1611690520-2537aa0f719c889b2aeb7ff778509dd3 (826919), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Значит, надо найти пятую часть от !30. Итак„было без 26 минут шесть. гзг Действительно, 50 минут назад оставалось до 6 часов 26+50=76 минут, н, значнг, после 3 часов прошло !80 — 76= = 104 минуты; это вчетверо больше числа минут, остающихся теперь до шести. Когда стрелки встречаготся? 5'/и минуты 10 "%1 « 16~/и 21~/и 27з/и а 32«/, ~ « ! час 2 часа 3 4 « 5 часов 6 « 1-я встреча — в 2я « — -« 3-я « — а 4-я « 5я « — « бя а — « Начнем наблюдать за движением стрелок в 12 часов. В этот момент обе стрелки друг друга покрывают. Так как часовая стрелка движется в 12 раз медленнее, чем минутная (оиа описывае~ полный круг в !2 часов, а минутная в! час), то в течение ближайшего часа стрелки, конечно, встретиться не могут.
Но вот прошел час; часовая стрелка стоит у цифры 1, сделав '/ж доло полного оборота; минутная же сделала полный оборот и стоит снова у 12 — на '/и долю круга позади часовой. Теперь условия состязания инь -,' чем раньше; часовая стрелка движется медленнее минутнои, ноона впереди, и минутная должна ее догнать. Если бы состязание длилось целый час, то за это время минутная стрелка прошла бы полный круг, а часовая '/м круга то есть минутная сделала бы иа н/м круга больше. Но, чтобы догнать часовую стрелку, минутной нужно пройти больше, чем часовой, только на ту С/„долю круга, которая их отделяет. Для этого потребуется времени не целый час„а меньше во столько раз, во сколько раз '/м меньше н/гь то есть в 11 раз. Значит, стрелки встретятся через '/н часа, то есть через / = 5'/и минуты.
Итак, встреча стрелок случится спустя 5'/и минуты после того, как пройдет 1 час, то есть в 5% минуты второго. Когда же произойдет следующая встреча? Нетрудно сообразить, что это случится спустя 1 час Ип минуты, то есть в 2 часа 10"/и минуты. Следующая — спустя еьче 1 час 5 "/ минуты, то есть в 3 часа 16 '/и минуты, и т. д.
Всех встреч, как легко видеть, будет 11; 11-я наступит через ! '/~~ Х 11= 12 часов после первой, то есть в 12 часов; другими словами, она совпадает с первой встречей, и дальнейшие встречи повторятся снова в прежние моменты. Вот все моменты встреч: — в 7 часов 38Чц минуты — «8 «439ц « — «9 «49 '/и « — «10 «54'/ц « — «12 « 7-я встреча 8-я 9-я 1О-я « 11-я « Ковда стрелки направлены врозьР Эта задача решается весьма сходно с предыдущей. Начцем -,'='' опять с !2 часов, когда обе стрелки совпадают. Нужпо вычис-::,,':;,',,'. лить, сколько времени потребуется для того, чтобы мииутпая стрелка обогнала часовую ровно иа полкруга, — тогда обе'' '-,-,!1 стрелки и будут цаправлепы как раз в противоположные сто.
раны. Мы уже знаем (см. предыдущую задачу), что в течении целого часа минутная стрелка обгопяет часовую ца ц/1 полно-:У. го круга; чтобы обогнать ее всего иа '/~ круга, поиадобится мепьше времени, чем целый час,— мепьше во столько раз, во сколько Чз меньше ц/иь то есть потребуется всего %, часа Значит, после 12 часов стрелки в первый раз располагаются одна против другой спустя «/ц часа, или 32«/ц мипуты. Взгляяите иа часы в 32«/ц мииуты первого, и вы убедитесь, что стрелки направлены в противоположиые стороны. Единственный ли зто момент, когда стрелки так расположеиы? Конечно, иет. Такое положеиие стрелки занимают спустя 32«/и и и путы после каждой встр е ч и.
А мы уже знаем, что встреч бывает !1 в течение 12 часов; значит, и располагаются стрелки врозь тоже 11 раз в течение 12 часов. Найти эти моменты нетрудно: !2 час. + 32"/ц мип..=!2 час. 32«/ц мип. *2 1 час 5'/ц мии. + 32«/» мии. = 1 час 38з/ц мин. 2 часа 1О'%, мин. + 32'/ц ми~. = 2 часа 43'/ц мии. 3 часа 164/ц мии.
+ 32«/„мии. = 3 часа 49'/„мип. и т. д. Вычислить остальные моменты предоставляю вам самим, По обе стороны шести Задача зта решается так же, как и предыдущая. Вообразим, что обе стрелки стояли у 12, и затем часовая отошла от 12 иа некоторую часть пол~к1го оборота, которую мы обозначим буквой х. Мицутпая стрелка за то же время успела повериуться ца 12. х.
