1625915143-9358bde957c0693ae60a95b83ad382f6 (843873), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Это иесть искомая вероятность.1.3.Вероятностное пространство общего видаМы подробно изучили две различные вероятностные модели. В первой из них,дискретной, вероятностная масса распределялась по дискретному набору элементарных исходов; во втором — непрерывным образом «размазывалась» по пространствуили по его части. Для каждой из этих моделей существует много применений. Однакорассмотренные модели являют собой всего лишь два крайних случая. Можно представить себе смешанные ситуации, когда часть вероятностной массы распределяетсяпо дискретному множеству точек, а остальная масса «размазывается» непрерывно подругому множеству. Таким образом, разных вероятностных моделей можно строитьбесконечно много.
Однако, как бы они ни строились, они обязательно должны удовлетворять ряду требований, которые по сути являются аксиомами вероятностногопространства.Итак, по-прежнему вероятностное пространство есть тройка hΩ, S, Pi, где про Ωуже все сказано — это множество возможных исходов эксперимента, S — совокупность подмножеств Ω, называемых событиями.
В отличие от дискретной модели Sможет включать в себя не все подмножества Ω. Не вдаваясь в подробности, мы будем считать тем не менее, что практически все важные с точки зрения приложенийподмножества Ω входят в S. Основное внимание сосредоточим на аксиомах заданиявероятности. По-прежнему, вероятность — это числовая функция P, областью определения которой является S. Каким бы способом ни задавалась эта функция, онадолжна удовлетворять следующим трем аксиомам:A1. P(A) ≥ 0 для любого A ∈ S.A2. P(Ω) = 1.A3. Счётная аддитивность: если события A1 , A2 , . .
. таковы, что Ai Aj = ∅ (i 6= j)(т. е. попарно несовместны), тоÃ∞ !∞[XPAi =P(Ai ).i=1i=1Из этих аксиом вытекает ряд полезных свойств вероятности. Некоторые из них мыимели возможность наблюдать в дискретных и в континуальных пространствах. Теперь установим свойства вероятности для произвольных вероятностных пространств.Все они являются следствиями введенных трех аксиом.Свойства вероятности1.
P(∅) = 0.Доказательство. Представим произвольное событие A в видеA = A ∪ ∅ ∪ ∅ ∪ ...,13тогда по аксиоме A3P(A) = P(A) + P(∅) + P(∅) + . . . ,что имеет место только при P(∅) = 0.2. Аддитивность вероятности: для всякого конечного набора попарно несовместных событий A1 , A2 , . . . , AnÃn!n[XPAi =P(Ai ).i=1Доказательство. Представляемi=1nSAi в виде A1 ∪ A2 ∪ .
. . ∪ An ∪ ∅ ∪ ∅ . . . иi=1пользуемся счетной аддитивностью.3. Для любого события A имеет место P(A) + P(Ā) = 1 — это частный случайпредыдущего утверждения. Выделяется в виде отдельного свойства ввиду частогоиспользования при решении задач.4. Для любых событий A и BP(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(AB).Доказательство. Представим событие A ∪ B в виде B ∪ (A \ B), тогда в силуаддитивности P(A ∪ B) = P(B) + P(A \ B). Для нахождения последнего слагаемоговоспользуемся представлением A = AB ∪ (A \ B), откуда опять по аддитивностиP(A) = P(AB) + P(A \ B).5. Если A ⊂ B, то P(A) ≤ P(B).Доказательство.
Поскольку B = A ∪ (B \ A), то из аддитивности и аксиомы А1получаем P(B) = P(A) + P(B \ A) ≥ P(A).6. Свойство непрерывности вероятности. Оно состоит из двух пунктов:а) если события A1 , A2 , . . . таковы, чтоA1 ⊂ A2 ⊂ A3 ⊂ . . . ,то существуетlim P(An ) = Pn→∞Ã∞[!Ai ;i=1б) если A1 ⊃ A2 ⊃ A3 ⊃ . . ., то существуетÃ∞ !\lim P(An ) = PAi .n→∞Доказательство.
а) Событиеi=1∞SAi можно представить в видеi=1∞[Ai = A1 ∪ (A2 \ A1 ) ∪ (A3 \ A2 ) ∪ . . . ,i=1тогда участвующие здесь множества попарно несовместны и мы можем воспользоваться свойством счетной аддитивности:Ã∞ ![PAi = P(A1 ) + P(A2 \ A1 ) + P(A3 \ A2 ) + . . .
.i=114Поскольку сумма ряда есть предел последовательности частных сумм, то это выражение равноlim [P(A1 ) + P(A2 \ A1 ) + . . . + P(An \ An−1 )] =n→∞= lim P(A1 ∪ (A2 \ A1 ) ∪ . . . ∪ (An \ An−1 )) = lim P(An ).n→∞n→∞Для доказательства пункта б перейдем к рассмотрению дополнительных событий ивоспользуемся уже доказанным свойством а. Очевидно,Ā1 ⊂ Ā2 ⊂ Ā3 ⊂ . . . ,поэтомуlim P(An ) = 1 − lim P(Ān ) = 1 − Pn→∞n→∞Ã∞[!Āi=1−Pi=1Ã∞\i=1!Ai=PÃ∞\!Ai.i=1Здесь мы воспользовались доказанной ранее формулой двойственности.Дальнейшее изложение материала будет относиться к вероятностным пространствам общего вида.1.4.Независимые событияЧто такое независимые события в жизни — понятно каждому.
