1625915143-9358bde957c0693ae60a95b83ad382f6 (843873), страница 6
Текст из файла (страница 6)
В то же время следует заметить, что для изучения функций, заданных напроизвольном множестве (в данном случае Ω), не существует достаточно развитого математического аппарата. В связи с этим во многих ситуациях ограничиваютсяизучением не самих случайных величин, а их распределений.Определение. Мы будем говорить, что нам известно распределение случайнойвеличины X, если для произвольных чисел a ≤ b мы можем находить вероятностивида P(ω : a ≤ X(ω) ≤ b) (а значит, и вероятности вида P(ω : a ≤ X(ω) < b),P(ω : a < X(ω) ≤ b), P(ω : a < X(ω) < b)).В дальнейшем будем использовать краткую запись:P(ω : a ≤ X(ω) ≤ b) = P(a ≤ X ≤ b) = P(X ∈ [a, b]).Далее мы увидим следующее: что для того, чтобы знать распределение случайнойвеличины X, достаточно знать всего одну функцию — функцию распределения этойслучайной величины.Определение.
Функцией распределения случайной величины X называетсяFX (y) = P(ω : X(ω) < y) = P(X < y), −∞ < y < ∞.Основные свойства функций распределения1. 0 6 FX (y) 6 1 для всех значений y. Свойство очевидно.212. Если y1 < y2 , то FX (y1 ) 6 FX (y2 ), т. е.
функция распределения монотонно неубывает.Доказательство. Введем события A1 = {X < y1 }, A2 = {X < y2 }, тогдаA1 ⊂ A2 , поэтому FX (y1 ) = P(A1 ) 6 P(A2 ) = FX (y2 ).3. Существуют пределы lim FX (y) = 0 и lim FX (y) = 1.y→−∞y→∞Доказательство. Существование пределов следует из монотонности и ограниченности функции распределения. Чтобы найти значения пределов, достаточно вместонепрерывно меняющейся переменной y рассмотреть какую-нибудь последовательность yk → −∞ в первом случае и yk → ∞ во втором.Пусть последовательность {yk }, монотонно убывая, стремится к −∞ (например,можно взять yk = −k).
Введем событияAk = {X < yk }, k = 1, 2, . . . .Нетрудно видеть, чтоA1 ⊃ A2 ⊃ . . . .Используя свойство непрерывности вероятности, получаемÃ∞!\?lim FX (yk ) = lim P(Ak ) = PAk = P(∅) = 0.k→∞k →∞k=1Равенство, помеченное вопросом, требует комментариев. Докажем, что указанное пересечение множеств пусто. ОтTпротивного: предположим, что существует хотябы один элементарный исход ω ∈ Ak . Поскольку X(ω) — конечное число,T то существует индекс k0 такой, что yk0 < X(ω), т.
е. ω 6∈ Ak0 , а значит, ω 6∈ Ak , чтопротиворечит исходному предположению.Для доказательства второго предельного соотношения рассмотрим последовательность чисел yk , монотонно стремящуюся к бесконечности (например, yk = k),и введем события Ak = {X < yk }, k = 1, 2, . . .. Очевидно, A1 ⊂ A2 ⊂ . . . ; и опять всилу свойства непрерывности вероятности!Ã∞[Ak = P(Ω) = 1.lim F (yk ) = lim P(Ak ) = Pk→∞Поясним, почему здесьk→∞∞Sk=1Ak = Ω. ВключениеSAk ⊂ Ω. очевидно. Обратно: пустьk=1ω ∈ Ω, вычислим X(ω) — это некоторое конечное число.
Поэтому найдется индекс k0∞Sтакой, что yk0 > X(ω), т. е. ω ∈ Ak0 ⊂Ak .k=1Установленные свойства уже позволяют в общих чертах представить себе, каквыглядят графики функций распределения. Располагаясь полностью в полосе0 ≤ y ≤ 1 на координатной плоскости точек (x, y), кривые являют собой неубывающие функции, которые проходят путь по вертикали от 0 до 1 при возрастанииаргумента от −∞ до +∞.Однако путь этот не обязан быть непрерывным: возможны скачки.
