1625915143-9358bde957c0693ae60a95b83ad382f6 (843873), страница 2
Текст из файла (страница 2)
. .справедливо∞∞\[Ai =Ai .i=1Докажем это соотношение. Если ω ∈i=1∞TAi , то ω 6∈i=1i такой, что ω 6∈ Ai или, что то же самое, ω ∈ Ai ⊂∞TAi , т. е. существует номерi=1∞S∞Si=1i=1Ai . Если же ω ∈существует номер i такой, что ω ∈ Ai . Значит, ω 6∈ Ai , т. е. ω 6∈ω∈∞T∞TAi , тоAi и, следовательно,i=1Ai .i=1Далее мы введем понятие вероятности события. Вообще говоря, вероятность— это числовая функция на S, обладающая определенными свойствами. Для дискретных пространств мы определим ее в два этапа. Сначала только для событий,состоящих из одного единственного элементарного исхода.Каждому элементарному исходу ω ∈ Ω поставим в соответствие число P(ω), называемое вероятностью этого элементарного исхода, так, чтобы были выполненыследующие два требования:1) P(ω)P ≥ 0;2)P(ω) = 1.ω∈ΩКакие конкретно значения следует задавать — не так уж важно, это обычно определяется условиями эксперимента.
Так, в примере 1 мы припишем вероятности 1/2каждому элементарному исходу, если монетка симметрична; в примере 2 (бросаниеигральной кости) можно задать равные вероятности по 1/6 для каждого элементарного исхода. В третьем примере мы уже не можем приписать каждому элементарному исходу одну и ту же положительную вероятность — тогда сумма всех вероятностейне будет равна единице. Как показывают эксперименты, для вероятности того, чтоза единицу времени на АТС поступит ровно k вызовов, лучше всего подходит числоλk −λe при некотором λ > 0.k!Теперь мы можем определить вероятность произвольного события A ⊂ Ω.
Положим, по определению,XP(A) =P(ω).ω∈AБудем считать, кроме того, что P(∅) = 0.Мы тем самым завершили построение математической модели эксперимента сдискретным пространством элементарных исходов. Она состоит из тройки hΩ, S, Piи называется вероятностным пространством.Подчеркнем, что данное выше определение вероятности события годится толькодля дискретных моделей. Далее мы рассмотрим некоторые основные свойства вероятности в дискретной модели.Свойства вероятности1.
0 ≤ P(A) ≤ 1.2. Если A ⊂ B, то P(A) ≤ P(B).Эти два свойства очевидным образом вытекают из определения вероятности.63. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(AB), где для краткости записи обозначеноP(AB) = P(A ∩ B).Для доказательства этого соотношения обратимся сначала к его правой части.Вычисляя P(A), мы суммируем вероятности всех элементарных исходов из A, затемприбавляем сумму вероятностей элементарных исходов из B. Тем самым получается, что вероятности элементарных исходов из множества AB мы просуммировалидважды. Значит, один раз нужно их отнять.События A и B называются несовместными, если AB = ∅. Из доказанного свойства следует, в частности, что P(A ∪ B) = P(A) + P(B), если события A и B несовместны.Последнее называется аддитивностью вероятности.
Разумеется, с помощью индукции можно распространить это свойство на любое конечное число взаимно несовместных событий.4. P(A) = 1 − P(A), поскольку A ∪ A = Ω, P(A) + P(A) = P(Ω) = 1.5. Если события A1 , A2 , . . . попарно несовместны, т. е.Ai Aj = ∅ (i 6= j),тоPÃ∞[!Ai=i=1∞XP(Ai ).i=1Данное свойство называется счётной аддитивностью. Оно также легко следуетиз определения вероятности:Ã∞ !∞XXX[XP(ω) =P(ω) +P(ω) + .
. . =P(Ai ).PAi =i=1ω∈∞Si=1Aiω∈A1ω∈A2i=1Важный частный случай: классическое определение вероятностиСреди дискретных моделей мы более подробно рассмотрим такие, у которых:1) N (Ω) = N < ∞ (здесь N (Ω) обозначает число элементов множества Ω);2) P(ω1 ) = . . . = P(ωN ) = 1/ N.Вероятностные пространства, удовлетворяющие таким свойствам, используютсяочень часто. Первые два примера из рассмотренных приводят именно к таким моделям. Посмотрим, как будет вычисляться в такой ситуации вероятность события.Для любого события AP(A) = 1/ N + .
