Практикум по ОТС - исправл (842732), страница 19
Текст из файла (страница 19)
1,4188;
11,958;
19,54318;
2,49738;
61,64983;
0,696;
4,319.
Вычислим линейный коэффициент корреляции
r = 
=
= 0,857.
Для определения параметров линейной функции 
и 
составляют систему уравнений
Подставим в систему уравнений все вычисленные показатели
Решая эту систему уравнений, получаем, что = 4,40930 и = 5,32048.
Уравнение имеет вид: 
.
В графе 7 с помощью полученной линейной функции рассчитаем теоретические значения результативного признака.
Вычислим линейный коэффициент корреляции
r = 
= 
= 0,857.
Зависимость средней месячной номинальной заработной платы от уровня производительности труда в представленных отраслях промышленности сильная (
близок к 1) и прямая ( больше нуля), т. е. с увеличением производительности труда увеличивается среднемесячная номинальная заработная плата. Построим поле корреляции.
Рис. 8. Поле корреляции
Поскольку наблюдается сосредоточение точек на графике, то существует сильная связь между уровнем производительности труда и среднемесячной номинальной заработной платой.
Оценку существенности корреляционной связи производят с помощью F-критерия Фишера и t-критерия Стьюдента.
Коэффициент эластичности (
) показывает, на сколько процентов изменяется результативный признак при изменении факторного признака на 1% и рассчитывается по формуле 
= 
,
где 
– среднее значение факторного признака;
– среднее значение результативного признака;
– параметр линейной функции, выражающей зависимость у от х.
Если с возрастанием факторного признака происходит ускоренное возрастание или убывание результативного признака, то корреляционная зависимость может быть выражена параболой второго порядка
.
Система уравнений для расчета параметров параболы второго порядка принимает вид
При наличии линейной зависимости результативного признака от двух факторных признаков вычисляют множественный коэффициент корреляции
R = 
,
где r – парные коэффициенты корреляции между признаками.
Множественный коэффициент корреляции изменяется в пределах от 0 до + 1, и его приближение к единице свидетельствует о сильной зависимости между рассматриваемыми признаками.
Ранговые коэффициенты связи
Коэффициент корреляции рангов Спирмена () определяется по формуле
= 
,
где 
– квадраты разности рангов;
n – число наблюдений (число пар рангов).
Коэффициент корреляции рангов Кендалла () вычисляют по формуле
= 
,
где S – сумма разностей между числом последовательностей и числом инверсий по результативному признаку,
n – число наблюдений (пар рангов).
Коэффициенты Спирмена и Кендалла принимают значения от –1 до + 1. Чем ближе величина коэффициентов Спирмена и Кендалла по модулю к 1, тем сильнее связь между признаками.
Пример 2. По исходным данным предыдущего примера 1 рассчитать ранговые коэффициенты связи Спирмена и Кендалла.
Решение. Ранжируем значения факторного и результативного признаков (графы 4 и 5); находим разности рангов 
= 
– 
( графа 6).
| Отрасль промышленности | х | у |
|
|
|
|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| Электроэнергетика | 1,127 | 10,96 | 2 | 3 | –1 | 1 |
| Топливная | 2,630 | 19,35 | 5 | 5 | 0 | 0 |
| Черная металлургия | 1,632 | 9,35 | 4 | 2 | 2 | 4 |
| Цветная металлургия | 1,155 | 13,45 | 3 | 4 | –1 | 1 |
| Машиностроение | 0,550 | 6,68 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| Итого | – | – | – | – | – | 6 |
Полученные разности рангов (
) возводим в квадрат, находим их сумму (графа 7) и подставляем в формулу коэффициента Спирмена
= 
= 
= 
= 0,7.
При вычислении коэффициента Кендалла значения факторного признака предварительно ранжируем. Значения результативного признака записываем в соответствии с исходными данными.
| Отрасль промышленности | х | у |
|
| P | Q |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| Машиностроение | 0,550 | 6,68 | 1 | 1 | 4 | 0 |
| Электроэнергетика | 1,127 | 10,96 | 2 | 3 | 2 | 1 |
| Цветная металлургия | 1,155 | 13,45 | 3 | 4 | 1 | 1 |
| Черная металлургия | 1,632 | 9,35 | 4 | 2 | 1 | 0 |
| Топливная | 2,630 | 19,35 | 5 | 5 | 0 | 0 |
| Итого | 8 | – 2 |
Для каждого определяем:
– число следующих за ним рангов, больших по значению, чем данный ранг. Общее число таких случаев учитывают со знаком «+» и обозначают буквой P (графа 6);
– число следующих за ним рангов, меньших по значению, чем данный ранг. Общее число таких случаев учитывают со знаком «–» и обозначают буквой Q (графа 7).
Вычисляем S = P + Q = 8 + (–2) = 6.
Подставим в формулу коэффициента Кендалла полученные значения
= 
= 
= 0,6.
Величины коэффициентов Спирмена и Кендалла свидетельствует о тесной зависимости среднемесячной заработной платы от уровня производительности труда в представленных отраслях экономики.
Для изучения степени тесноты связи между произвольным числом ранжированных количественных признаков вычисляют множественный коэффициент конкордации (W) по формуле
,
где S – отклонение суммы квадратов рангов от средней квадратов рангов;
m – число ранжируемых признаков;
n – число наблюдений.
Эта формула применяется в том случае, когда ранги по каждому признаку не повторяются.
Если несколько значений имеют одинаковую количественную оценку, т. е. ранги повторяются, то применяют следующую формулу:
,
где t – число одинаковых рангов по каждому признаку.
Изучение степени тесноты связи между качественными признаками
Для определения тесноты связи двух качественных признаков, каждый из которых состоит только из двух групп, применяются коэффициенты ассоциации (
) и контингенции (
).
Для их вычисления строится таблица, показывающая связь между двумя явлениями, каждое из которых должно быть альтернативным:
| а | b |
| с | d |
Коэффициенты вычисляются по формулам
ассоциации: 
= 
контингенции: = 
Связь между двумя качественными признаками считается подтвержденной, если > 0,5 или > 0,3.
.Пример 3. Определить степень тесноты связи между успеваемостью студентов по математике и посещением занятий по этой же дисциплине.
| Группы студентов | Численность студентов –всего, чел. | Из них | |
| Успешно сдали экзамен | Не сдали экзамен | ||
| Посещающие занятия | 19 | 16 | 3 |
| Не посещающие занятия | 7 | 2 | 5 |
Решение. Рассчитаем коэффициенты ассоциации и контин-генции
= = 
= 
= 0,86;
= 
= =
= 0,53.
Значения полученных коэффициентов ассоциации и контингенции свидетельствуют о тесной связи между успешной сдачей экзамена по математике студентом и его посещением занятий по этой же дисциплине. Для изучения тесноты связи между двумя качественными признаками, каждый из которых состоит из трех и более групп, вычисляют коэффициенты взаимной сопряженности Пирсона (
) и Чупрова.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
