1625915143-9358bde957c0693ae60a95b83ad382f6 (843873), страница 8
Текст из файла (страница 8)
а) lim FX1 ,...,Xn (y1 , . . . , yn ) = 0,yn →−∞б) lim FX1 ,...,Xn (y1 , . . . , yn ) = FX1 ,...,Xn−1 (y1 , . . . , yn−1 ).yn →∞В частности, FX1 (y1 ) = FX1 ,...,Xn (y1 , ∞, . . . , ∞).Идея доказательства. Если устремить yn → −∞, то событие {Xn < yn } будетуменьшаться до размеров пустого множества и потянет за собой все пересечение{X1 < y1 , X2 < y2 , . . . , Xn < yn }. Поэтому вероятность этого пересечения будетсходиться к нулю.Если же yn → ∞, то событие {Xn < yn } будет разрастаться до размеров всегопространства Ω, поэтому пересечение событий {X1 < y1 , X2 < y2 , .
. . , Xn < yn } впределе превратится в {X1 < y1 , X2 < y2 , . . . , Xn−1 < yn−1 }.Определение. Случайные величины X1 , X2 , . . . , Xn называются независимыми,если для любых B1 ⊂ R, . . . , Bn ⊂ R выполняется соотношениеP(X1 ∈ B1 , X2 ∈ B2 , . . . , Xn ∈ Bn ) = P(X1 ∈ B1 )P(X2 ∈ B2 ) .
. . P(Xn ∈ Bn ).Из этого определения вытекает, к примеру, попарная независимость случайныхвеличин: если положить B3 = B4 = . . . = Bn = R, то будем иметьP(X1 ∈ B1 , X2 ∈ B2 ) = P(X1 ∈ B1 )P(X2 ∈ B2 ).Если X1 , X2 , . . . , Xn независимы, тоFX1 ,...,Xn (y1 , . . . , yn ) = FX1 (y1 ) . . . FXn (yn ).33(1)Это соотношение получается, если в определении независимости положитьBi = (−∞, yi ), i = 1, .
. . , n.Таким образом, для независимых случайных величин введение многомерной функции распределения по существу не дает ничего нового: она выражается через одномерные функции распределения. Для случайного вектора с зависимыми компонентами его функция распределения содержит информацию как о распределенииотдельных компонент, так и о зависимости между ними.Можно показать, что если верно соотношение (1) для всех значений y1 , y2 , . . .
, yn ,то X1 , X2 , . . . , Xn независимы.Доказательство этого факта выходит за рамки нашего курса, однако мы впоследствии будем пользоваться этим утверждением.Если каждая компонента вектора (X1 , X2 , . . . , Xn ) дискретна, то его многомерное распределение также будет называться дискретным. Для дискретного случаяопределение независимости случайных величин удобно использовать в следующейэквивалентной форме.Определение. Дискретные случайные величины X1 , X2 , . . .
, Xn независимы, если для всех возможных значений этих случайных величинP(X1 = y1 , X2 = y2 , . . . , Xn = yn ) = P(X1 = y1 )P(X2 = y2 ) . . . P(Xn = yn ).Дискретное распределение двумерных случайных векторов (X, Y ) удобно задавать таблицей. Пусть X принимает возможные значения x1 , x2 , . .
., а Y — значенияy1 , y2 , . . .. Обозначимpij = P(X = xi , Y = yj ),i = 1, 2, . . . ,j = 1, 2, . . . .Приведенная ниже таблица полностью задает распределение вектора (X, Y ).X \ Yx1x2x3...Ясно, чтоy1p11p21p31...y2p12p22p32...∞ X∞Xy3p13p23p33..................pij = 1.i=1 j=1Если суммировать только элементы i-й строки, то получим∞Xpij =j=1∞XP(X = xi , Y = yj ) = P(X = xi ).j=1Точно так же сумма элементов j-го столбца равна∞Xi=1pij =∞XP(X = xi , Y = yj ) = P(Y = yj ).i=1Эти формулы демонстрируют способ получения одномерных распределений издвумерных.34Определение.