Например,график может быть таким.22FX (y)16by0y-0Возникает вопрос: чему равно значение функции распределения в точке разрыва,коль скоро он имеет место? Ответ содержится в следующем свойстве.4. Для любого y имеет место FX (y − 0) = FX (y), т. е. функция распределениявсегда непрерывна слева.Доказательство.
Выбираем возрастающую последовательность точек {yk }, схо1дящуюся слева к y (например, yk = y −). Введем события Ak = {X < yk },kk = 1, 2, . . . . Здесь, очевидно, A1 ⊂ A2 ⊂ . . . , значит,FX (y − 0) = lim Fk (yk ) = lim P(Ak ) = P(k→∞k→∞∞[?Ak ) = P(X < y) = FX (y).k=1Поясним равенство,отмеченное вопросом.SПусть ω ∈ Ak , тогда существует индекс k0 такой, что ω ∈ Ak0 , т.
е.X(ω) < yk0 < y.В другую сторону: пусть ω таково,S что X(ω) < y, тогда существует индекс k0такой, что X(ω) < yk0 , т. е. ω ∈ Ak0 ⊂ Ak .Свойства 1–4, доказанные нами, являются характеристическими для функцийраспределения в том смысле, что любая функция, ими обладающая, является функцией распределения какой-то случайной величины в подходящем вероятностном пространстве.Доказательство этого факта выходит за рамки нашего курса.Отметим еще одно (дополнительное) свойство: мы доказали, чтоFX (y − 0) = P(X < y);оказывается, чтоFX (y + 0) = P(X 6 y).Мы не будем доказывать это соотношение, для этого потребовалось бы вновь(в четвертый раз!) построить нужную последовательность точек и воспользоваться свойством непрерывности вероятности.
Отметим только одно полезное следствиеэтих фактов. Из аддитивности следует, чтоP(X 6 y) = P(X < y) + P(X = y),откудаP(X = y) = P(X 6 y) − P(X < y) = FX (y + 0) − FX (y − 0),что равно величине скачка функции распределения в точке y.Таким образом, P(X = y) = 0 для всех точек y, в которых функция распределения случайной величины X непрерывна. Далее, для любых чисел a < b можнозаписать {X < b} = {X < a} ∪ {a ≤ X < b}, тоP(X < b) = P(X < a) + P(a ≤ X < b),23поэтомуP(a ≤ X < b) = P(X < b) − P(X < a) = FX (b) − FX (a).Точно так жеP(a ≤ X ≤ b) = P(X ≤ b) − P(X < a) = FX (b + 0) − FX (a);P(a < X ≤ b) = P(X ≤ b) − P(X ≤ a) = FX (b + 0) − FX (a + 0);P(a < X < b) = P(X < b) − P(X ≤ a) = FX (b) − FX (a + 0).Тем самым мы подтвердили высказанное ранее утверждение о том, что функцияраспределения полностью определяет распределение случайной величины.
В связис этим термины «распределение» и «функция распределения» (а также «закон распределения») часто используются как синонимы.2.2.Типы распределений. ПримерыОпределение. Случайная величина X называется дискретной, если существуетконечная или счетная последовательность чисел y1 , y2 , y3 , . . . такая, что∞XP(X = yk ) = 1.k=1Функция распределения дискретной случайной величины называется дискретной.Дискретное распределение удобно задавать с помощью таблицы. Обозначимpk = P(X = yk ), k = 1, 2, . . .
,тогда приведенная ниже таблица полностью характеризует распределение.ЗначенияВероятностиy1p1y2p2y3p3......Например, вероятности попадания значений случайной величины в интервал легконаходятся суммированием элементов таблицы:XP(a < X < b) =pk .k: a<yk <bПусть значения случайной величины y1 , y2 , y3 , . . .
