Lektsia_5 (842117), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

С учетом временнóй зависимости при отсутствии потерь получимaлA4J mст e j (t r v )dV ,rVл 4 a 1mст e j (t r / v )rdV .VДля комплексных амплитуд решения имеют видJ mст e  jkrdV , rV1   ст e jkrm dV , л 4 a rVaлAm 4(2.13)гдеk    aл aл v.Решения представляют суперпозицию сферических волн, расходящихся отточечных источников, сосредоточенных в объеме V.Если объемное распределение токов и зарядов заменить линейным распределением попроводнику, то выражения (2.13) будут иметь видaлAm 4I mст e  jkrdl, rL1   mст e  jkrm dl ,л 4 a rL(2.14)где I mст — амплитуда тока в проводнике;  стm — амплитуда линейного заряда (Кл/м).Используя введенный в § 1.9 вектор Герца, перепишем выражения (1.34) вкомплексной формеE   2 aл aл Z  grad div Z , H  j aл rot Z .(2.15)9Волновое уравнение (1.33) для вектора Герца в комплексной форме имеет видZ  k 2 Z  1лapст ,(2.16)гдеpст   J ст dt.Решение уравнения (2.16) имеет следующий вид:Zm 4 aл 1pmст e jkrdV .r(2.17)VГраничные условия.

При решении полученных уравнений должны учитыватьсяграничные условия. В общем случае граничные условия для тангенциальных инормальных составляющих поля имеют видE( 2)  E(1) , Dn (1)  Dn ( 2)  H (1)  H ( 2)  J пов , Bn ( 2)  Bn (1) .Эти условия выполняются в любой момент времени, поэтому они должнывыполняться для любой из гармоник и составляющих комбинационных частот. Длягармоник эти условия имеют видE (1) (n )  E ( 2) (n ), H (1) (n )  H ( 2) (n )  J ïîâ (n );Dn (1) (n )  Dn ( 2) (n )   (n ) Bn (1) (n )  Bn ( 2) (n ).

(2.18)Для комбинационных частот граничные условия имеют аналогичный вид.2. Энергетические соотношения и теорема Умова—Пойнтингав комплексном видеЭнергетические соотношения. Действующие значения. Запишем, согласновыражению (П.68), мгновенную плотность энергии монохроматического поля11w  ( a E 2  a H 2 )  [ a ( E  E * )2  a ( H  H * ) 2 ],28мгновенную плотность мощности1p  ( JE )  ( J  J * )( E  E * ),410мгновенное значение вектора Пойнтинга1Π  [ EH ]  [( E  E * )( H  H * )].4Под мгновенным значением понимается значение в данный момент времени t.Согласно (П.69) среднее значение плотности энергии0 1( a Em2   a H m2 ),4(2.19)среднее значение плотности мощности11p0  Re( J m* Em )  Re( J m Em* )  Re p,22(2.20)1где p  ( J m Em* ) — комплексная плотность мощности;2среднее значение вектора Пойнтинга1Π 0  Re[ Em H m* ]  Re Π ,2(2.21)11где Π  [ Em H m* ]  [ Em* H m ] — комплексный вектор Умова—Пойнтинга.22По аналогии с теорией линейных целей введем действующие или эффективныезначения напряженностей поля и плотности тока.Действующим или эффективным значением напряженности переменного поля Eдназывается значение постоянного поля E0, действие которого эквивалентно переменному,т.