Это значит, чтомежду событиями отсутствует причинно-следственная связь, осуществление одногоникак не влияет на другое. Наша ближайшая цель — ввести для событий в нашеймодели (т. е. для подмножеств пространства элементарных исходов) некоторое свойство, которое было бы отражением обиходного понимания независимости.Определение. События A и B называются независимыми, еслиP(AB) = P(A) P(B).Попробуем убедиться на примере, что приведенное в этом определении свойстводействительно имеет место для тех событий в нашей модели, которые являются отражением независимых событий в жизни.Пример. Из большой группы людей, где поровну мужчин и женщин, выбралинаугад человека.
Пусть событие A означает, что выбрана женщина. Так как женщин — половина, то P(A) = 1/2. Теперь выберем событие B, никак не связанное с полом, например такое: фамилия выбранного человека начинается на букву«К». Предположим, что людей с фамилией на букву «К» всего 5 %, откуда следуетP(B) = 5/100 = 1/20. Для вычисления P(AB) мы должны взять 1/20 долю от половины всей группы, т. е. P(AB) = 1/20·1/2 = P(B)·P(A). С другой стороны, выберемсобытие C, зависящее от пола выбранного человека, например такое: у человека имеется юбка в гардеробе (этот эксперимент проводится не в Шотландии, а в России, гдемужчины в юбках не замечены). По-видимому, P(C) также равна примерно 1/2.
Однако для вычисления P(AC) вряд ли стоит брать половину от половины всей группылюдей, т. е. P(AC) 6= 1/2 · 1/2.Замечания1. Не путать независимые и несовместные события! Несовместные события — этоте, которые не имеют общих элементарных исходов. Несовместность является всего15лишь свойством взаимного расположения множеств. Независимость — это свойствоне только множеств, но и, главным образом, вероятности, т. е. заданной на этихмножествах функции. Более того, если события A и B несовместны, то они чащевсего зависимы, так как из AB = ∅ следует P(AB) = 0, что может совпадать сP(A) P(B) только если хотя бы одно из рассматриваемых событий имеет нулевуювероятность.2.
Если A и B независимы, то независимы также A и B̄, Ā и B, Ā и B̄ (т. е.переход к дополнению не портит независимости).Достаточно доказать только первое из этих утверждений. Оно следует из простыхсоотношений:P(AB̄) = P(A \ AB) = P(A) − P(AB) = P(A) − P(A)P(B) == P(A)(1 − P(B)) = P(A)P(B̄).3. Данное выше определение независимых событий можно распространить на случайлюбого количества n событий.Определение. События A1 , A2 , . . . , An называются независимыми в совокупности, если для любого подмножества индексов{i1 , i2 , .
. . , ik } ⊂ {1, 2, . . . , n}, 2 ≤ k ≤ n,выполняетсяP(Ai1 , Ai2 , . . . , Aik ) = P(Ai1 )P(Ai2 ) . . . P(Aik ).К сожалению, попарной независимости событий недостаточно для того, чтобыуказанное свойство выполнялось при k > 2, точно так же, как выполнение этогосвойства при k = n не гарантирует его справедливости при меньших значениях k.1.5.Схема БернуллиРассмотрим несколько задач, приводящих к одной и той же модели.Задача 1. Известно, что вероятность рождения мальчика равна 0.515, девочки —0.485.
Некоторая супружеская пара запланировала иметь 10 детей. Какова вероятность, что мальчиков и девочек родится поровну?Задача 2. Стрелок в тире попадает в цель с вероятностью p и промахивается свероятностью q = 1 − p. Какова вероятность, что произойдет ровно k попаданий заn выстрелов? Здесь k может принимать любые значения от 0 до n.Задача 3. Изготовлено n изделий, причем каждое из них независимо от другихоказывается бракованным с вероятностью p. С какой вероятностью при проверке напригодность будет обнаружено k бракованных изделий?Выделим общие черты этих задач:1) в каждой из них имеется некоторое количество n независимых испытаний;2) каждое испытание может завершиться одним из двух возможных исходов, назовем их условно «успех» и «неуспех»;3) вероятность «успеха» не меняется от испытания к испытанию и равна p.Обозначим Sn число успехов, реализовавшихся в n испытаниях.
Вопрос стоит оботыскании P(Sn = k) при 0 ≤ k ≤ n.Чтобы решить эту задачу, нужно сначала построить вероятностную модель.Начнем с описания пространства элементарных исходов. Будем писать «У», еслипроизошел успех в испытании, и «Н» в случае неуспеха. Тогда исходами эксперимента, состоящего из n испытаний, будут всевозможные последовательности длины16n, у которых на каждом месте стоит один из этих двух символов. Всего таких последовательностей 2n . Таким образом, пространство элементарных исходов являетсядискретным; более того, оно конечно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