Если времепи прошло ие больше одного часа, то для удовлетворения требоваиия нашей задачи иеобходимо, чтобы минутная стрелка отстояла от конца целого 234 4 круга на столько же, на сколько часовая стрелка успела отойти от начала; другими словами: 1 — 12- х = х. Отсюда 1 = 13 ° х (потому что 13 х — 12 ° х = х). Следовательно, х = '/га доле целого оборота. Такую долю оборота часовая стрелка проходит в "/и часа, то есть показывает 55з/ж минуты первого.
Минутная стрелка в то же время прошла в 12 раз больше, то есть и/м полного оборота; обе стрелки, как видите, отстоят от 12 одинаково, а следовательно, одинаково отодвинуты и от б по разные стороны. Мы нашли одно положение стрелок — именно то, которое наступает в течение первого часа. В течение втор ого часа подобное положение наступит еше раз; мы найдем его, рассуждая по предыдущему, из равенства 1 — (12х — 1) = х, нли 2 — 12х = х, откуда 2 = 13х (потому что 1Зх — !2х = х) „и, следовательно, х = %а полного оборота.
В таков,; чоложении стрелки будут в 1 "/,з часа, то есть в 50 '%з минуты второго. В третий раз стрелки займут требуемое положение, когда часовая стрелка отойдет от 12 на з/ж полного круга, то есть 2'%з часа, и т. д. Всех положений !1, причем после 6 часов стрелки меняются местами: часовая стрелка занимает те места, в которых была раньше минутная, а минутная становится на места часовой. В котором часу? Если начать следить за стрелками ровно в 12 часов, то в течение первого часа мы искомого расположения не заметим. Почему? Потому что часовая стрелка проходит Ча того, что проходит минутная, и, следовательно, отстает от нее гораздо больше, чем требуется для искомого расположения.
На какой бы угол ни отошла от 12 минутная стрелка„часовая повернется на '/и этого угла, а пе на '/м как нам требуется. Но вот прошел час; теперь минутная стрелка стоит у 12, часовая — у 1, па '/и полного оборота впереди минутной. Посмотрим, не может ли такое расположение стрелок наступить в течение второго часа.
Допустим, что момент этот наступил тогда, когда часовая стрелка отошла от цифры 12 на долю оборота, которую мы обозначаем через х. Минутная стрелка успела за то же время пройти в 12 раз больше, то есть 12х. Если вычесть отсюда один полный оборот, то остаток 12х — 1 должен быть вдвое больше, чем х, то есть равняться 2х.
Мы видим, следовательно, что 12х — 1 = 2х, откуда следует, что один целый оборот равен !Ох (действительно, 12х — 10х = 2х). Но если !Ох равны целому обороту, то !х = '/ш части оборота. Вот и решение задачи: часовая стрелка отошла от цифры 12 на '/,р полного оборота, на что требуется "/ш часа илн .::-:;,'-'.' ! час !2 минут. Минутная стрелка при этом будет вдвое дальше от 12, то есть на расстоянии '/з оборота; это отвечает ««6 = 12 минутам, как и должно быть.
Мы нашли одно решение задачи. Но есть и другие: стрел. кн в течение 12 часов располагаются таким же образом не один раз, а несколько. Попытаемся найти остальные решении. Для этого дождемся 2 часов; минутная стрелка стоит у .:'-'::;-;;". 12, а часовая — у 2. Рассуждая по предыдущему, получаем равенство: 12х — 2 .=- 2х, откуда два целых оборота равны 10х, и, значит, х =- '/5 целого оборота.
Это соответствует моменту и/а = 2 часам 24 минутам„ Дальнейшие моменты вы легко вычислите сами. Тогда вы найдете, что стрелки располагаются согласно требованию за- ..;:.~.::; дачи в следующих 10 моментах: в 1 час 12 мин. в 7 час.. 12 мин. «2 «24 « «8 «24 « «3 «36 « «9 «36 « «4 «48 « «10«48 «6 « «!2з Огветьп «в 6 часов» и «в !2 часов» могут показаться неверными, но только с первого взгляда. Действительно: в 6 часов часовая стрелка стоит у 6, минутная же — у 12, то есть ровно вдвое дальше.
В !2 же часов часовая стрелка удалена от 12 на нуль, а минутная, если хотите, на «два нуля» (потому но двойной нуль то же, что и нуль); значит, и этот случай, в сущности, удовлетворяет условию задачи. ;" фа Иаобпрати После предыдуших разъяснений решить эту задачу уже нетрудно. Легко сообразить„рассуждая, как прежде, что в первый раз требуемое расположение стрелок будет в тот момент, который определяется равенством: х 12х — 1 = гза откупа 1 = 1! '/з х, или х = з/з, целого оборота, то есть через 1'/зз часа после !2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
