаниях получил 12 012 гербов, при этомSn /n = 0.5005.Обнаруженная закономерность — одна из простейших, она является следствиемтак называемого закона больших чисел. Эта и ряд других предельных закономерностей будут изучены нами позже.А пока займемся построением математической модели случайных явлений.
Дляэтого нужно выделить у изучаемых явлений общие черты и наделить ими модель.4При этом надо постараться отразить наиболее существенные черты рассматриваемыхявлений и отбросить несущественные. Модель не должна быть слишком сложной,иначе изучать ее будет затруднительно.Какие же общие черты имеются у явлений, рассмотренных в примерах 1 – 5?У каждого из них имеется некоторый набор возможных исходов эксперимента. Будем обозначать его греческой буквой Ω и называть пространством элементарныхисходов.
У каждого случайного эксперимента оно свое — подчеркнем это. Если Ωконечно или счетно, то будем называть его дискретным. Из уже рассмотренных примеров дискретные пространства появляются в первых трех. Элементы множества Ωобычно обозначаются буквами ω с индексами или без них и называются элементарными исходами. Заметим, что, несмотря на использование часто встречающегося вматематике термина «пространство», в нашем случае Ω — всего лишь абстрактноемножество (не обязательно числовой природы), на этом множестве не вводятся операции сложения, умножения, нет там и отношения порядка.Далее на протяжении всего параграфа мы ограничимся рассмотрением толькодискретных пространств элементарных исходов.Введем понятие события.
Все хорошо представляют событие как нечто могущеепроизойти или уже происходящее. Нам нужно ввести в рассмотрение математическую модель этого «происходящего».Определение. Событиями называются произвольные подмножества пространства элементарных исходов Ω.Обозначать разные события будем буквами A, B, C, . . . с индексами или без них.Мы будем говорить, что событие A ⊂ Ω произошло, если в результате случайногоэксперимента реализовался один из элементарных исходов ω ∈ A.Убедимся на примерах, что каждое подмножество Ω действительно соответствует осуществлению некоторого события в данном случайном эксперименте. Так, подмножество {2, 4, 6} ⊂ Ω в примере 2 соответствует тому, что в результате бросанияигральной кости выпало четное число очков. Рассмотрим эксперимент из примера 3.Если описать здесь словами какое-нибудь событие, скажем, поступление на АТС неменее 10 вызовов за час, то ясно, что такому событию будет соответствовать множество {10, 11, 12, .
. .} ⊂ Ω.Пустое множество ∅ ⊂ Ω также, по определению, является событием, оно называется невозможным (никогда не может произойти). Все пространство Ω ⊂ Ω тожеесть событие, оно называется достоверным. Совокупность всех возможных событийобозначим S, в дискретном пространстве это совокупность всех подмножеств Ω.Если из ω ∈ A следует ω ∈ B, т.
е. A ⊂ B, то мы говорим, что событие A влечетсобытие B (но не наоборот!).Над событиями, как над множествами, можно производить операции объединения, пересечения, разности, перехода к дополнительному множеству, причем операции объединения и пересечения будут применяться как к конечному, так и к бесконечному набору событий. Напомним некоторые определения:∞SAi = {ω : ω ∈ Ai хотя бы при одном i} — объединение событий (означает, чтоi=1происходит хотя бы одно из A1 , A2 , . . .);∞TAi = {ω : ω ∈ Ai при всех i = 1, 2, . . .} — пересечение событий (означает, чтоi=1происходят одновременно все указанные события);A\B = {ω : ω ∈ A, но ω 6∈ B} — разность двух событий;A = Ω\A = {ω : ω 6∈ A} — дополнительное событие или просто дополнение к A.Перечисление различных свойств этих операций не входит в программу нашего5курса, мы остановимся только на одном соотношении, которое будет использоватьсяв дальнейшем.Формула двойственности. Для любой последовательности событий A1 , A2 , .
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
