1611689565-9240426777aee54e360d867563371446 (826867), страница 4
Текст из файла (страница 4)
е. такую (единственным образомопределенную) матрицу, что для любых векторов u, v ∈ Rnсправедливо равенство(A−1 u, v) = (u, (A−1 )∗ v).5. Если f : Rn → C — быстро убывающая функция, аx0 ∈ Rn , тоF± [f (x − x0 )](y) = e∓i(x0 , y) F± [f (x)](y).6. Если f : Rn → C — быстро убывающая функция, а a —отличное от нуля вещественное число, тоy 1F± [f (ax)](y) = n F± [f (x)].|a|a39Свойство 6 обычно называют правилом изменения масштаба.7. Как прямое, так и обратное преобразование Фурье переводит пространство быстро убывающих функций в себя.Другими словами, какова бы ни была функция f ∈ S(Rn ),обе функции F± [f (x)] принадлежат S(Rn ).8.
Для любой быстро убывающей функции f : Rn → Cсправедливы равенстваF+ [F− [f ]] = fиF− [F+ [f ]] = f.Другими словами, последовательное применение прямого и обратного преобразований Фурье не изменяет функции.Свойство 8 называют формулой обращения для преобразования Фурье.ПРИМЕР 21.Проверьте, что функция e−a|x| , a > 0, как и все ее производные, определенные при x 6= 0, убывает на бесконечности быстрее любой степени переменной x, и тем не менее этафункция не является быстро убывающей.Решение. Покажем, что для функции e−a|x| , a > 0, длявсех x ∈ Rn \{0} и любых α, β ∈ N выполняется неравенство xα D β e−a|x| ≤ Cα,β из определения быстро убывающейфункции, т.
е. она и любая ее производная убывают на бесконечности быстрее многочлена любой степени. Для этоговычислим следующие пределы на бесконечностиlim xα D β e−ax = (−1)β aβ lim xα e−ax = 0,x→+∞x→+∞lim xα D β eax = aβ lim xα eax = 0.x→−∞x→−∞40Здесь мы воспользовались известными из математическогоанализа пределами lim xα e−ax = 0 и lim xα eax = 0.x→+∞x→−∞Покажем, что у функции e−a|x| , a > 0 в точке x = 0 не существует производная. Для этого вычислим следующие пределы:lim De−ax = −a lim e−ax = −a,x→+0x→+0axlim Dex→−0= a lim eax = a.x→−∞Следовательно, для функции не выполняется первое условиеиз определения быстро убывающей функции, и она не является быстро убывающей.ПРИМЕР 22.Докажите, что функция F± [e−a|x| ], a > 0, является бесконечно дифференцируемой на R функцией, но не являетсябыстро убывающей.Решение.
Вычислим преобразование Фурье функции−a|x|F+ [e1](y) = √2πZ+∞e−a|x| e−ixy dx.−∞Раскроем модуль и представим интеграл в уравнении в видесуммы двух интегралов1√2πZ+∞Z+∞h Z0i1e−a|x| e−ixy dx = √ex(a−iy) dx+ ex(−a−iy) dx =2π−∞"−∞x(a−iy) x=00−x(a+iy)#x=∞=1 ee=√+2π a − iy x=−∞ −(a + iy) x=0#"2111a=√ 2+.=√π a + y22π a − iy a − iy41a2бесконечно дифференциФункция F+ [e−a|x| ](y) = √ 2π a + y2руема на R. Покажем, что она не убывает на бесконечностибыстрее любого многочлена. Придадим числам α и β следузначения α = 3, β = 0 и подставим их в выражениеющиеxα D β F+ [e−a|x| ](y). Получим α βay 3x D F+ [e−a|x| ](y) = √2;π a2 + y 2эта функция ведет себя на бесконечности как функцияg(y) = ky, k ∈ R.
