1625915143-9358bde957c0693ae60a95b83ad382f6 (843873), страница 7
Текст из файла (страница 7)
В нашей интерпретации данная вероятность — это масса «бутерброда» с основанием [a, b].Вообще, если множество B ⊂ R допускает возможность интегрирования по нему,тоZP(X ∈ B) =fX (t) dt.BПримеры абсолютно непрерывных распределенийЗдесь мы используем заглавные буквы для обозначения функций распределения,а соответствующие малые буквы — для обозначения плотностей.1. Равномерное распределение на отрезке [a, b]. Его плотность равна1, t ∈ [a, b],b−aua,b (t) =,0,иначе.u (t)6 a,ba0bt-Ясно, что в данном случае все значения случайной величины располагаются наотрезке [a, b] и равномерно там разбросаны; вероятность попадания в любой промежуток [c, d] ⊂ [a, b] равна отношению длинZ d1d−cP(X ∈ [c, d]) =dt =,b−ac b−a27что уже встречалось нам в задачах на геометрические вероятности.Для функции распределения имеем формулу0,y ≤ a,y−aUa,b (y) =, y ∈ [a, b],b−a1,y > b.U (y)6 a,b1©©©©©a©©©©y-b0Как видим, в двух точках эта функция производной не имеет.2.
Нормальное (гауссовское) распределение Φα,σ2 . Плотность задается формулой122ϕα,σ2 (t) = √ e−(t−α) /2σ ,σ 2π−∞ < t < ∞.Здесь α — параметр сдвига, −∞ < α < ∞, другой параметр σ 2 > 0 отвечает за уголразвала ветвей графика плотности и за максимальное значение этой функции.26ϕα,σ (t)0-tαФункция распределения задается формулой (к сожалению, интеграл не беретсяв элементарных функциях)1Φα,σ2 (y) = √σ 2πZye−(t−α)22σ 2dt.−∞Φ 2 (y)6 α,σ120αy-Если α = 0, σ 2 = 1, то мы получаем стандартное нормальное распределение Φ0,1с плотностью2812ϕ0,1 (t) = √ e−t /22πи с функцией распределения1Φ0,1 (y) = √2πZye−t2 /2dt.−∞График этой функции имеет центр симметрии — точку с координатами (0, 1/2),Φ0,1 (y) = 1 − Φ0,1 (−y).
Функция Φ0,1 (y) очень быстро стремится к нулю при y → −∞(и соответственно так же быстро к единице при y → ∞):Φ0,1 (−3) = 0.00135; Φ0,1 (−1.96) = 0.025; Φ0,1 (−1.64) = 0.05.Эти данные взяты из таблиц стандартного нормального распределения, которымиснабжены почти все пособия по теории вероятностей и математической статистикеввиду важности этого распределения для приложений. Несмотря на то что значенияслучайной величины Y ⊂= Φ0,1 разбросаны по всей прямой, видно, что с вероятностью0.9973 они попадают в интервал (-3,3).6ϕ0,1 (t)−3¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡pp¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡p pp p pp p p p−2 −1 012-3 tПозже мы покажем, что если X ⊂= Φα,σ2 , то Y = (X − α)/σ ⊂= Φ0,1 .
Значит,P(|Y | < 3) = 0.9973, или, что то же самое,P(|X − α| < 3σ) = 0.9973.Последнее известно как правило трех сигм.Насколько важно нормальное распределение для приложений, станет ясно позже, когда будет изучена центральная предельная теорема. Забегая вперед, скажем,что очень часто распределение случайной величины будет близко к нормальному,если она сформировалась в результате накопления большого числа более «мелких»случайных факторов.3. Показательное (экспоненциальное) распределение Eα . Плотность показательного распределения задается формулой(α e−αt , t > 0,eα (t) =0,t ≤ 0.Здесь α > 0 — параметр распределения.eα (t)6-t029Функция распределения легко получается интегрированием:(0,y ≤ 0,Eα (y) =−αy1 − e , y > 0.Eα (y)16-y0Показательно распределенными оказываются длительности телефонных разговоров, промежутки времени между последовательными приходами клиентов на обслуживание (например, кораблей в порт или покупателей в магазин), длительностиобслуживания клиентов, время безотказной работы прибора и многое другое.Остановимся более подробно на одном замечательном свойстве показательногораспределения.
Пусть X — продолжительность телефонного разговора и пустьX⊂= Eα , т. е.P(X ≥ y) = e−αy , y > 0.Телефонный разговор начался в момент времени 0 и, когда в момент времени y мырешили подключиться к нему (с неблаговидной целью подслушивания), он все ещепродолжался. Каково будет распределение у оставшейся продолжительности разговора? Оказывается, в точности такое же, как и у всей продолжительности X. Действительно, вероятность того, что оставшаяся длительность разговора будет не меньше t, равнаP(X ≥ y + t/X ≥ y) ==P(X ≥ y + t, X ≥ y) P(X ≥ y + t)==P(X ≥ y)P(X ≥ y)e−α(y+t)= e−αt = P(X ≥ t),e−αyt > 0.4. Гамма-распределение Γα,λ . Плотность гамма-распределения равна λ αtλ−1 e−αt , t > 0,γα,λ (t) = Γ(λ)0,t ≤ 0.Здесь участвуют два параметра α > 0, λ > 0.