е. за одно и то же время, равное целому числу периодов, в среде выделяется та жеэнергия.Согласно данному определениюTE02T  Eд2T   E 2 d t.oОтсюда действующее значение напряженности электрического поляT12Eд Edt .T 0В случае монохроматического поляE  Em cos(t   E )11иEmEд .2Аналогично определяется действующее значение напряженности магнитногополя и плотности токаTHд 1H 2 dt ,T 0Jд 1J 2 dt .T 0TВ случае монохроматического поляJmHmJ.Hд , д22Соответствующие комплексные действующие значенияEд Em Em jEe ,22Hд H m H m jHe ,22Jд J m J m j Je .22Отсюда средние значения (2.19)—(2.21) можно представить в следующем виде:w0 1( a Eд2   a H д2 ),2p0  Re(J д Eд* )  (J д Eд ) cos JE ,Π 0  Re[ Eд H д* ]  [ Eд H д ]cos EH ,где  JE — сдвиг по фазе между J д и Eд ;  EH — сдвиг по фазе между E д и H д .ТеоремаУмова—Пойнтингавкомплекснойформе.Квадратичноесоотношение, связывающее комплексные амплитуды, аналогичное теореме Умова—Пойнтинга (§ 1.8), получим, умножив уравнение, комплексно сопряженное с первым12уравнением системы (2.8) на E , а второе уравнение на H * , и проделав те жепреобразования, что при выводе теоремы Умова—Пойнтинга (§ 1.8), получимdiv[ Em H m* ]  j(a H m2   a*2 Em2 )  (J mст* Em )  0.Обозначим согласно (2.19), (2.20) и (2.21)вектор Пойнтинга; pэ0    aкак действительно pэ0 21Π  [ Em H m* ] —2комплексныйEm2 — средняя плотность мощности электрических потерь (такa 21 J m2 1H m — средняя Em2  a Em2 ) и аналогично pм0 22 22плотность мощности магнитных потерь; wэ0 энергии; wм0 (2.22)a 2Em — средняя плотность электрической4a 2H m — средняя плотность магнитной энергии;41p ст  ( J mст* Em ) —2комплексная плотность мощности сторонних источников.Перепишем выражение (2.22) с учетом принятых обозначенийdiv Π  2 j(wм0  wэ0 )  ( pм0  pэ0 )  pст  0,или в интегральной форме Π d S2 j (Wм0  Wэ0 )  ( Pм0  Pэ0 )  Pст  0,(2.23)Sгде Wм0   wм0 dV— среднее значение магнитной энергии в объеме V;VWэ0   wэ0 dV — среднее значение электрической энергии в объеме V; Pм0   pм0 dV —VVсреднее значение мощности магнитных потерь в объеме V; Pэ0   pэ0 dV — среднееVзначение мощности электрических потерь в объеме V; P ст   p ст dV — комплекснаяVмощность сторонних источников, распределенных в объеме V.Выражение (2.23) представляет собой теорему Умова—Пойнтинга в комплекснойформе для монохроматического поля.

Приравнивая в (2.23) действительные части,получимRe  Π d S  Pэ0  Pм0  Re Pст  0,Sгде Re  Π d S =  Π 0 d S согласно (2.21) поток усредненного вектора ПойнтингаSилидействительнаяS(активная)мощностьизлучениячерезповерхностьS,13ограничивающую исследуемый объем V; Re P  P согласно (2.20) — действительнаястст0(активная) мощность сторонних источников.Таким образом, Π0 dS Pэ0  Pм0  P0ст  0.(2.24)SСоотношение (2.24) называется теоремой о действительной (активной) мощностии характеризует баланс действительных (активных) мощностей.Если P0ст  0, то сторонние источники отдают энергию полю, если P0ст  0 —извлекают.

Очевидно, P0ст  0 соответствует сдвигу фаз между J ст и E, определяемомуусловиемcos   0,т. е. угол  изменяется в пределах3   ,22а P0ст  0 соответствует условиюcos   0,т. е. изменению  в пределах .22Если P0ст  0, то выражение (2.24) перепишется в виде Π0 dS Pэ0  Pм0  P0ст .SДействительная (активная) мощность сторонних источников, распределенная висследуемом объеме V, расходуется на излучение через поверхность S, ограничивающуюэтот объем, магнитные и электрические потери (тепло) в нем.Если P0ст  0, то–  Π0 dS  Pэ0  Pм0  P0ст .SПритокдействительной(активной)мощностичерезповерхностьS,ограничивающую исследуемый объем, расходуется на потери в этом объеме ипоглощение мощности сторонними источниками, размещенными в нем.Кроме мощности, непрерывно излучаемой через поверхность, и мощности,непрерывно расходуемой в объеме, существует обмен энергией без потерь междусторонними источниками и полем в данном объеме.Приравнивая в соотношении (2.23) мнимые части, получим14Im  Π d S 2 (Wм0  Wэ0 )  Im Pст  0(2.25)SилиIm  Π d S  Pr  Prст  0,Sгде Im  Π d S — значение реактивной мощности излучения через поверхность S;SIm Prст  0, — реактивная мощность источников, распределенная в объеме V; 2(Wм0  Wэ0 )— реактивная мощность, запасенная в объеме V.Соотношение (2.25) называется теоремой о реактивной мощности и характеризуетбаланс реактивных мощностей.В общем случае среды с потерями отношениеEmaa (1  j tg  м )Hma a (1  j tg  э )(2.26)является комплексной величиной, и напряженности электрического и магнитногополей не совпадают по фазе.