Следовательно, она не является быстроубывающей.2.2.5. Свертка быстро убывающих функцийКаждымдвумбыстроубывающимфункциямf, g : Rn → C сопоставим новую функцию f ∗ g : Rn → C, называемую сверткой функций f и g и задаваемую формулойZ(f ∗ g)(x) = f (x − y)g(y) dy.RnСвертка обладает следующими свойствами.1. Свертка коммутативна:f ∗ g = g ∗ f.2. Свертка ассоциативна:(f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h).3. Свертка линейна пo первому аргументу, т. е. для любых комплексных чисел a, b ∈ C и любых быстро убывающихфункций f, g и h справедливо равенство(af + bg) ∗ h = a(f ∗ g) + b(g ∗ h).424. Для любого мультииндекса α и любых быстро убывающих функций f, g справедливы равенстваD α (f ∗ g) = (D α f ) ∗ g = f ∗ (D α g).Другими словами, чтобы продифференцировать свертку, можно сначала продифференцировать любую из функций, а затем свернуть результат с другой функцией.5.
Преобразование Фурье с точностью до константы переводит свертку двух функций в произведение преобразований Фурье этих функцийF± [f ∗ g] = (2π)n/2 F± [f ] · F± [g].6. Преобразование Фурье с точностью до константы переводит произведение двух функций в свертку преобразований Фурье этих функцийF± [f · g] = (2π)−n/2 F± [f ] ∗ F± [g].Прежде чем перейти к последующим задачам, познакомимся с функцией Хевисайда.Функцией Хевисайда называется функция вида 0, если x < 0,H(x) =1, если x > 0.На рис.
5–7 приведены графики функций H(x), H(−x),H(x − a), a > 0.43Рис. 5. График функции H(x)Рис. 6. График функции H(−x)44Рис. 7. График функции H(x − a), a > 0ПРИМЕР 23.Найти свертку H ∗ H (x).Решение. По определению свертки и функции ХевисайдаимеемZ+∞Z+∞H ∗ H (x) =H(y)H(x − y) dy =H(y)H(x − y) dy.−∞0Подинтегральная функция имеет вид 1, если 0 < y < x, x > 0,H ∗ H (x) =0, если x ≤ 0.На рис. 8 и 9 приведены графики функций H(y) и H(x−y)при x < 0 и x > 0 соответственно. В первом случае ступенькине пересекаются, и произведение H(y)H(x − y) = 0 для всехy, а во втором — пересекаются, и H(y)H(x − y) = 1 при 0 <y < x.45Рис. 8. Графики функций H(y) и H(x − y) при x < 0Рис.
9. Графики функций H(y) и H(x − y) при x > 046Следовательно,Z+∞H(y)H(x − y) =0= xZ1 · dy, если 0 < y < x, x > 0,00, если x ≤ 0, x если 0 < y < x, x > 0,0, если x ≤ 0.Иначе последнее выражение можно записать так:H ∗ H (x) = xH(x).ПРИМЕР 24.Найти свертку H(x) ∗ H(x) sin(x) .Решение. Используя предыдущий пример, получимZ+∞H(x) ∗ H(x) sin(x) =H(x − y) sin(x − y) dy ==0 xZsin(x − y) dy, если 0 < y < x, x > 0,00, если x ≤ 0,= (1 − cos x)H(x).47==В примерах 25 и 26 докажите равенства, считая параметры a и b положительными.ПРИМЕР 25.fa ∗ fb = f√a2 +b2 , если fa (x) = a−1 (2π)−1/2 e−x2 /2a2.Решение. Докажем это равенство двумя способами: напрямую по определению и используя свойства преобразования Фурье свертки.1. Доказательство по определению.
Запишем сверткуфункций fa и fb1 1(fa ∗ fb )(x) =2π abZ+∞y2(x−y)2e− 2a2 e− 2b2 dy.−∞Совершим алгебраические преобразования в показателе экспоненты22222y 2 − a2a2 +bxy2 + a2a+bx 2 − a2a+bx 2(x − y)2x2y2=− 2 −− 2−=2a2 b22a2b22ba2 +b2x2a2 x 2 a2 + b2a2 x2−y−+=2b2a2 + b22a2 b22b2 (a2 + b2 )a2 x 2 a2 + b2x2−y−.=− 22(a + b2 )a2 + b22a2 b2Вынося за знак интеграла множитель, не зависящий от переменной интегрирования, получим интеграл вида2Z+∞22a2 +b2− y− 2a x 21 1 − 2(a2x+ba +b2a2 b22)dy.ee2π ab=−−∞Сделав в интеграле замену переменной√a2 x a2 + b2√z= y− 2,a + b22ab48получим√Z+∞21 12ab − 2(a2x+b22)√e−z dz =e222π ab a + b−∞x211−=√ √e 2(a2 +b2 ) = f√a2 +b2 .2π a2 + b2Здесь мы воспользовались известным интегралом Пуассона:Z+∞√2e−z dz = π.−∞2.