Напомним, чтоZ∞tλ−1 e−t dtΓ(λ) =0— известная гамма-функция Эйлера; она обладает свойством Γ(λ + 1) = λΓ(λ). Дляцелых значений λ = n имеет место по этой причине Γ(n + 1) = n!.Графики плотности гамма-распределения существенно различаются в зависимости от значений параметра λ (см. рисунок). При λ < 1 плотность неограниченна вокрестности нуля, при λ = 1 получается плотность показательного распределения(Γα,1 = Eα ). При λ > 1 график плотности имеет одну вершину, которая удаляетсявправо с увеличением λ.306γα,λ (t)λ<1λ>1λ=1-t0Функция гамма-распределения задается формулойZ yΓα,λ (y) =γα,λ (t)dt0при y > 0 и Γα,λ (y) = 0 при y ≤ 0.
Этот интеграл можно вычислить с помощьюнеоднократного интегрирования по частям, если λ целое, и не берется в элементарныхфункциях при прочих λ.Гамма-распределение широко используется в теории систем обслуживания, математической статистике, теории надежности.5. Распределение Коши K. Плотность задается формулойk(t) =1 1,π 1 + t2−∞ < t < ∞.k(t)6-t0По своему виду график плотности напоминает плотность стандартного нормальногораспределения, только в отличие от последнего стремление k(t) → 0 при |t| → ∞происходит значительно медленнее.
Интегрируя плотность, находим функцию распределения:Zy11 11K(y) =dt = + arctg y.2π1+t2 π−∞6K(y)120-yОпределение. Функция распределения F относится к смешанному типу, еслипри всех значениях yF (y) = α F1 (y) + β F2 (y),31где F1 (y) — абсолютно непрерывная, а F2 (y) — дискретная функции распределения,α ≥ 0, β ≥ 0, α + β = 1.Ясно, что частными случаями смешанных распределений являются абсолютнонепрерывные (им соответствуют α = 1, β = 0) и дискретные распределения (приα = 0, β = 1).Пример функции распределения смешанного типа.
На рисунке изображен графикнекоторой функции распределения. Ясно, что эта функция не является дискретной(имеется участок непрерывного роста) и не является абсолютно непрерывной в силуналичия скачка. Это распределение смешанного типа.F (y)61©©©©1201-y2Для разложения этой функции распределения на компоненты проще всего выделить сначала дискретную часть: она должна иметь единственный скачок в точкеy = 1. Берем F2 (y) = I1 (y) (вырожденное распределение в единице), β = 1/2. Тогдаясно, что F1 (y) = U1,2 (y), α = 1/2.Таким образом, поставив первоначальную задачу изучения случайных величин,мы на самом деле стали подробно изучать их распределения. Тем самым произошланекоторая подмена.Можно ли утверждать, что распределение однозначно характеризует случайнуювеличину? Оказывается, нет.
По случайной величине мы известным образом строимраспределение, а вот по распределению восстановить случайную величину невозможно.Следующий пример показывает, что на одном и том же вероятностном пространстве можно построить бесконечно много различных случайных величин, имеющиходно и то же распределение.Пример. Пусть Ω = [0, 1]. Для всякого интервала A ⊂ Ω положим P(A) = λ(A),где λ(A) — длина интервала. Возьмем далее произвольный интервал B ⊂ Ω, имеющий длину 1/2, и зададим случайную величину(1, ω ∈ B,X(ω) =0, ω 6∈ B.Она представлена на рисунке.1 6X(ω)0B1-ωЯсно, что X ⊂= B1/2 :1P(X = 1) = λ(B) = ,2321P(X = 0) = .2Перемещая множество B внутри Ω, мы будем получать все новые случайные величины, однако все они будут иметь одно и то же распределение B1/2 .2.3.Многомерные распределения и плотностиВ ряде прикладных задач возникает необходимость рассматривать случайные векторы.
Мы будем называть случайным всякий вектор X = (X1 , X2 , . . . , Xn ), компонентами которого являются случайные величины. Изображаться случайные векторыбудут в виде строк или в виде столбцов (как это удобно).На многомерный случай можно распространить понятие функции распределения.Определение. Функцией распределения случайного вектора X (многомернойфункцией распределения, совместной функцией распределения) называетсяFX1 ,X2 ,...,Xn (y1 , y2 , . . . , yn ) = P(X1 < y1 , X2 < y2 , .
. . , Xn < yn ),где перечисление событий через запятую означает одновременное их осуществление,то есть пересечение.Свойства многомерных функций распределения1. 0 ≤ FX1 ,...,Xn (y1 , . . . , yn ) ≤ 1.2. Если y1 < z1 , y2 < z2 , . . . , yn < zn , тоFX1 ,...,Xn (y1 , . . . , yn ) ≤ FX1 ,...,Xn (z1 , . . . , zn ).Эти два свойства очевидны.По аналогии со свойствами одномерных функций распределений рассмотрим далее предельное поведение многомерных функций распределения на бесконечности.Но здесь, впрочем, присутствует n аргументов. Мы будем устремлять к −∞ и к +∞один из них (допустим, последний).3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