. . + 1/ N.Число слагаемых в правой части равно числу элементов множества A, т. е. N (A),поэтому получаемN (A)N (A)=.P(A) =NN (Ω)Это так называемое классическое определение вероятности. Как видим, в соответствии с этим определением вероятность равна отношению числа «благоприятных» исходов (т.
е. тех, которые формируют интересующее нас событие) к числувсех возможных исходов эксперимента. Формула проста, но она не универсальна, ееприменимость ограничивается приведенными выше двумя условиями.Для вычисления вероятностей с помощью классического определения часто требуется применять некоторые методы и результаты из комбинаторики. Напомнимкратко решения некоторых комбинаторных задач.71.
Пусть имеется совокупность из n различных объектов a1 , a2 , . . . , an . Сколькими способами можно расставить их в ряд?Это задача о перестановках. На первое место в этом ряду можно поставить любойиз n имеющихся объектов, на второе — любой из n − 1 оставшихся и т. д. В итогеполучаем n(n − 1)(n − 2) · · · 2 · 1 = n! перестановок (когда каждый из вариантовдля одной позиции может объединяться с любым вариантом для другой позиции,то общее число вариантов получается перемножением, а не сложением, это легкопроверить на примерах).2. Пусть исходная совокупность a1 , a2 , .
. . , an та же, что и в предыдущей задаче, но теперь мы будем выбирать из нее подсовокупность, состоящую из k объектов (будем говорить, что мы делаем выборку объема k), k = 1, 2, . . . , n. Сколькоразличных выборок можно получить?Если действовать, как в предыдущем пункте, мы можем выбрать первый объектn способами, второй n−1 способом, и так до тех пор, пока не наберем k объектов.
Темn!самым количество выборок получится равным n(n−1)(n−2) . . . (n−k +1) =.(n − k)!Нетрудно убедиться на примерах, что полученное нами число выборок объема kвключает выборки, различающиеся и по составу элементов, и по порядку расположения их внутри выборки.Если мы хотим ограничить себя выборками, различающимися только составомвходящих в них элементов и не принимать во внимание порядок элементов внутривыборки, то мы должны полученное выше число разделить на k!, так как каждая выборка фиксированного состава нами посчитана там k! раз со всеми ее перестановкамиэлементов.n!Таким образом, мы получаем число Cnk =.
Его обычно называют числомk!(n − k)!сочетаний из n по k. Числа Cnk , k = 0, 1, . . . , n, также называют биномиальнымикоэффициентами, поскольку они участвуют в формуле бинома Ньютона(x + y)n =nXCnk xk y n−kk=0Cn0(мыобозначение= 1, это удобно). Из бинома сразу следует, чтоPn используемknkn−k.k=0 Cn = 2 . Отметим также очевидное свойство Cn = Cn3. Имеется n ящиков и k различных шаров. Шары произвольным образом размещаются по ящикам без каких-либо ограничений. Скольким числом способов можноэто сделать?Здесь первый шар может быть положен в любой из n ящиков, независимо отэтого у второго шара тоже n вариантов и т. д. Перемножая количества вариантов,получаем nk различных способов размещения.Эта задача может встретиться в другой интерпретации.Предположим, что в алфавите n букв.
Сколько слов длины k можно составить?Ясно, что в качестве первой буквы может быть взята любая из n букв алфавита, вкачестве второй — тоже любая буква алфавита и т. д. Всего получаем nk различныхслов.Различаются выборки с возвращением и без возвращения. Примером выборок свозвращением являются разные слова в последней задаче: здесь после выбора первойбуквы слова исходная совокупность (алфавит) не уменьшилась и на втором шаге мывновь имеем n вариантов, так же и для третьей, четвертой и других букв слова. А вотпри получении числа Cnk мы делали выборки без возвращения, так как, выбирая8последовательно один объект за другим, мы уменьшали исходную совокупность.Задачи о размещении шаров по ящикам широко используются в статистическойфизике.
Обычно там говорят о размещении частиц по ячейкам. Если k различных частиц произвольным образом размещаются по n ячейкам, и все nk полученных размещений равновероятны, то такую схему физики называют статистикой МаксвеллаБольцмана.4. Пусть теперь шары неразличимы, их по-прежнему k штук, и они без какихлибо ограничений распределяются по n ящикам. Сколько существует различныхразмещений в этой схеме?Эта задача сложна. Предварительно зададимся вопросом: сколько можно построить двоичных последовательностей, если в нашем распоряжении имеется m единици r нулей? Последовательность имеет длину m + r, и из m + r мест в ней любые mмогут быть заняты единицами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
