1611689565-9240426777aee54e360d867563371446 (826867), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Докажите равенствоh df iF+(y) = (iy)F+ [f (x)](y).dxРешение. Запишем прямое преобразование Фурье дляфункции f 0Z+∞1F+ [f 0 (x)](y) = √f 0 (x)e−ixy dx.2π−∞Так как f и f 0 непрерывны и абсолютно интегрируемы, тоинтеграл можно взять по частямZ+∞1√f 0 (x)e−ixy dx =2π−∞+∞1 hf (x)e−ixy −∞ −=√2πZ+∞i−ixyf (x)e(−iy) dx .−∞Покажем, что если функции f и f 0 абсолютно интегрируемы,то f (x) → 0 при x → ±∞. Так как Z+∞ lim f (x) − f (0) = f 0 (x) dx < +∞,x→+∞270то f ограничена на бесконечности. Но так как f абсолютноинтегрируема, то площадь под графиком функции ограничена, а это возможно только если f (x) → 0 при x → +∞.Аналогично можно показать, что f (x) → 0 при x → −∞.Так как f (x) → 0 при x → ±∞ и | e−ixy |= 1, то внеинтегральное слагаемое зануляется и1√2πZ+∞Z+∞i10−ixyf (x)edx = √ iyf (x)e−ixy dx =2π−∞−∞= (iy)F+ [f (x)](y),что доказывает требуемое утверждение.Аналогично доказывается равенствоF−h df idx(y) = (−iy)F− [f (x)](y).Эти равенства означают, что преобразование Фурье переводит (с точностью до числового множителя) операциюдифференцирования в операцию умножения на независимуюпеременную.
А в терминах операторов квантовой механики— унитарную эквивалентность оператора импульса и оператора координаты.ПРИМЕР 15.Пусть функция f непрерывна на R и, кроме того, функции f (x) и xf (x) абсолютно интегрируемы на R. Докажите,что функции F+ [f ] и F− [f ] дифференцируемы, причемdF+ [f ](y) = −iF+ [xf (x)](y)dyиdF− [f ](y) = iF− [xf (x)](y).dy28Эти равенства означают, что преобразование Фурье переводит (с точностью до числового множителя) операциюумножения на независимую переменную в операцию дифференцирования.Решение. Докажем первое равенство. Продифференцируем по параметру интегралdF+ [f ]1(y) = √dy2π1=√2πi= −√2πZ+∞d[f (x)e−ixy ] dx =dy−∞Z+∞(−ix)f (x)e−ixy dx =−∞Z+∞xf (x)e−ixy dx = −iF+ [xf (x)](y).−∞Операция дифференцирования интеграла по параметру законна, так как f (x)e−ixy гладкая по y функция, а для функции∂f (x)e−ixy∂yсуществует интегрируемая на R мажорирующая функция∂ −ixy = −ixf (x)e−ixy = |xf (x)| .f(x)e ∂yПреобразование Фурье функции xf (x) также существует,потому что xf (x) абсолютно интегрируема на R.29Найдите прямое и обратное преобразования Фурье следующих функций.ПРИМЕР 16.f (x) = 1, если | x |≤ a,0, если | x |> a.Решение.
Запишем прямое преобразование Фурье дляфункции f. В примере 3 мы убедились, что функция fкусочно-гладкая и абсолютно интегрируемая.1F+ [f ](y) = √2π1=√2πZaZ+∞f (x)e−ixy dx =−∞−ixy1·edx =−ar2 sin ay.πyИспользуя доказанное в примере 8 свойство преобразования ФурьеF− [f ](x) = F+ [f ](−x),получаемF− [f ](x) =ПРИМЕР 17.g(x) =r2 sin ay.πy cos x, если | x |≤ π,0, если | x |> π.Решение. Представим функцию g в видеg(x) = f (x) cos x,30где f — функция, заданная в примере 16 при a = π.Используя формулу из примера 11:F+ [f (x) cos bx](y) =имеем1F+ [f (x)](y − b) + F+ [f (x)](y + b) ,21F+ [f (x)](y − 1) + F+ [f (x)](y + 1) =2rr2 1 h sin π(y − 1) sin π(y + 1) i2 y sin πy==+.π 2y−1y+1π 1 − y2r2 y sin πy.F− [f ](x) = F+ [f ](−x) =π 1 − y2F+ [f (x) · cos x](y) =ПРИМЕР 18.Найти преобразование Фурье функции2f (x) = Ce−ax , C ∈ R, a > 0.Решение.