Вектор Пойнтинга в разные части периода имеет разныенаправления. При этом происходит обмен энергией между полем и стороннимиисточниками.Однако, еслиtg  э  tg милиa a,a a(2.27)то отношениеEmaHm a(2.28)является действительной величиной, и сдвиг по фазе между электрическим имагнитным полем отсутствует.

При этом вектор Пойнтинга направлен в одну сторону.Согласно (2.28)  Im Π d S  Pr  0, а согласно (2.25) и Prст  0, т. е. обмен энергиейSмежду сторонними источниками и полем отсутствует.Условие (2.27) можно удовлетворить, подбирая параметры среды, заполняющейобъем V, или так как эти параметры зависят от частоты, подбирая частоту.Если объем V изолирован и15 Π d S 0,Sто в общем случае согласно (2.25)Pr   Prст ,(2.29)т. е.

происходит обмен энергией между сторонними источниками и полем.Если запасенная энергия постоянна во времени, т. е.W   a H 2  a E 2 dV  0,tt 2Vчто возможно, если электрическое и магнитное поля сдвинуты по фазе во временина  2 и запасенная в объеме V электрическая и магнитная энергии равны. При этомPr  0, а следовательно, согласно (2.29) и Prст  0, т. е. обмен энергией между полем иисточником отсутствует, но происходит обмен энергией между электрическим имагнитнымполем.Такойэлектромагнитныйпроцессназываетсяэлектрическимрезонансом.Условия резонанса при данных геометрических размерах изолированного объемаи параметрах заполняющей среды могут быть удовлетворены подбором частоты(резонансная частота) или при данной частоте — подбором геометрических размеровобъема (резонансный объем).Очевидно, Im Pст  0, если между J ст и E существует сдвиг фаз .Такой же сдвиг фаз будет между E и H, так как причиной магнитного поля являетсяток, и H во времени изменяется так же, как J ст .

Из рис. 2.1 очевидно, что так как направлениявекторов H и E определяются их зависимостью от времени, то существуют части периода, гдевектора E и H меняют свое направление одновременно, и части периода, например (t1, t2), втечение которых один изсохраняетсвоевекторовE, Hизменениювектора Пойнтинга. ТакимтечениереактивнаяоднойП=[ЕН]чтоHOt1 t2частиэнергиянаправление, аEдругой меняет на обратное,соответствуетx= c onsttнаправленияобразом,впериодаРис. 2.1. К движению реактивной мощностиизлучаетсячерез поверхность, ограничивающую исследуемый объем, в течение другой — входит вэтот объем.16Аналогично не одновременное изменение направления векторов E и J стприводит к тому, что в течение одной части периода Im Pст  0, в течение другойIm Pст  0, т.

е. реактивная мощность меняет направление движения (то входит, то выходитиз источника). Можно показать, что в те части периода, когда сторонний источник поглощаетреактивную мощность, реактивная мощность излучения направлена к источнику, в те частипериода, когда сторонний источник выделяет реактивную мощность, реактивная мощностьнаправлена от источника. Таким образом, происходит обмен реактивной мощностью междуполем и сторонними источниками.

Если магнитное и электрическое поля совпадают по фазе,обмен между источником и средой прекращается..

Характеристики

Список файлов книги