1625915143-9358bde957c0693ae60a95b83ad382f6 (843873), страница 23

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 23)

. . — последовательность независимыходинаково распределенных случайных величин, не зависящая также от последовательности τ1 , τ2 , . . .. Полученный таким образом случайный процесс Zt называетсяобобщенным процессом Пуассона. Разумеется, его изучать труднее, чем обычныйпроцесс Пуассона, и мы не будем этого делать.

Отметим только, что если к построенному процессу добавить еще линейный снос (то есть рассмотреть процесс видаSt = u + vt + Zt ), то получится процесс, имеющий многочисленные приложения втеории страхования.Рассмотрим более подробно эту модель.Предположим, что страховая компания начинает в момент времени t = 0 свою деятельность, имея стартовый капитал u. Доход компании формируется из страховыхвзносов. Мы будем считать их постоянными во времени, то есть за время t суммарныепоступления взносов составляют величину vt при некотором v > 0. Через случайныепромежутки времени τ1 , τ2 , .

. . происходят некоторые события, вынуждающие компанию делать страховые выплаты Y1 , Y2 , . . .; при этом капитал компании скачкообразноуменьшается.6St¡ ¡¡ ¡u¡¡¡¡ ¡¡ ¡¡¡0v1v2v3t-При изучении таких процессов наибольший интерес вызывает нахождение вероятности разорения, то есть вероятности того, что траектория процесса когда-либо коснется оси абсцисс. Эта задача не проста, и ее решение выходит за рамки нашегокурса. Однако исследование таких процессов во многом опирается на установленныенами свойства процесса Пуассона.12.3.Винеровский процессОднородный случайный процесс Xt с независимыми приращениями называетсявинеровским (по имени известного математика Н. Винера), если Xt ⊂= Φ0,t .

Этот процесс называют также процессом броуновского движения, потому что его траекториинаилучшим образом описывают движение броуновской частицы. Здесь имеется в виду одномерное движение частицы вдоль оси ординат, а по оси абсцисс по-прежнемуоткладывается время. Разумеется, для описания движения броуновской частицы наплоскости потребуется вводить двумерный винеровский процесс, чего мы делать небудем.Изучение свойств винеровского процесса требует привлечения весьма сложногоматематического аппарата, что выходит за рамки нашего курса. Мы ограничимсяописанием качественной картины.112Траектории винеровского процесса устроены весьма сложным образом.

Каждаятраектория является непрерывной функцией переменной t, однако ни в одной точкепроизводная этой функции не существует. Грубо говоря, траектория имеет изломыв каждой точке. Это является отражением того факта, что броуновская частица вкаждый промежуток времени испытывает огромное число столкновений, меняющихнаправление ее движения.Отметим еще одно необычное свойство траекторий. Если проложить вдоль траектории броуновской частицы (скажем, при 0 ≤ t ≤ 1) ниточку, которая повторяетвсе изломы и изгибы траектории, то длина этой ниточки окажется бесконечной.Вернемся к рассмотрению сумм независимых одинаково распределенных случайных величин Sn = X1 +.

. .+Xn . Предположим для простоты, что E X1 = 0, E X12 = 1,и пусть S0 = 0. Если на координатной плоскости соединить отрезками прямых точкис координатами (k, Sk ), k = 0, 1, . . . , n, то получится ломаная, называемая траекторией случайного блуждания.6Sk0¡¡A¥¥A1 A2 3AH ¡@ ¥H ¡ @¥¥¥@@¡¡¥¥n-kИзвестные предельные теоремы теории вероятностей (закон больших чисел, центральная предельная теорема) изучают предельное поведение при n → ∞ распределения Sn , то есть ординаты конца этой ломаной. Однако можно изучать предельноеповедениевсей ломаной.

Если сжать ее по оси абсцисс в n раз, а по оси ординат√в n раз, то получим ломаную, заданную уже на отрезке [0,1], при этом ее звеньяуменьшатся в размерах. Оказывается, при n → ∞ эта сжатая ломаная будет все более походить на траекторию винеровского процесса. Другими словами, винеровскийпроцесс является предельным для траекторий случайного блуждания — и в этомзаключается его дополнительная ценность. Мы можем изучать свойства траекторийслучайного блуждания, пользуясь предельным переходом к винеровскому процессу,и наоборот, зная свойства винеровского процесса, делать соответствующие выводыдля траекторий случайного блуждания.Список использованной литературыБоровков А.А.

Теория вероятностей. М.: Наука, 1986. 431 с.Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1988. 448 с.Смирнов Н. В., Дунин-Барковский И. В. Курс теории вероятностей и математической статистики. М., Наука, 1965. 512 с.Чистяков В. П. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1982. 256 с.113.

Характеристики

Список файлов книги