Формула (11) даетCF+ [f ](y) = √2πC=√2πZ+∞2e−ax e−ixy dx =−∞Z+∞2e−ax −ixy dx.−∞Выделяя в показателе экспоненты полный квадрат2y2iy2−−ax − ixy = −a x +2a4a31iyи обозначая z = a x +, получаем2a2Z+∞iy−a x+ 2ay2Cee− 4a dx =F+ [f ](y) = √2π√−∞y2C=√e− 4a2πaZ2e−z dz,(13)(L)где (L) — прямая в комплексной плоскости z, параллельнаяyвещественной оси и проходящая через точку z = √ i = vi.2 aПокажем, что интегралZ−z 2e(L)Z+∞2dz =e−(u+iv) du = Iv(14)−∞не зависит от v. Для этого продифференцируем Iv по параметру v. Операцию дифференцирования интеграла, зависящего от параметра, можем произвести, поскольку он мажорируется сходящимся интегралом, не зависящим от параметра.Оценим исходный интеграл Z+∞ Z+∞√2−ax2 −ixyeedx ≤e−ax dx = π,−∞так как e−ixy = 1.dIv=dvZ+∞−∞−∞∂ −(u+iv)2edu = −2i∂vZ+∞2e−(u+iv) (u + iv) du.−∞Откуда для всех v ∈ R получаемu=∞u=∞dIv−u2 +v2 −2iuv −(u+iv)2 = 0.= iee= ieu=−∞u=−∞dv32Полагая v = 0 в (14), получимZ−z 2eZ+∞√2dz =e−x du = π.−∞(L)Подставляя найденное значение в (14), находимy2C2F+ [Ce−ax ](y) = √ e− 4a .2a(15)1В случае, когда a = , последняя формула приобретает2видy2x2(16)F+ [Ce− 2 ](y) = C e− 2 .ПРИМЕР 19.Найти преобразование Фурье функцииx2f (x) = e− 2 cos ax, a ∈ R.Решение.
Используя формулу для преобразования Фурье,приведенную в примере 11:F+ [f (x) cos ax](y) =1F+ [f (x)](y − a) + F+ [f (x)](y + a) ,2и формулу (16), имеем(y+a)2 1 − (y−a)2e 2 + e− 2=2i(y 2 +2ay+a2 )1 h (y2 −2ay+a2)22+e== e2−(y 2 +a2 )1 −(y2 +a2) ay= e 2e + e−ay = ch ay e 2 .233x2F+ [e− 2 cos ax](y) =ПРИМЕР 20.Пусть f : R → C — абсолютно интегрируемая кусочногладкая непрерывная функция.
Докажите, что F+ [f (x)] =F− [f (x)], если и только если f — четная функция.Решение. Сначала покажем, что если функция f четная,то ее прямое преобразование Фурье равно обратному.1F+ [f (x)](y) = √2πZ+∞f (x)e−ixy dx.−∞Выполняя в этом интеграле замену переменной x = −z ииспользуя равенство f (−z) = f (z), получим1√2πZ−∞Z+∞1izyf (−z)e d(−z) = √f (z)eizy dz = F− [f (z)](y).2π+∞−∞Теперь покажем, что если прямое преобразование Фурьефункции равно обратному, то она четная.
Используя формулы Эйлера, запишем преобразования Фурье в виде1F+ [f (x)](y) = √2π1=√2π−∞Z+∞Z+∞1f (x) sin xy dx,f (x) cos xy dx − i √2π−∞−∞1F− [f (x)](y) = √2π1=√2πZ+∞f (x)e−ixy dx =Z+∞−∞Z+∞f (x)eixy dx =−∞1f (x) cos xy dx + i √2π34Z+∞f (x) sin xy dx.−∞Из равенства преобразований Фурье получаем1F− [f (x)](y) − F+ [f (x)](y) = 2i √2πZ+∞f (x) sin xy dx = 0.−∞Каждую функцию f можно представить как суммуf = fч + fн четной fч и нечетной fн функций, гдеfч =f (x) + f (−x),2f (x) − f (−x).2fн =Запишем последний интеграл в видеZ+∞Z+∞Z+∞0=(fч + fн ) sin xy dx =fч sin xy dx +fн sin xy dx.−∞−∞−∞В этом равенстве первый интеграл равен нулю как интегралот нечетной функции по симметричному относительно нуляпромежутку, значит,i√2πZ+∞fн sin xy dx = 0,−∞а это есть преобразование Фурье нечетной функции.Покажем, что если преобразование Фурье нечетной функции равно нулю, то равна нулю сама нечетная функция.Используем формулу обращения1fн (x) = F− [F+ [fн (x)]](y) = √2π1=√2πZ+∞F+ [fн (x)]eixy dx =−∞Z+∞0 · eixy dx = 0.−∞35Следовательно, функция является четной f = fч .В условии было сказано, что функция абсолютно интегрируемая, непрерывная и кусочно-гладкая.
Абсолютнаяинтегрируемость функции применяется для обоснования существования преобразований Фурье, а кусочная гладкость инепрерывность — при использовании формулы обращения.2.2. Преобразование Фурье быстро убывающихфункцийПреобразование Фурье быстро убывающих функций расширяет круг задач, в которых оно применяется, и упрощаеттехнические детали.2.2.1.