Функция распределения FX1 ,...,Xn (y1 , . . . , yn ) называется абсолютно непрерывной, если для всех значений аргументовZy1 Zy2FX1 ,...,Xn (y1 , . . . , yn ) =Zyn...−∞ −∞f (t1 , t2 , . . . , tn ) dtn . . . dt2 dt1 .−∞Подынтегральная функция называется плотностью многомерного распределения,как и в одномерном случае ее принято снабжать индексами, указывающими на связьсо случайным вектором: f (t1 , t2 , . .
. , tn ) = fX1 ,...,Xn (t1 , t2 , . . . , tn ). Как и в одномерном случае, плотность получается из функции распределения дифференцированием,только здесь требуется брать частные производные по каждой переменной:fX1 ,...,Xn (t1 , . . . , tn ) =∂FX1 ,...,Xn (t1 , . . . , tn ).∂t1 . . .
∂tnСвойства многомерных плотностей1. fX1 ,...,Xn (t1 , t2 , . . . , tn ) ≥ 0.Z∞ Z∞2.Z∞...−∞ −∞fX1 ,...,Xn (t1 , t2 , . . . , tn ) dtn . . . dt1 = 1.−∞Z Z3.P((X1 , X2 , . . . , Xn ) ∈ B) =Z...fX1 ,...,Xn (t1 , t2 , . . . , tn ) dtn . . . dt2 dt1Bдля любого прямоугольника B = [a1 , b1 ] × [a2 , b2 ] × . . . × [an , bn ] ⊂ Rn .4.
Если случайные величины X1 , X2 , . . . , Xn имеют абсолютно непрерывное совместное распределение, то они независимы тогда и только тогда, когдаfX1 ,...,Xn (t1 , . . . , tn ) = fX1 (t1 )fX2 (t2 ) . . . fXn (tn ).Это свойство получается из формулы (1) поочередным дифференцированием покаждой переменной, а само оно превращается в соотношение (1) после поочередногоинтегрирования по каждой из переменных.5.
Если известна n-мерная плотность fX1 ,...,Xn (t1 , . . . , tn ), то получить плотностьменьшей размерности можно с помощью интегрирования:Z∞fX1 ,...,Xn (t1 , t2 , . . . , tn ) dtn .fX1 ,...,Xn−1 (t1 , t2 , . . . , tn−1 ) =−∞Для доказательства этого свойства мы должны представить в виде соответствующегоинтеграла (n − 1)-мерную функцию распределения:FX1 ,...,Xn (y1 , . . . , yn−1 ) = FX1 ,...,Xn (y1 , . . .
, yn−1 , ∞) = ∞ZZy1=...−∞yZn−1−∞fX1 ,...,Xn (t1 , . . . , tn ) dtndtn−1 . . . dt1 .−∞Выражение, стоящее в фигурных скобках, и будет искомой плотностью.35В дискретном случае уменьшение размерности производилось аналогично, нотолько с помощью суммирования (см. рассмотренный выше табличный способ задания двумерных дискретных распределений).Примеры многомерных плотностей1. Многомерное равномерное распределение.
Плотность задается формулой 1, t ∈ D,f (t) = λ(D)0,иначе,где D ⊂ Rn — ограниченное множество, у которого n-мерный объем λ(D) > 0. Легковидеть, что для случайного вектора X с такой плотностьюP(X ∈ B) =λ(B),λ(D)если B ⊂ D, т. е. вероятность вычисляется геометрическим способом.2. Многомерное стандартное нормальное распределение с плотностью()nnXY112f (t) =exp −t =ϕ0,1 (ti ), t = (t1 , . . . , tn ).(2π)n/22 i=1 ii=1Компоненты случайного вектора, имеющего такую плотность, независимы и имеют стандартное нормальное распределение.2.4.Преобразования случайных величинВ этом параграфе мы изучим, как изменяются распределения при преобразованиях случайных величин.Теорема.
