1611689565-9240426777aee54e360d867563371446 (826867)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФНОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙУНИВЕРСИТЕТФизический факультетР. К. БельхееваПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕВ ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХУчебное пособиеНовосибирск2014УДК 517.443ББК В161.911Б44Рецензентканд. физ.-мат. наук., доцент И. В. ПодвигинИздание подготовлено в рамках реализации Программыразвития государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Новосибирскийгосударственный университет» на 2009–2018 годы.Б 44Бельхеева, Р. К.Преобразование Фурье в примерах и задачах : учебное пособие / Р.

К. Бельхеева ; Новосиб. гос. ун-т. — Новосибирск :РИЦ НГУ, — 2014. 81 с.ISBN 978-5-4437-0290-2В учебном пособии излагаются основные сведения о преобразовании Фурье, приведены примеры на каждую изучаемую тему.Детально разобран пример применения метода Фурье к решениюзадачи о поперечных колебаниях струны. Приведен иллюстративный материал, имеются задачи для самостоятельного решения.Предназначено для студентов и преподавателей физическогофакультета НГУ.Печатается по решению методической комиссии физического факультета НГУ.ISBN 978-5-4437-0290-2УДК 517.443ББК В161.911c Новосибирский государственныйуниверситет, 2014c Р. К.

Бельхеева, 20141. Интеграл ФурьеИзучая тему «Ряды Фурье», кусочно-гладкую функцию,заданную на промежутке [−l, l], мы разлагали в ряд «гармонических колебаний», частоты которых образуют дискретную последовательность. При переходе к функции, заданнойна всей оси x или на полуоси x, происходит качественныйскачок: ряд Фурье превращается в интеграл Фурье, которыйпредставляет собой сумму «гармонических колебаний», частоты которых непрерывно заполняют действительную полуось. Рассмотрим предельный переход от ряда Фурье к интегралу Фурье.1.1. Интеграл Фурье как предельная форма рядаФурьеПусть f (x) : R → R — непрерывно дифференцируемаяфункция.

На основании теоремы о представимости функциив точке своим рядом Фурье мы можем для любого l > 0разложить f в ряд Фурье в промежутке [−l, l]:f (x) =a0 X πnxπnx ,+an cos+ bn sin2lln=1∞(1)где коэффициенты an , bn вычисляются по формулам:1an =lZlf (t) cosπntdt,ln = 0, 1, . . . ,(2)Zlf (t) sinπntdt,ln = 1, 2, . . .

.(3)−l1bn =l−l3Подставив в (1) вместо коэффициентов an и bn их выражения(2) и (3), после преобразований получим:1f (x) =2lZl1 lf (t) dt + ·l π−lZl−lf (t)∞Xn=1cos[yn (t − x)]4yn dt,ππnи 4yn = yn+1 − yn = .llПерейдем в этом равенстве к пределу при l → +∞. ПредZ+∞положив, что интеграл|f (t)| dt сходится, и заменив бесгде yn =−∞конечный ряд интегралом, получим +∞Z+∞Z1f (t)  cos y(t − x) dy  dt.f (x) =π−∞0Меняя порядок интегрирования и разлагая косинус разностипо известной тригонометрической формуле, получаемZ+∞Z+∞ Z+∞1 f (x) =f (t) cos yt dt · cos yx + f (t) sin yt dt · sin yxdyπ0или−∞−∞Z+∞f (x) =[a(y) cos yx + b(y) sin yx] dy,(4)0где1a(y) =πZ+∞f (t) cos ty dt,(5)Z+∞f (t) sin ty dt.(6)−∞1b(y) =π−∞4Отметим, что при наших предположениях о функции fинтегралы в (5) и (6) сходятся, а интеграл в (4), во всякомслучае, не является интегралом, расходимость которого бросалась бы в глаза.

