1611689565-9240426777aee54e360d867563371446 (826867), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Задача о колебаниях струныВ качестве примера применения преобразования Фурьерешим краевую задачу о колебаниях струны.Изучая тему «Ряды Фурье», мы вывели уравнение свободных малых поперечных колебаниий струны2∂2u2∂ u=a∂t2∂x2и решали его методом Фурье при различных начальных играничных условиях, используя представление функции рядом Фурье. Теперь решим эту задачу, применяя преобразование Фурье.ПРИМЕР 29.Найдите функцию u : R2 → R, удовлетворяющую одномерному волновому уравнениюи начальным условиям2∂2u2∂ u=a∂t2∂x2u(0, x) = f (x),∂u(0, x) = g(x).∂t(21)(22)Напоминание: u — дважды непрерывно дифференцируемая функция, характеризующая отклонение струны от положения равновесия, функция f (x) задает начальное положение струны, а функция g(x) — скорость струны в начальный65момент.
Если g(x) = 0, то эта модель описывает движение гитарной струны, а если g(x) 6= 0, то — движение скрипичнойструны.Решение. Будем считать, что функции f (x) и g(x) быстроубывающие (так как колебаниия малые, то движение локализовано в конечной области и вне этой области функциибыстро зануляются). Решим эту задачу, применяя преобразование Фурье, по переменной x. Обозначим через v(t, y) преобразование Фурье u(t, x) :1v(t, y) = √2πZ+∞u(t, x)e−ixy dx.(23)−∞Найдем дифференциальное уравнение для v(t, y), используято, что u(t, x) удовлетворяет волновому уравнению (21).
Продифференцируем по параметру t интеграл (23) (обосноватьдифференцируемость пока не можем, обоснуем после получения ответа)∂2v1√=∂t22πZ+∞−∞a2∂2u−ixy√(t,x)edx=∂t22πZ+∞∂2u(t, x)e−ixy dx.∂x2−∞Таким образом, от дифференцирования функции u(t, x) попараметру t мы перешли к дифференцированию функцииu(t, x) по переменной x. Воспользовавшись свойством дифференцирования преобразования ФурьеF+ [D α f (x)](y) = (iy)|α| F+ [f (x)](y),получим (α = 2)a2√2πZ+∞−∞∂2u(t, x)e−ixy dx = −a2 y 2 v(t, y).∂x266Следовательно, для преобразования Фурье v(t, y) искомойфункции u(t, x) получается уравнение∂2v+ a2 y 2 v(t, y) = 0,2∂t(24)значительно более простое, чем уравнение (21).
В этом уравнении мы считаем, что y — фиксированный параметр, тогда уравнение (24) — это обыкновенное дифференциальноеуравнение второго порядка, в то время как уравнение (21) —это дифференциальное уравнение второго порядка в частныхпроизводных. Из равенства (22) при t = 0 находим начальноеусловие для v(t, y):\bv(0, y) = u(0,x)(y) = f(y),vt (0, y) = u\g (y).t (0, x)(y) = b(25)(26)Решение дифференциального уравнения ищем в видеv(t, y) = A(y) cos ayt + B(y) sin ayt.(27)Определим функции A(y) и B(y) из условий (25) и (26)bv(0, y) = A(y) = f(y),vt (0, y) = ayB(y) = bg (y).Подставляя найденные функции A(y) и B(y) в равенство(27), получаем для преобразования Фурье искомой функциивыражениеg (y) sin aytbv(t, y) = fb(y) cos ayt +.ay(28)Чтобы найти u(t, x), применим к равенству (28) обратное преобразование Фурье по переменной yg (y) sin aytb∨b(x).u(t, x) =v (t, x) = F− f(y) cos ayt +ay67hiСначала найдем функцию F− fb(y) cos ayt (x).