Пусть случайные величины X и Y независимы, g и h — функции изR в R. Тогда случайные величины g(X) и h(Y ) также независимы.Доказательство. Для любых B1 ⊂ R, B2 ⊂ RP(g(X) ∈ B1 , h(Y ) ∈ B2 ) = P(X ∈ g −1 (B1 ), Y ∈ h−1 (B2 ))= P(X ∈ g −1 (B1 )) P(Y ∈ h−1 (B2 )) = P(g(X) ∈ B1 ) P(h(Y ) ∈ B2 ),где g −1 (B1 ) = {y : g(y) ∈ B1 }, h−1 (B2 ) = {y : h(y) ∈ B2 }.Пусть теперь случайная величина X обладает плотностью распределения fX (t).Образуем новую случайную величину Y = g(X), где g — некоторая неслучайнаяфункция. Разумеется, Y не обязательно обладает плотностью, достаточно взятьg(t) ≡ C, чтобы убедиться в этом.
Однако если g такова, что fY (t) все-таки существует, то как ее найти?Начнем с рассмотрения функции распределения FY (y).Z−1FY (y) = P(g(X) < y) = P(X ∈ g ((−∞, y))) =fX (u) du.g −1 ((−∞,y))36Теперь задача состоит в том, чтобы преобразовать полученный интеграл к видуZ yh(t) dt−∞с некоторой подынтегральной функцией h(t), которая и будет являться плотностьюдля Y в соответствии с определением. Единого подхода здесь не существует, чащевсего помогает преобразовать интеграл к нужному виду подходящая замена переменных.Проиллюстрируем все это более подробно на примере преобразования Y = aX +b,где a 6= 0.1.
Пусть a > 0. Тогд൶y−bFY (y) = P(aX + b < y) = P X <=a(y−b)/aZfX (u) du.−∞Сделаем замену t = au + b. ТогдаZyFY (y) =−∞1fXaµt−ba¶dt.2. Если a < 0, то, используя ту же замену переменной, получаемµy−bFY (y) = P(aX + b < y) = P X >a¶Z∞fX (u) du=(y−b)/aZ−∞=1fXaµt−ba¶Zydt =y1fX|a|µt−ba¶dt.−∞Таким образом, при всех a 6= 01faX+b (t) =fX|a|µt−ba¶.(2)Выведем отсюда несколько полезных следствий для гауссовских распределений.Следствие 1.Если X ⊂= Φα,σ2 , то Y = (X − α)/σ ⊂= Φ0,1 .Следствие 2. Если Y ⊂= Φ0,1 , то X = σY + α ⊂= Φα,σ2 .Следствие 3. Если X ⊂= Φα,σ2 , то Y = AX + B ⊂= ΦAα+B, σ2 A2 .Доказательство. Утверждения первых двух следствий прямо вытекают из формулы (2). Для доказательства третьего утверждения удобно сначала представитьµ¶X −αAX + B = σA+ Aα + B,σи затем воспользоваться предыдущими двумя утверждениями.Пусть теперь X и Y — две случайные величины с известными функциями распределения.
Можно ли выразить FX+Y через FX и FY ?Ответ отрицательный: если больше ничего не предполагать про X и Y , то информации, заложенной в FX и FY , недостаточно, чтобы найти FX+Y . При одних и техже FX и FY можно получать разные результаты.Пример. Пусть X ⊂= Φ0,1 , Y = X, тогда X + Y = 2X ⊂= Φ0,4 .37Если же взять Y = −X, то по-прежнему Y ⊂= Φ0,1 , и получаем, что X +Y = 0 ⊂= I0при тех же FX и FY .Если дополнительно предположить, что X и Y независимы, то FX+Y полностьюопределяется через FX и FY . Мы покажем, как это делается, отдельно для целочисленных случайных величин и для распределений с плотностью.Итак, пусть X и Y независимы и каждая из них принимает целые неотрицательные значения, при этомP(X = k) = pk ,P(Y = k) = qk ,k = 0, 1, 2, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