Доказательство c использованием свойств преобразования Фурье свертки. Из формулы (15), доказанной в примере18, следует2a2 y 211− x2e− 2 ,F+ √ e 2a (y) = √a 2π2πx2b2 y 211F+ √ e− 2b2 (y) = √e− 2 ,b 2π2πx2y21122−√ e 2(a2 +b2 ) (y) = √F+ √e− 2 (a +b ) .22a + b 2π2πСледовательно,√F+ f√a2 +b2 (y) = 2πF+ [fa ] (y) · F+ [fb ] (y).Используя свойство преобразования Фурье для быстроубывающих функций F± [f · g] = (2π)−n/2 F± [f ] ∗ F± [g] приn = 1 и формулу обращения, получаем √ f√a2 +b2 = F− F+ f√a2 +b2 = 2πF− [F+ [fa ] · F+ [fb ]] =1 √2π (F− [F+ [fa ]] ∗ F− [F+ [fb ]]) = fa ∗ fb ,=√2πчто и требовалось доказать.49ПРИМЕР 26.fa ∗ fb = fa+b , если fa (x) =H(x)x1−a eβx Γ(a), гдеZ+∞Γ(a) =xa−1 e−x dx —0гамма-функция (или интеграл Эйлера второго рода).Решение.
Так же, как в примере 25, решим задачу двумяспособами.1. Доказательство по определению. Запишем свертку функций fa и fb1(fa ∗ fb )(x) =Γ(a)Γ(b)Z+∞−∞H(y)H(x − y)dy.1−aβyy e (x − y)1−b eβ(x−y)Пользуясь определением функции Хевисайда, перепишеминтеграл в видеZ+∞1Γ(a)Γ(b)=−∞1Γ(a)Γ(b)Zx0H(y)H(x − y)dy =1−aβyy e (x − y)1−beβ(x−y)y a−1 (x − y)b−1e−βx dy, если x > 0,0, если x < 0.Выполнив в интеграле подстановку y = xz, получим(fa ∗ fb )(x) =50.=e−βxxa+b−1Γ(a)Γ(b)Z10z a−1 (1 − z)b−1 dz, если x > 0,0, если x < 0.Последний интеграл является бета-функцией (или интегралом Эйлера первого рода), который связан с гамма-функциейзависимостьюΓ(a)Γ(b)B(a, b) =.Γ(a + b)Тогда вычисляемую свертку можно переписать в видеe−βxxa+b−1 , если x > 0,Γ(a+b)=(fa ∗ fb )(x) =0, если x < 0,1если x > 0, 1−(a+b) βxxe Γ(a + b)==0, если x < 0,=H(x)= fa+b .+ b)2. Доказательство c использованием свойств преобразования Фурье свертки.
Найдем преобразование Фурье для функции faZ+∞1H(x)bfa (y) = √e−ixy dx.1−aβx Γ(a)xe2πx1−(a+b) eβx Γ(a−∞Подставив в этот интеграл значение функции Хевисайда H(x),приведем его к виду1√2πZ+∞−∞1H(x)e−ixy dx = √1−aβxx e Γ(a)2πΓ(a)51Z+∞xa−1 e−ix(y−iβ) dx.0Совершив замену переменной в интеграле z = i(y − iβ)x,получимZ+∞1√xa−1 e−ix(y−iβ) dx =2πΓ(a)0Z1√z a−1 e−z dz,(17)=a2πΓ(a)(β + iy)γ1−где γ1− — прямая, задаваемая уравнением z = i(y−iβ)x, x ∈(0, +∞) в комплексной плоскости. Покажем, что последнийинтеграл равен интегралуZ+∞xa−1 e−x dx = Γ(a).0Воспользуемся обобщенной теоремой Коши из курса теории функций комплексного переменного.Если f (z) есть функция, аналитическая в области D, внутренней к жордановой спрямляемой кривой L, и кроме того,f (z) непрерывна в замкнутой области D, тоZf (z) dz = 0.CТеорема Коши применима, если на границе нет особых точек,но подинтегральная функция z a−1 e−z в интеграле (17) имеетособенность в нуле при 0 < a < 1, поэтому вырежем особую точку 0 малой окружностью радиуса ε.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
