1611690520-2537aa0f719c889b2aeb7ff778509dd3 (826919), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Третья поучительная история произошла па острове Ямайка. Здесь водились в изобилии ядовитые змеи. Чтобы от них избавиться, решено было ввезт и на остров п т и ц у- с е к р е т ар я, яростного истребителя ядовитых змей. Число змей, действительно, вскоре уменьшилось, зато необычайно расплодились полевые крысы, раньше поедавшиеся змеями. Крысы приносилн такой ущерб плантациям сахарного тростника, что пришлось серьезно подумать об их истреблении. Известно, что врагом крыс является индийская м а н густ а. Решено было прнгезтн па остров четыре пары этих животных н предоставить нм свободно размножатьсп. Мангусты хорошо приспособились к новой родине н быстро заселили весь остров. Не прошло и 10 лет, как онп почти уничтожили на нем крыс.
Но„увы, истребив крыс, мангусты стали питаться чем попало, сделавшись ' А на Гапааскнх островах онн полностью ньпеснплн всех остал~нюх мелках птнп. 1б зззвыззедьзыз задачи и оды ы ааа всеяднымн животными: нападалн на щенят, козлят, поросят, домап1ннх птиц и их яйца. Л размножившись еще более, приня- ",'=,,: лись за плодовые сады, хлебные поля, плантации.
Жители приступили к уничтожению своих недавних союзников, но им удалось лишь до некоторой степени ограничить приносимый мангустами вред. Бесплатный обед 10 молодых людей решили отпраздновать окончание средней школы товарищеским обедом в ресторане. Когда все собралнсь и первое блюдо было подано, заспорили о том, как усесться вокруг стола, Одни предлагали разместиться в алфавитном порядке, другие — по возрасту, третьи — по успеваемости, четвертые — по росту н т. д.
Спор затянулся, суп успел простыть, а за стол никто не садился. Примирил всех официант, обратившийся к ним с такой речью: — Молодые друзья мои, оставьте ваши пререкания. Сядь. те за стол как кому придется н выслушайте меня. Все сели как попало. Официант продолжал: — Пусть один из вас запишет, в каком порядке вы сейчас сидите. Завтра вы снова явитесь сюда пообедать н разместитесь уже в ином порядке.
Послезавтра сядете опять по-повому и т. д., пока не перепробуете всех возможных размещений. Когда же придет черед вновь сесть так, как сидите вы здесь сегодня„тогда, обещаю торжественно, я начну ежедневно угощать вас бесплатно самыми изысканными обедами. Предложение понравилось. Решено было ежедневно собираться в этом ресторане и перепробовать все способы размещения за столом, чтобы скорее начать пользоваться беспла.- иыми обедами. Однако им не пришлось дождаться этого дпя.
И вовсе не потому, что официант пе исполнил обещания, а потому, что число всех возможных размещений за столом чересчур велико. Опо равняется, ни мало ни много, 3628800. Такое число дней составляет, как нетрудно сосчитатгь почти 1О тысяч лет'. Вам, быть может, покажется невероятным, чтобы 1О человек могли размещаться таким большим числом различных способов. Проверьте расчет сами.
Раньше всего надо научиться определять число перестановок. Для простоты начнем вычисление с небольшого числа предметов — с трех. Назовем их А, Б и В. Мы желаем узнать, сколькими способами возможно переставлять их один на место другого. Рассуждаем так. Если отложить пока в сторону вещь В, то остальные две можно разместить только двумя способами. Теперь будем присоединять вещь В к каждой из этих пар. Мы можем сделать это трояко: можем 1) поместить В поз ада пары; 2) «В впереди пары; 3) «В между вещами пары. Других положений для вещи В, кроме этих трех, очевидно, быть не может.
А так как у нас две пары, ЛБ н БА. то всех способов разместить вещи наберется 2 Х 3 = 6. Пойдем дальше: сделаем расчет для четырех вещей. Пусть у нас четыре вещи А, Б, В и Г. Опять отложим пока в сторону одну вещь, например Г, а с остальными тремя сделаем все возможные перестановки.
Мы знаем уже, что число этих перестановок — шесть. Сколькими же способами можно присоединить четвертую вещь Г к каждой из шести троек? Очевидно, четырьмя: можно 1) поместить Г и о з а д и тройки; 2) «1 впереди тройки; 3) «Г м е ж д у первой и второй вещью; 4) «Г м е ж д у второй и третьей вещью. Всего получим, следовательно, 6 Х 4-24 перестановки; а так как 6 = 2 Х 3, а 2 = 1 Х 2, то число всех перестановок можно представить в виде произведения: 1 Х 2 Х 3 Х 4 = 24.
Рассуждая таким же образом н в случае пяти предметов, узнаем, что для них число перестановок равно 1 Х 2 Х 3 Х Х4Х5-120. Для шести предметов: 1Х2ХЗХ4Х5Х6= 720 и т. д. Обратимся теперь к случаю с 10 обедающими. Число возможных здесь перестановок определится. если дать себе труд вычислить произведение 1Х2ХЗХ4Х5Х6ХТХЗХ9Х10« Тогда и получится указанное выше число — 3628800. Расчет был бы сложнее, если бы среди 10 обедающих было пять девушек и они желали бы сидеть за столом непременно так, чтобы чередоваться с юношамн.