Используя следствия свойства преобразования Фурье, приведенныев примере 11F− [f (x) cos axt](y) =1F− [f (x)](y − at) + F− [f (x)](y + at)2и формулу обращенияF− [F+ [f (x)]] = f (x),имеемhib cos ayt (x) =F− f(y)h i1 h bibF− f (x − at) + F− f (x + at) ==21= (f (x − at) + f (x + at)) .2Теперь найдем функциюg (y) sin aytbF−(x).ayВведем новую функцию G(y) =Zyg(t) dt, тогда g(y) = G0 (y).0Преобразования Фурье примет вид"#cG0 (y) sin aytF−(x).ayПользуясь свойством дифференцирования преобразованиеФурье, имеем#"#"bcG(y)iysin aytG0 (y) sin ayt(x) = F−(x).F−ayay68Используя следствия свойства преобразования Фурье, приведенные в примере 11F− [f (x) sin ax](y) =1F− [f (x)](y − at) − F− [f (x)](y + at) ,2iперепишем преобразование Фурье в виде#"b1G(y)iysin ayt(t, x) =[G(x − at) − G(x + at)] =F−ay2a1=−2ax+atZg(z) dz.x−atСобрав все вместе, получимx+atZ11g(z) dz .u(t, x) = f (x − at) + f (x + at) −2ax−atОбоснуем теперь дифференцируемость интеграла (23), зависящего от параметра: мы получили, что искомая функцияu(t, x) выражается через заданные функции f (x) и g(x), длякоторых мы приняли, что они являются быстро убывающими.
По свойствам быстро убывающих функций u(t, x) такжеявляется быстро убывающей функцией. Следовательно, операция дифференцирования была законной.69ЗАДАЧА26. Решить уравнение теплопроводности∂u∂2u= a2 2 ,∂t∂xесли начальное распределение температуры имеет вид u0 , если x1 < x < x2 ,u(0, x) = f (x) =0, если x < x1 , или x > x2 .Ответu026.
u(t, x) = √2a πtZx2e−(x−z)24a2 tx170dz.Свойства преобразования ФурьеФункцияПреобразование ФурьеФормула обращенияf (x)F+ [F− [f (x)]] = f (x)f (x)F− [F+ [f (x)]] = f (x)Связь между прямым и обратным преобразованиями Фурьеf (x)F− [f (x)](y) = F+ [f (x)](−y)f (x)F+ [f (x)](y) = F− [f (x)](−y)Линейностьaf (x) + bg(x)aF± [f (x)](y) + bF± [g(x)](y)Запаздывание (сдвиг)e∓iay F± [f (x)](y)f (x − x0 )71Свойства преобразования Фурье (продолжение)ФункцияПреобразование ФурьеЧастотный сдвигeiax f (x)F± [f (x)](y − a)f (x) cos ax1(F± [f (x)](y − a) + F± [f (x)](y + a))2f (x) sin ax1(F± [f (x)](y − a) − F± [f (x)](y + a))2iПодобие (изменение масштаба)|a|−1 F± [f (x)]f (ax)yaЗамена переменнойf (Ax + b)|det A|−1 e±(y,A−1 b)F± [f (x)]((A−1 )∗ y)Свойство преобразования Фурье от n-ой производнойdn fdxn(±iy)n F± [f (x)](y)72Свойства преобразования Фурье (продолжение)ФункцияПреобразование ФурьеДифференцирование преобразования Фурьеxn f (x)(±i)n D n (F± [f (x)](y)Теорема о свертке (f, g ∈ S(Rn ))f ∗g(2π)n/2 F± [f ] · F± [g]f ·g(2π)−n/2 F± [f ] ∗ F± [g]Равенство Парсеваля (f, g ∈ S(Rn ))f, gRf (x)g(x) dx =RRnRn=R∨∨g (x) dx =fb(x)bf (x)g (x) dxRnФормула Пуассона (f ∈ S(R))f√2π+∞Pn=−∞73f (2πn) =+∞Pn=−∞fb(n)Из истории вопросаИзучая тему «Ряды Фурье», мы вывели уравнение малыхпоперечных колебаний струны, закрепленной в точках x = 0иx=l2∂2u2∂ u=a,(29)∂t2∂x2которое удовлетворяет начальным условиямu(0, x) = f (x),∂u(0, x) = g(x)∂t(30)u(t, l) = 0,(31)и граничным условиямu(t, 0) = 0,методом Фурье (или методом разделения переменных).Уравнение (29) было впервые выписано и решено в 1747 г.методом бегущих волн (методом Даламбера) Ж.
Л. Д’аламбером. Но большее значение имело несколько более позднеерешение той же задачи, найденное Даниилом Бернулли (1753г.). Он решил это уравнение методом разделения переменныхи нашел решение в виде nπ anπ u = bn sinx cost ,(32)llгде bn — произвольное число, а n — выбранное заранее натуральное число. Таким образом, Д.
