1611689565-9240426777aee54e360d867563371446 (826867), страница 2
Текст из файла (страница 2)
На рис. 4 представлен график синус-преобразования Фурье b(y) функцииf (x).Рис. 4. График функции b(y)131.4. Разложение на полупрямойВ пункте 1.3 мы показали, что для четной функции интегральная формула Фурье содержит только косинусы, а длянечетной — только синусы. Пусть теперь функция f (x) задана лишь в промежутке [0, +∞) и удовлетворяет в этомпромежутке условиям, аналогичным тем, которые были поставлены ко всему промежутку (−∞, +∞). Тогда,продолжив функцию f (x) : (0, +∞) → R четным образом на промежуток (−∞, 0), получим формулу (7), анечетное продолжение даст формулу (8).
Для положительных значений x мы можем пользоваться как формулой (7),так и формулой (8).ПРИМЕР 3. Представьте1,1f (x) =,20,интегралом Фурье функциюесли 0 ≤ x < a,если x = a,если x > a,продолжив ее а) четным и б) нечетным образом на промежуток (−∞, 0).Решение. Очевидно, что функция f (x) удовлетворяет условиям теоремы о представимости кусочно-гладкой функции вточке своим интегралом Фурье. В этом читатель может легкоубедиться самостоятельно.а) Продолжив функцию f (x) на промежуток (−∞, 0) четным образом, вычислим прямое косинус-преобразованиеФурье2a(y) =πZ+∞Za2f (t) cos ty dt =cos ty dt =π0140t=a22 sin ay==(sin ty) .πyπ yt=0В силу четности продолженной функции b(y) = 0.
Таким образом, интегральная формула Фурье для функции f (x) имеет видZ+∞sin ay2cos xy dy.f (x) =πy0Проверим на этом примере формулу Фурье. Из курса математического анализа известно, что интеграл Дирихле π, если a > 0,2Z+∞sin ay0, если a = 0,dy =y0 − π , если a < 0.2В силу того, что функцияsin ayfb(y) =yабсолютно интегрируема в промежутке [0, +∞), запишем длянее обратное косинус-преобразование Фурье2πZ+∞Z+∞sin ay2fb(y) cos xy dy =cos xy dy =πy021=π20" Z+∞sin y(a + x)dy +y0Z+∞015#sin y(a − x)dy =y π1, если 0 ≤ x < a,,если0≤x<a,22 π1==, если x = a,,еслиx=a,π240, если x > a.0, если x > a,Таким образом, мы показали, что обратное преобразованиеb совпадает с функцией f (x).Фурье функции f(y)б) Продолжив функцию f (x) на промежуток (−∞, 0) нечетным образом, вычислим прямое синус-преобразование Фурье2b(y) =πZ+∞Za2f (t) sin ty dt =sin ty dt =π00t=a22 1 − cos ay= − cos ty =.πyπyt=0В силу нечетности продолженной функции a(y) = 0.
Вэтом случае интегральная формула Фурье для функции f (x)имеет видZ+∞1 − cos ay2f (x) =sin xy dy.πy0Сопоставляя пункты а) и б), видим что для положительных значений xZ+∞0sin aycos xy dy =yZ+∞0161 − cos aysin xy dy.yРешите следующие интегральные уравнения (примеры4–7), считая, что параметр a > 0, а x изменяется в указанныхпределах.ПРИМЕР 4.Z+∞f (y) cos xy dy =a21,+ x2x > 0.0Решение. Интеграл, стоящий в левой части уравнения,является обратным косинус-преобразованием Фурье четнойфункции. Продолжим функциюg(x) =a21, x > 0,+ x2на промежуток (−∞, 0) четным образом и вычислим для неепрямое косинус-преобразование Фурье (предоставляем читателю самостоятельно убедиться в том, что функция g(x)удовлетворяет условиям теоремы о представимости кусочногладкой функции в точке своим интегралом Фурье).2a(y) =πZ+∞Z+∞cos ty2e−ayg(t) cos ty dt =dt=.πa2 + y 2a00Здесь мы считаем, что y > 0.
Известный интеграл ЛапласаZ+∞cos tyπ e−aydt=a2 + y 22 a0здесь вычислять не будем.В силу четности продолженной функции b(y) = 0.17Z+∞Интеграл|a(y)| dy сходится при a > 0. Поэтому иско0мой функцией будетf (y) = a(y) =e−ay.aЭто решение уравнения является единственным, так какфункции a(y) и b(y) находятся единственным образом по совершенно определенному правилу.ПРИМЕР 5.Z+∞f (y) cos xy dy =a21,+ x20x ∈ R.Решение.