пронумерованы в порядке ихвозрастания. Тогда график функции распределения будет выглядеть примерно так:F (y)16Xp1 + p2p1y1y2y3 . . .024-yДействительно, если y < y1 , то FX (y) = P(X < y) = 0; если y1 < y < y2 , тоFX (y) = P(X < y) = P(X = y1 ) = p1 , и т. д.В дальнейшем мы будем писать X ⊂= F , если X имеет функцию распределения F.Примеры дискретных распределений1. Вырожденное распределение Ia : X ⊂= Ia , если P(X = a) = 1.F (y)16X0y-a2.
Распределение Бернулли Bp : X ⊂= Bp , если P(X = 1) = p, P(X = 0) =1 − p, 0 < p < 1.FX (y)611−p0y-13. Биномиальное распределение Bn,p : X ⊂= Bn,p , если P(X = k) = Cnk pk (1 − p)n−k ,k = 0, 1, . . . , n (в частности, B1,p = Bp ).106FX (y)1 2...ny-Биномиальное распределение, как мы уже видели, возникает при рассмотрениисхемы Бернулли — это распределение числа успехов в n испытаниях.λk −λ4. Распределение Пуассона Πλ : X ⊂= Πλ , если P(X = k) =e , k = 0, 1, 2, . . .
;k!λ > 0.F (y)16X012...25y-Распределение Пуассона может использоваться при описании числа клиентов, поступивших в течение определенного времени в систему обслуживания, числа частиц,зарегистрированных прибором, числа особей биологической популяции и т. д.5. Геометрическое распределение Gp : X ⊂= Gp , если P(X = k) = (1 − p) pk−1 ,k = 1, 2, 3, . . ., 0 < p < 1.F (y)106X12y-...Если в схеме Бернулли производить испытания до первого получения неуспехавключительно, то количество требуемых для этого испытаний будет случайной величиной, имеющей геометрическое распределение.Данное распределение может встретиться и в другом варианте:P(X = k) = (1 − p) pk , k = 0, 1, 2, 3, .
. . .Далее рассмотрим другой тип распределений.Определение. Функция распределения FX (y) называется абсолютно непрерывной, если для любого значения yZyFX (y) =f (t) dt;−∞стоящая под знаком интеграла функция f (t) называется плотностью распределения.Чтобы подчеркнуть, что плотность относится к случайной величине X, ее такжеснабжают индексом f (t) = fX (t).Требование абсолютной непрерывности является более сильным, нежели простонепрерывность. Из определения абсолютно непрерывной функции распределения вытекает, что FX (y) почти всюду имеет производную (в некоторых точках производнаяможет не существовать, хотя непрерывность сохраняется). Поскольку функция распределения есть интеграл от плотности, то плотность, в свою очередь, равна производной функции распределенияdFX (t)dtи это соотношение выполняется для всех точек, где производная существует.Поскольку абсолютно непрерывная функция распределения не имеет скачков, тоP(X = y) = 0 для любого y и совпадают, к примеру, вероятности P(X ∈ [a, b]) иP(X ∈ (a, b)), a < b.fX (t) =Свойства плотности1) fX (t) ≥ 0 — как производная неубывающей функции;R∞2)fX (t) dt = 1.−∞Для доказательства последнего достаточно устремить y → ∞ в определении абсолютно непрерывной функции распределения.26Любая функция f (t), обладающая этими двумя свойствами, может быть плотностью распределения.Отметим еще одно важное свойство плотностей.
Для любых чисел a < bZbP(a ≤ X < b) = FX (b) − FX (a) =ZafX (t) dt −−∞ZbfX (t) dt =−∞fX (t) dt.a6fX (t)¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡p pp¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡a0b-tТаким образом, плотность есть неотрицательная интегрируемая функция, площадь под графиком которой равна единице. Если вообразить опять, что вероятность— это масса, то суммарная масса значений случайной величины равна единице. Этизначения разбросаны (или, лучше сказать, размазаны) по вещественной прямой играфик плотности показывает нам толщину получившегося «бутерброда». Вероятность того, что значения случайной величины попадают в промежуток [a, b], равнаплощади под графиком плотности, приходящейся на отрезок [a, b].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