Бернулли нашел семействорешений, удовлетворяющее как граничным условиям (31),так и второму из начальных условий (30). При этом начальная форма струны должна удовлетворять уравнению nπ u(0, x) = bn sinx ,lт. е. начальная форма струны не могла быть произвольной.Гениальная идея Бернулли состояла в сведении произвольного колебания струны к системе отдельных гармонических74колебаний. Он предложил использовать принцип суперпозиции, т. е. тот факт, что любая сумма решений уравнения (29)также удовлетворяет этому решению. Сумма частных решений (32) πx aπt2πxaπtu = b1 sincos+ b2 sincos+···llll(33)удовлетворяет уравнению (29), обоим граничным условиям(31) и второму из начальных условий (30), поскольку этому уравнению и условиям удовлетворяет каждое слагаемоесуммы.
Подставляя в (33) значение t = 0 и учитывая первоеначальное условие, получаем πx 2πx+ b2 sin+···(34)u(0, x) = b1 sinll— и задача сводится к тому, чтобы определить из (34) коэффициенты b1 , b2 , . . . представления (33) решения уравнения(29). Научившись задавать эти коэффициенты так, чтобынебольшое число слагаемых в сумме (33) наиболее полнымобразом описывало искомую функцию u(t, x), можно сконструировать «непрерывное» колебание струны из набора гармонических колебаний.Бернулли много занимался теорией колебаний и был хорошо знаком с процессом разложения произвольного колебанияна отдельные гармоники. Исходя из своего опыта, он полагал, что формула (33) дает общее решение уравнения колебания струны (29), а коэффициенты b1 , b2 , .
. . определяютсяиз условия (34).Дальнейшее усовершенствование метода Бернулли связано в первую очередь с исследованиями Жана Батиста Фурье(1768–1830). Фурье впервые изложил в связном виде общуютеорию разложения функций в тригонометрические ряды,основанную на простых формулах для определения коэффициентов; он дал также множество примеров разложения75конкретных функций. Но еще важнее были глубокие применения подобных разложений к конкретным задачам математической физики, например, к задаче о распространении тепла. Эти приложения базировались на той же идее,что и у Бернулли: начальные условия соответствующей задачи Фурье первоначально считал «синусоидальными».
В этомслучае решить задачу оказывалось сравнительно несложно,а общее решение получалось отсюда с помощью принципасуперпозиции и возможности разложения произвольной начальной функции f (x) в тригонометрический ряд. И не случайно, несмотря на то что отдельные примеры разложенийфункций в тригонометрические ряды до Фурье рассматривались многими учеными (скажем, Л. Эйлером, Д. Бернулли,К. Ф. Гауссом и др.), все такие ряды сегодня принято называть рядами Фурье.Процедура разложения функции в ряд Фурье (или в тригонометрический ряд) носит название спектрального анализа функции. Спектральное разложение периодических (илизаданных на конечном промежутке [−l, l]) функций представляет собой ряд из «гармонических колебаний», частотыкоторых образуют дискретную последовательность и играетбольшую роль в математике, в частности, в изучении колебательных процессов. Само выражение «спектральное разложение» (или «спектральный анализ») функций связано стем, что такой характер имеет разложение света в совокупность волн (гармонических колебаний) разной длины волны (или разного периода), причем для световых волн каждой длине волны (или периоду) отвечает свой цвет.
В общемслучае спектральное разложение произвольной (непериодической) (т. е. при l → +∞) функции содержит «гармоники»,отвечающие всевозможным частотам, так что суммы приходится заменять интегралами Фурье, распространенными поширокому «спектру» частот. При переходе к пределу происходит качественный скачок, так как функция, заданная на76всей оси x или на полуоси x, разлагается в интеграл, который представляет собой сумму «гармонических колебаний»,частоты которых непрерывно заполняют действительную полуось 0 ≤ y < +∞.Преобразование Фурье абсолютно интегрируемой функции f (x), которое задается формулой1fb(y) = √2πZ+∞f (x)e−ixy dy,−∞называют образом Фурье, или спектральной характеристикой функции f (x). Преобразование Фурье переводит функцию в совокупность частотных составляющих, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