Хотя число возможных перемещений здесь гораздо меньше, вычислить его несколько труднее. Пусть сядет за стол — безразлично как — один из юношей. Остальные четверо могут разместиться, оставляя между собой пустые стулья для девушек„1 Х 2 Х 3 Х 4 = 24 различными способами. Так ьзк всех стульев 10, то первый юноша может 291 сесть 10 способами; значит, число всех возможных размеще- ний для молодых людей 10 Х 24 = 240. Сколькими же способами могут сесть на пустые стулья между юношами пять девушек? Очевидно, 1 Х 2 Х 3 Х 4 Х Х 5 = 120 способами. Сочетая каждое из 240 положений юно- шей с каждым из ! 20 положений девушек, получаем число всех возможных размещений: 240 Х 120 = 28 800. Число это во много раз меньше предыдущего и потребова- ло бы всего 79 лет (без малого).
Доживи молодые посетители ресторана до 100-летнего возраста, они могли бы дождаться бесплатного обеда, если не от самого официанта, то от его на- следников. Умея подсчитывать перестановки, мы можем определить теперь, сколько различных расположений шашек возможно в коробке игры «в !5» '.
Другими словамн, мы можем подсчи- тать число всех задач, какие способна предложить нам эта игра. Легко понять, что подсчет сводится к определениго числа верестановок из 15 предметов. Мы знаем уже, что для этого нужно перемножить 1 Х 2 Х 3 Х 4 Х ... и т. д....Х ! 4 Х 15. Вычисление дает итог: 1307674365000, то есть больше триллиона.
Из этого огромного числа задач половина неразрешима. Существует, значит, свыше 600 миллиардов неразрешимых по- ложений в этой игре. Отсюда понятна о~части та эпидемия увлечения игрой «в 15», которая охватила людей, не подозре- вавших о существовании такого огромного числа неразреши- мых случаев. Заметим еще, что если бы мыслимо было ежесекундно да- вать шашкам новое положение, то, пабы перепробовать все возможные расположения, потребовалось бы при непрерывной работе круглые сутки свыше 40 тысяч лет. Заканчивая нашу беседу о числе перестановок, решим та- кую задачу из школьной жизни. В классе 25 учеников.
Сколькимн способами можно расса- дить их по партам? Путь решения этой задачи (для тех, кто усвоил себе все сказанное рпныне) весьма несложен — нужно перемножить 25 таких чисел: ! Х2ХЗХ4Х5 Хб...Х23Х24Х25. Математика указывает способы сокращать многие вычис- ления, но облегчать выкладки, подобные сейчас приведенной, ' При атом свосоднан клетка должна всегда оставатьсн в правом нижнем углу, оо она не умеет. Не сушествует никакого иного способа выполнигь точно это вычисление, как добросовестно перемножить все этн числа.
Только удачная группировка множителей позволит несколько сократить время вычисления. Результат получается огромный, нз 25 цифр,— число, величину которого наше воображение не в силах себе представить. Вот оно: 15 511 210 043 330 985 984 000 000. Из всех чисел, какие встречались нам до сих пор,— это, конечно, самое крупное, и ему больше всех прочих принадлежит право называться «число-великан». Число мельчайших капель во всех океанах и морях земного шара скромно по сравненшо с этим исполинским числом. Десятью цифрами Выразите!ОО, употребив все 10 цифр. Сколькими способами можете вы зто сделать? Существует пе меньше четырех способов. Единица Выразите единицу, употребив все 1О цифр.
$ Пятью двойками В вашем распоряжении пять двоек и любые знаки математических действий. Вы должны с помощью только зтого цифрового материала, используя его полностью и применяя знаки математических действий, выразить следующие числа: 15, 11, 12 321. Еще раз пятью двойками Можно ли пятью двойками выразить число 28? Четьгрьмя двойками Эта задача замысловатее предыдущих. Кадо четырьмя двойками выразить число 111.
Возможно ли зто? Пятью тройками Вы, конечно, знаете, что пятью стройками и знаками дейст внй можно написать число 1ОО вот так: 33 Х 3+ —,— — 100 3 Ко можно ли написать пятно тройками 10? Как вы думаете? Число 87 Капишите подобным же образом число 37, пользуясь только пятью тройками и знаками действий. Четырьмя способами Четырьмя различными способами выразите 100 пятью одииаковыми цифрами. Четьсрьмя тройками Очень легко выразить четырьмя тройками число 12: 12 = 3+3+3+ 3. Немного хитрее составить подобным же образом из четырех троек числа 15 и 18: 15= (3+3)+ (ЗХЗ); 18= (ЗХЗ) + (ЗХ3) ° Но если бы потребовалось выразить тем же манером четырьмя тройками число 5, вы, вероятно, не сразу догадались 3+ 3 бы, что 5= — — '+3.
3 Попробуйте же теперь сами отыскать способьк как составить из четырех троек числа 1. 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1О, короче говоря. все числа от 1 до 10 (как написать число 5, было уже показано). Четырьмя четверками Если вы справились с предыдущей задачей и имеете охоту к подобным головоломкам, попробуйте составить все числа от 1 до 10 четырьмя четверками. Это нисколько не сложнее, чем сос1авление тех же чисел из троек.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