Формула (4) справедлива на всей числовойпрямой и играет такую же роль, как разложение функции вряд Фурье.Определения. Правая часть формулы (4) называетсяинтегралом Фурье, а сама формула (4) — интегральной формулой Фурье. Функция a : R → R, определенная формулой (5), называется косинус-преобразованием Фурье функцииf . Функция b : R → R, определенная формулой (6), называется синус-преобразованием Фурье функции f .1.2. Теорема о представимости функции в точкесвоим интегралом ФурьеНапомним определение.

Функция f : R → R называетсяабсолютно интегрируемой на [a, b], a, b ∈ R, если интегралZb|f (t)| dt сходится. Если (a, b) = (−∞, +∞), то f называетсяaпросто абсолютно интегрируемой.Лемма (Римана—Лебега для бесконечного промежутка).Пусть a ∈ R и f : (a, +∞) → R абсолютно интегрируема на(a, +∞).

ТогдаZ+∞Z+∞limf (x) cos px dx = limf (x) sin px dx = 0.p→+∞p→+∞aaОпределение. Функцию f : R → R будем называтькусочно-гладкой, если она является кусочно-гладкой на любом конечном промежутке [a, b], т. е. если в [a, b] найдетсяконечное число точек a = x0 < x1 < . . . < xn = b таких,что в каждом открытом промежутке (xj , xj+1) функция f (x)5непрерывно дифференцируема, а в каждой точке xj у f существуют конечные пределы слева и справа:f (xj − 0) = lim f (xj − h), f (xj + 0) = lim f (xj + h),h→+0h→+0а также существуют и конечны следующие пределы, похожиена левую и правую производные:f (xj + h) − f (xj + 0).h→+0hf (xj − h) − f (xj − 0),h→+0−hlimlimТеорема (о представимости кусочно-гладкой функции вточке своим интегралом Фурье). Пусть f (x) : R → R кусочногладкая абсолютно интегрируемая функция.

Тогда длялюбого x ∈ R справедливо равенствоZ+∞1[a(y) cos yx + b(y) sin yx] dy = [f (x + 0) + f (x − 0)] ,20где1a(y) =πZ+∞f (t) cos ty dt,1b(y) =π−∞Z+∞f (t) sin ty dt.−∞1.3. Различные виды формулы ФурьеЗапишем формулу (4) в виде1f (x) =πZ+∞Z+∞f (t) cos ty dt +cos yx−∞01+πZ+∞Z+∞sin yxf (t) sin ty dt dy.0−∞6Если f (x) есть четная функция, тоZ+∞Z+∞f (t) cos ty dt = 2f (t) cos ty dt dy = 2a(y),−∞0Z+∞f (t) sin ty dt = 0−∞и мы получим упрощенную формулу интеграла Фурье, содержащую лишь косинусы:2f (x) =πZ+∞a(y) cos yx dy.(7)0Аналогично в случае нечетной функции f (x) мы приходим кформуле, содержащей лишь синусы:2f (x) =πZ+∞b(y) sin yx dy.0Функция a(y), построенная по формуле2a(y) =πZ+∞f (t) cos ty dt,0называется обратным косинус-преобразованием Фурье.А функция b(y), построенная по формуле2b(y) =πZ+∞f (t) sin ty dt,0называется обратным синус-преобразованием Фурье.7(8)В примере 1 и 2 установите формулу, считая параметр aположительным.ПРИМЕР 1. π, если | x |< a,2+∞Zsin ayπcos yx dy =, если | x |= a,y400, если | x |> a.Решение.