В примере 4 мы решили это уравнение в случае,когда переменные x и y были положительными и функцияg(x) была задана на полупрямой. В данном случае функциязадана на всей вещественной прямой, и продолжать ее какимлибо образом нет необходимости. Но так как она являетсячетной, то все рассуждения, приведенные в примере 4,имеют силу. Следовательно, решением уравнения являетсяфункцияe−ayf (y) =, y > 0.aНо так как функция в правой части уравнения определенадля всех x ∈ R, то и функцию f (y) определим на всей вещественной прямой равенствомf (y) =e−a|y|.a18ПРИМЕР 6.Z+∞f (y) sin xy dy =1,a2 + x2x > 0.0Решение. Интеграл, стоящий в левой части уравнения,является обратным синус-преобразованием Фурье нечетнойфункции.
Продолжим функциюg(x) =1, x > 0,a2 + x2на промежуток (−∞, 0) нечетным образом и вычислим длянее прямое синус-преобразование Фурье2b(y) =πZ+∞Z+∞sin ty2g(t) sin ty dt =dt.πa2 + y 200Этот интеграл в элементарных функциях не берется, поэтомуоставим его в таком виде.В силу нечетности продолженной функции a(y) = 0.Искомой функцией будет2f (y) = b(y) =πZ+∞sin tydt.a2 + y 20ПРИМЕР 7.Z+∞f (y) sin xy dy =1,a2 + x2x ∈ R.0Решение. В примере 6 мы решили это уравнение в случае,когда функция g(x) была задана на полупрямой. В данном19случае функция задана на всей вещественной прямой, и продолжать ее произвольным образом мы не можем. Но так какона является четной, а интеграл Фурье в левой части уравнения имеет смысл только для нечетной функции, то данноеуравнение не имеет решений.ЗАДАЧИПредставьте интегралом Фурье следующие функции:a, если | x |< 1 (a > 0),1. f (x) =0, если | x |≥ 1. −1, если − 1 < x < 0,1, если0 < x < 1,2.
a) f (x) =0, если| x |> 1.Используя интегральную формулу Фурье для функцииf (x) из пункта a), вычислите интегралыb)Z+∞0sin3 t cos tdt и c)tZ+∞sin3 tdt.t03. f (x) = sgn(x − a) − sgn(x − b) (b > a). |x|, если | x |≤ a, (a > 0), h 1−a4. f (x) =0, если | x |> a.π A sin ωx, если | x |< 2 ,5. f (x) =π0, если | x |> .2206. f (x) = e−a|x| (a > 0).27.
f (x) = e−a|x| sin bx (a > 0).28. f (x) = e−x .9. f (x) = xe−x .Ответы21. f (x) =πZ+∞sin aycos xy dy.y0Z+∞22. a) f (x) =π1 − cos yππsin xy dy; b); c) .y16403. f (x) =2πZ+∞sin y(x − a) − sin y(x − b)dy.y0Z+∞2h4. f (x) =πa1 − cos aycos xy dy.y202Aω5. f (x) =πZ+∞06. f (x) =2aπZ+∞sin 2πnyωsin xy dy.y2 − ω2cos xydy.y 2 + a204ab7. f (x) =π18. f (x) = √πZ+∞0Z+∞[(y −b)2y sin xydy.+ a2 ] [(y + b)2 + a2 ]y2e− 4 cos xy dy.019. f (x) = √2 πZ+∞y2ye− 4 sin xy dy.0212.
Преобразование ФурьеПреобразование Фурье используется во многих областяхнауки — в физике, акустике, океанологии, оптике, обработкесигналов и многих других.2.1. Преобразование Фурье абсолютно интегрируемых функцийПреобразование, сопоставляющее кусочно-гладкой абсолютно интегрируемой функции f (x) новую функцию1fb(y) = √2πZ+∞f (x)e−ixy dy,(11)−∞называется прямым преобразованием Фурье и обозначаетсячерез F+ . При этом функция fb = F+ [f ] называется прямымпреобразованием Фурье функции f .Другое преобразование, сопоставляющее кусочно-гладкойабсолютно интегрируемой функции f (x) новую функцию1f (y) = √2π∨Z+∞f (x)eixy dy,(12)−∞называется обратным преобразованием Фурье и обозначает∨ся через F− .
При этом функция f = F− [f ] называется обратным преобразованием Фурье функции f .∨Для функций, у которых fb и f абсолютно интегрируемы, последовательное применение прямого, а затемобратного преобразований Фурье к кусочно-гладкойнепрерывной функции не изменяет функцию. Аналогично можно убедиться, что и последовательное применение сначала обратного, а затем прямого преобразований Фурье к кусочно-гладкой непрерывной функции также22не изменяет исходную функцию. Символами эти утверждения записывают корочеb∨b f или f = F+ [F− [f ]] = F− [F+ [f ]]f =f=∨и называют формулами обращения преобразования Фурье.∨В силу формул обращения функции fˆ и f в определенном смысле равноправны.