Быстро убывающие функцииОпределение. Мультииндексом α называется вектор(α1 , . . . , αn ), все компоненты αj которого — неотрицательныецелые числа. При этом число n называют длиной мультииндекса α, а число |α| = α1 +α2 +. . .+αn — его весом. Для любой(достаточно гладкой) функции f : Rn → C ее производную∂xα1 1∂ |α| f· ∂xα2 2 · . .
. · ∂xαnnкратко записывают как D α f.Определение. Функцию f : Rn → C называют быстро убывающей, если 1) f бесконечно дифференцируема в Rnи 2) для каждого мультииндекса α и каждого положительного числа p найдется постоянная Kα,p < +∞ такая, что αD f (x) ≤ Kα,p для всех x ∈ Rn . Здесь |x| обозначает1 + |x|pдлину вектора x = (x1 , x2 , . . . , xn ), т. е.1|x| = (x21 + x22 + . . . + x2n ) 2 .36Приведем еще одно определение. Функцию f : Rn → Cназывают быстро убывающей, если 1) f бесконечно дифференцируема в Rn и 2) для любых мультииндексовnα, β функция x → xα D β f (x) ограничена α вβ R (т.
е. найдется постоянная Cα,β < +∞ такая, что x D f (x) ≤ Cα,β длявсех x ∈ Rn ).Эти два определения быстро убывающей функции эквивалентны.2.2.2. Cвойства быстро убывающих функций1. Если f и g — быстро убывающие функции, то для любыхкомплексных чисел a и b функция af + bg также являетсябыстро убывающей.2. Если f — быстро убывающая функция, то для любогомультииндекса α функция D α f также является быстро убывающей.3. Если f — быстро убывающая функция, то для любогомультииндекса α функция xα f является быстро убывающей.4.
Произведение быстро убывающей функции на многочленесть функция быстро убывающая.Совокупность всех быстро убывающих функций, заданных в пространстве Rn , образует векторное пространство относительно обычных операций сложения функций и умножения функции на число. Это пространство обозначают черезS(Rn ).2.2.3. Преобразование Фурье быстро убывающихфункцийОпределение. Быстро убывающей функции f : Rn → Cсопоставим две новые функцииZ−n/2ˆf = (2π)f (x)e−i(x, y) dxRn37и∨f = (2π)−n/2Zf (x)ei(x, y) dx,RnPnгде (x, y) = k=1 xk yk — скалярное произведение в Rn .
Преˆ назыобразование, переводящее функцию f в функцию f,вается прямым преобразованием Фурье и обозначается черезF+ . При этом саму функцию fˆ = F+ [f ] называют прямымпреобразованием Фурье функции f.∨Аналогично преобразование, переводящее f в f, называется обратным преобразованием Фурье и обозначается через∨F− . При этом функцию f = F− [f ] называют обратным преобразованием Фурье функции f.Отметим, что интегралы, задающие прямое и обратноепреобразования Фурье, являются сходящимися, поскольку модуль экспоненты с чисто мнимым показателем равен единицеи для любого p > 0 быстро убывающая функция f допускаетоценкуC|f (x)| ≤,1 + |x|pсправедливую с некоторой постоянной C < +∞ для всех x ∈Rn .
Поэтому|f (x)e±i(x, y | = |f (x)| · |e±i(x, y | = |f (x)| ≤C,1 + |x|pкак известно из курса математического анализа, последняяфункция интегрируема по всему пространству Rn , если только p > n. Отметим также, что при n = 1 определение преобразования Фурье, данное в настоящем параграфе, совпадаетс определением, приведенным ранее в пункте 2.1.382.2.4.
Свойства преобразования Фурье быстро убывающих функций1. Преобразование Фурье линейно, т. е. для любыхa, b ∈ C и любых f, g ∈ S(Rn ) справедливы равенстваF± [af (x) + bg(x)](y) = aF± [f (x)](y) + bF± [g(x)](y).2. Для любого мультииндекса α и любой быстро убывающей функции f справедливы равенстваF± [xα f (x)](y) = (±i)|α| D α F± [f (x)](y).3. Для любого мультииндекса α и любой быстро убывающей функции f справедливы равенстваF± [D α f (x)](y) = (±iy)|α| F± [f (x)](y).4. Пусть A — невырожденная n×n-матрица, b — n-мерныйвектор и f : Rn → C — быстро убывающая функция. ТогдаF± [f (Ax + b)](y) = |det A|−1e±(y,A−1 b)F± [f (x)]((A−1 )∗ y).Здесь A−1 обозначает матрицу, обратную к A, а (A−1 )∗ — матрицу, сопряженную к A−1 , т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