Интеграл, стоящий в левой части уравнения,представляет интеграл Фурье, который содержит только косинусы. Здесь роль функции, являющейся прямым косинусsin ayпреобразованием, играет функция a(y) =. Как следуyет из пункта 1.3., в этом виде представимы четные функции.Убедимся, что к четной функции π, если | x |< a,2π(9)f (x) =, если | x |= a,40, если | x |> aможно применить теорему о представимости кусочно-гладкойфункции в точке своим интегралом Фурье. На рис. 1 представлен график этой функции.Очевидно,что функция являетсяабсолютно интегрируе +∞Zмой  |f (t)| dt = πa < +∞ и кусочно-гладкой: функция−∞претерпевает конечное число разрывов; на каждом из промежутков (−∞, −a), (−a, a), (a, +∞) она непрерывно дифференцируема; в точках разрыва x = ±a существуют конечные8пределы:f (−a − 0) = lim f (−a − h) = 0,h→+0f (−a + 0) = lim f (−a + h) =h→+0π,2π,h→+02f (a + 0) = lim f (a + h) = 0;f (a − 0) = lim f (a − h) =h→+0также существуют и конечны пределы, похожие на левую иправую производные:limh→+0f (−a − h) − f (−a − 0)= 0,−hf (−a + h) − f (−a + 0)= 0,h→+0−hf (a − h) − f (a − 0)= 0,limh→+0hf (a + h) − f (a + 0)lim= 0.h→+0hlimРис.

1. График функции f (x)9В силу теории интеграла Фурье мы не будем вычислять инZ+∞sin ayтегралcos yx dy, а вычислим интегралyZ+∞01f (t) cos ty dt.a(y) =π−∞Так как функция, заданная соотношением (9), является четной, то, подставив в формулу (7) выражение f (x), получимZ+∞Za22 πa(y) =f (t) cos ty dt = ·cos ty dt =ππ 200t=asin aysin ty ==.yyt=0+∞R sin aycos yx dy совпадаетyс функцией f (x), заданной уравнением (9).

На рис. 2 представлен график косинус-преобразования Фурье a(y) функцииf (x).Это доказывает, что интеграл0Рис. 2. График функции a(y)10ПРИМЕР 2.Z+∞0 π sin x, если | x |≤ π,sin πy2sin yx dy =21−y0, если | x |> π.Решение. Интеграл, стоящий в левой части уравнения представляет интеграл Фурье, содержащий только синусы. Здесьроль функции, являющейся прямым синус-преобразованием,sin πy. Как следует из пункта 1.3., виграет функция b(y) =1 − y2этом виде представимы нечетные функции.

Убедимся, что кнечетной функции π sin x, если | x |≤ π,2f (x) =(10)0, если | x |> πможно применить теорему о представимости кусочно-гладкойфункции в точке своим интегралом Фурье. На рис. 3 представлен график этой функции.Рис. 3. График функции f (x)11Очевидно, что функция является абсолютно интегрируемойи кусочно-гладкой:Z+∞|f (t)| dt = 2π < +∞;−∞функция непрерывна; на каждом из промежутков (−∞, −π),(−π, π), (π, +∞) она непрерывно дифференцируема; также вточках x = ±π существуют и конечны пределы, похожие налевую и правую производные:f (−π − h) − f (−π − 0)= 0,h→+0−hf (−π + h) − f (−π + 0)πlim=− ,h→+0−h2πf (π − h) − f (π − 0)= ,limh→+0h2f (π + h) − f (π + 0)= 0.limh→+0hВ силу теории интеграла Фурье мы не будем вычислять интегралZ+∞sin πysin yx dy,1 − y2limа вычислим интеграл01b(y) =πZ+∞f (t) sin ty dt.−∞Так как функция, заданная соотношением (10), является нечетной, то, подставив в формулу (8) выражение f (x), получим2b(y) =πZ+∞Zπ2 πf (t) sin ty dt = ·sin t sin ty dt =π 201201=2Zπ01=2(cos(t(1 − y)) − cos(t(1 + y))) dt =sin t(1 − y) sin t(1 + y)−1−y1+y t=πsin πy=.1 − y2t=0Z+∞sin πyЭто доказывает, что интегралsin yx dy совпадает с1 − y20функцией f (x), заданной уравнением (10).

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов книги