Однако (даже для вещественно∨значной функции f ), вообще говоря, функции fˆ и f являютсякомплексно-значными. Чтобы избежать такой асимметрии,при изучении преобразования Фурье мы будем изначальнопредполагать, что рассматриваемые функции f принимаюткомплексные значения.Отметим, что разные источники могут давать определения, отличающиеся от приведенного выбором коэффициентаперед интегралом, а также знака «–» в показателе экспоненты. Все свойства в этом случае будут аналогичны, хотя видкаких-то формул может измениться.Широкие возможности применения преобразованияФурье основываются на нескольких полезных свойствах этого преобразования, приведенных в следующих примерах.ПРИМЕР 8.∨ˆДокажите, что f(x)=f (−x) (это простое наблюдениепозволяет во всех последующих задачах реально вычислять только прямое преобразование Фурье).Решение.
По определению запишем обратное преобразование Фурье в точке (−x)1f (−x) = √2π∨Z+∞Z+∞1iy(−x)f (x)edy = √f (x)e−iyx dy = fˆ(x).2π−∞−∞23ПРИМЕР 9.Докажите линейность прямого и обратного преобразований Фурье, т. е. установите, что для любых комплексных чисел a и b справедливы равенстваF+ [af + bg] = aF+ [f ] + bF+ [g],F− [af + bg] = aF− [f ] + bF− [g].Решение. Запишем прямое и обратное преобразованиеФурье для суммы af + bg1F± [af + bg](x) = √2πZ+∞[af (y) + bg(y)]e∓ixy dy.−∞Пользуясь свойством линейности интеграла, перепишем последний интеграл в виде суммы интеграловa√2πZ+∞Z+∞bf (y)e∓ixy dy + √g(y)e∓ixy dy =2π−∞−∞= aF± [f (x)] + bF± [g(x)].ПРИМЕР 10.Докажите, что формулы oбpaщения справедливы длякомплексно-значных функций.Решение.
Запишем формулы oбpaщения для комплекснозначной функции f (x) = u(x) + iv(x), где u(x) и v(x)вещественно-значные функции,f (x) = F+ [F− [f (x)]] = F+ [F− [u(x) + iv(x)]].24В силу линейности прямого и обратного преобразованийФурье перепишем уравнение в видеF+ [F− [u(x)]] + iF+ [F− [v(x)]] = u(x) + iv(x) = f (x).Считая a вещественным числом, а f : R → C — непрерывной абсолютно интегрируемой функцией, докажите следующие равенства.ПРИМЕР 11.F+ [eiax f (x)](y) = F+ [f (x)](y − a),т.
е. сдвиг по фазе у функции приводит к сдвигу по аргументуу ее преобразования Фурье.Решение. Запишем прямое преобразование Фурье дляфункции eiax f (x)iaxF+ [e1=√2π1f (x)](y) = √2πZ+∞eiax f (x)e−ixy dx =−∞Z+∞f (x)e−ix(y−a) dx = F+ [f (x)](y − a).−∞Следствием этого свойства являются следующие равенства:F+ [f (x) cos ax](y) =F+ [f (x) sin ax](y) =1F+ [f (x)](y − a) + F+ [f (x)](y + a) ,21F+ [f (x)](y − a) − F+ [f (x)(y + a)] .2i25ПРИМЕР 12.F+ [f (x − a)](y) = e−iay F+ [f (x)](y),т.
е. сдвиг по аргументу у функции приводит к сдвигу пофазе у ее преобразования Фурье.Решение. Найдем прямое преобразование Фурье дляфункции f (x − a)1F+ [f (x − a)](y) = √2π1=√2πZ+∞f (x − a)e−ixy dx =−∞Z+∞f (z)e−iy(z+a) dz = e−iay F+ [f (z)](y)−∞(выполнена подстановка x − a = z).ПРИМЕР 13.Докажите, что если преобразованием Фурье функции f (x)является fˆ(y), то преобразованием Фурье функции f (ax) слу1 ˆ y жит, a 6= 0.f| a| aРешение. Преобразованием Фурье функции f (ax) будет1F+ [f (ax)](y) = √2π1 1= √a 2π−∞+a·∞Z−a·∞Z+∞f (ax)e−ixy dx =yy1f (z)e−i a z dz = F+ [f (z)]aa26(выполнена подстановка ax = z) при a > 0; при a < 0 надопереставить пределы интегрирования, что дастyy11=.F+ [f (z)]− F+ [f (z)]aa| a|aНайдите аналоги приведенных выше свойств для обратного преобразования Фурье.ПРИМЕР 14.Пусть функция f и ее первая производная непрерывны иабсолютно интегрируемы на R.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
